Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 7

ходит в уравнение Бернулли ч! — + те= сопа1. 2 (9,4) Необходимо подчеркнуть здесь следующее существенное отли. чие между уравнениями Бернулли в случае потенциального и не- потенциального движений. В общем случае произвольного движения сопя( в правой части этого уравнения есть величина, постоянная вдоль каждой данной линии тока, но, вообще говоря, различная для разных линий тока. При потенциальном же движении сопз( в уравнении Бернулли есть величина, постоянная во всем объеме жидкости. Это обстоятельство в особенности повышает роль уравнения Бернулли при исследовании потенциального движения. й 1О. Несжимаемая жидкость В очень многих случаях течения жидкостей (и газов» их плотность можно считать неизменяющейся, т, е.

постоянной вдоль всего объема жидкости в течение всего времени движения. Другими словами, в этих случаях при движении не происходит заметных сжатий или расширений жидкости. О таком движении говорят как о движении несжимаемой жидкости. зывается потенциалом скорости; мы будем обозначать его посредством !р; (9,2) НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ % м] зт Общие уравнения и дродинамики сильно упрощаются при применении иь к несжимаемой жидкости. Правда, уравнение Эйлера не меняет своего вида, если положить в нем р = сопз1, за исключением только того, что в уравнении (2,4) можно внести р под знак градиента: — +(ч7) к= — 7 Р +я.

д» дт Р (10,1) Зато уравнение непрерывности принимает при р = соне! простой вид йчт = О. (10,2) Поскольку плотность не является теперь неизвестной функцией, как это имеет место в общем случае, то в качестве основной системы уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости можно выбрать уравнения, содержащие только скорость. Такими уравнениями являются уравнение непрерывности (10,2) и уравнение (2,1!): — го(ч = го!(ч го(ч), д д! (10„3) Уравнение Бернулли тоже может быть написано для несжимаемой жидкости в более простом виде. Уравнение (10,1) отличается от общего уравнения Эйлера (2,9) тем, что вместо 7гв в нем стоит 7(р/р). Поэтому мы можем сразу написать уравнение Бернулли, заменив просто в (5,4) тепловую функцию отношением р/р: — + — + пз = сопз1.

Р 3 (10,4) Для несжимаемой жидкости можно писать р/р вместо и также и в выражении (6,3) для потока энергии, которое принимает тогда вид рт(~+ — ). (10,5) (10,5) Действительно, согласно известному термодинамическому соотношению имеем для изменения внутренней эиргии выражение г(е = Т йз — р г!У; при з = соне( и У = 1/р = сопз1 имеем ~(Е=О, т. е.

з = сопз!. Поскольку же постоянные члены в энергии несущественны, то можно опустить з и в ш = в+ р/р. В особенности упрощаются уравнения для потенциального течения несжимаемой жидкости. Уравнение (10,3) удовлетворяется при го(ч = 0 тождественно. Уравнение же (10„2) при подстановке т = пгаб 7 превращается в зв идеАльнАя жидкость [гл. у т. е. в уравнение Лапласа для потенциала ~р'). К этому уравнению должны быть добавлены граничные условия на поверхностях соприкосновения жидкости с твердыми телами: на неподвижных твердых поверхностях нормальная к поверхности компонента о, скорости жидкости должна быть равна нулю, а в общем слУчае движУщихсЯ твеРдых тел еа должна быть Равна проекции скорости движения тела на направление той же нормали (эта скорость является заданной функцией времени).

Скорость пч равна, с другой стороны, производной от потенциала ф по направлению нормали: в„= —. Таким образом, граничные дф а да' дф условия гласят в общем случае, что — является на границах дл заданной функцией времени и координат. При потенциальном движении скорость связана с давлением уравнением (9,3). В случае несжимаемой жидкости в этом уравнении можно писать р/р вместо тв: — + — + — = 1(1). дф оа р д1 2 р (10,7) Отметим здесь следующее важное свойство потенциального движения несжимаемой жидкости, Пусть через жидкость движется какое-нибудь твердое тело. Если возникающее прн этом течение жидкости является потенциальным, то это течение зависит в каждый момент только от скорости движущегося тела н этот же момент времени, но, например, не от его ускорения.

Действительно, самое уравнение (10,6) — в решение лишь через граничные условия, содержащие только скорость движушего- 0 ся в жидкости тела. Из уравнения Бернулли оа/2+ р/р = сопз( видно, что при стационарном движении несжимаемой жидкости (без поля тяжести) наибольшее значение давлений достигается в точках, где скорость обраРис. 2 щается в нуль. Такая точка обычно имеется на поверхности обтекаемого жидкостью тела (точка О на рис.

2) и называется критической точкой. Если и — скорость натекающего на тело потока жидкости (т. е. скорость жидкости на бесконечности), а ре — давление на бесконечности, то давление в критической точке равно Р Ре+ (10,8) ~) Потенциал скорости был впервые введен Эйлером. Ии же было получено длн этой величины уравнение вида (10,6), получившее впоследствии название уравнении Лапласа. НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ $10! Если распределение скоростей в движущейся жидкости зависит только от двух кородинат, скажем от х и у, причем скорость параллельна везде плоскости ху, то о таком течении говорят как о двухмерном или плоском. Для решения задач о двухмерном течении несжимаемой жидкости иногда бывает удобным выражать скорост~ через так называемую функцию тока. Из уравнения непрерывности до„д02 й(ч у =2 — „" + — "= 0 дх ду видно, что компоненты скорости могут быть написаны в виде производных Вк=- —, Пе= —— дФ да (10,9) ду ' " дх от некоторой функции 2у(х, у), называемой функцией гока.

Уравнение непрерывности при этом удовлетворяется автоматически. Уравнение же, которому должна удовлетворять функция тока, получается подстановкой (10,9) в уравнение (10,3) д ь д1у да1у д1у да1у — 22фь — — — + — — = О. д2 дх ду ду дх Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для стационарного движения жидкости. Действительно, дифференциальное уравнение линий тока (при двух.

мерном течении) есть Ых ду .или ну ах — и„йу = 0; оно выражает собой тот факт, что направление касательной к линии тока в каждой точке совпадает с направлением скорости. Подставляя сюда (10,9), получаем: — „йх+ — йу= йф = О, д4) д9 ду откуда 2у = сопз1.

Таким образом, линии тока представляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции тока ф(х, у) произвольной постоянной. Если между двумя точками 1 и 2 в плоскости х, у провести кривую, то поток жидкости !Е через эту кривую определится разностью значений функции тока в этих точках независимо от формы кривой. Действительно, если н,— проекция скорости на нормаль к кривой в данной ее точке, то 2 2 2 !',) = р 1 п„а1 = р 1 ( — пк йх + ек а1у) = р 1 аф, нли () = Р(ф2 — ф1).

(10,1! ) )гл. з идеАльнАя жидкость Мощные методы решения задач о плоском потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций комплексного пере- манного' ). Основание для этих применений заключается в следующем. Потенциал и функция тока связаны с компонентами скорости посредством ') д<р дф д<р дф Π— — О дх ду ' х ду дх ' Но такие соотношения между производными функций ез и ф с' математической точки зрения совпадают с известными усло- виями Коши-Римана, выражающими собой тот факт, что ком- плексное выражение (10,12) является аналитической функцией комплексного аргумента г = х-1- (у, Это значит, что функция ш(г) будет иметь в каждой точке определенную производную +С Ох дге д~р .

дф дх дх дх (10,13) — = он-ое дх (10,14) На твердой поверхности обтекаемого контура скорость должна быть направлена по касательной к нему. Другими словами, контур должен совпадать с одной из линий тока, т. е. на нем должно быть ф = сопз(; эту постоянную можно выбрать равной нулю, и тогда задача об обтекании жидкостью заданного контура сводится к определению аналитической функции 1О(г), принимающей на этом контуре вещественные значения. Более сложна постановка задачи в случаях, когда жидкость имеет свободную поверхность (такой пример — см, задачу 9 к этому параграфу). Интеграл от аналитической функции по какому-либо замкнутому контуру С равен, как известно, умноженной на 2п! сумме ') Подробное изложение этих методов и их многочисленных применений может быть аайдено во многих курсах и монографиях по гидродинамике с более математическим уилоном.

Здесь мы ограннчиааемся лишь объяснением основной идеи метода. е) Напомним, однако, что существование самой по себе функпин тока связано только с двухмерностью течения, и отнюдь не требует его вотенпиальности. Функцию то называют комплексным потенциалом, а дш дх комплексной скоростью.

Модуль и аргумент последней опредеЛяют абсолютную величину скорости О и угол О ее наклона к на-' правлению оси х: нГсжимАГмхя жидкость вычетов этой функции относительно ее простых полюсов, распо- ложенных внутри С; поэтому $ ю'На = 2п(~~~ А»„ где Аь — вычеты комплексной скорости. С другой стороны, имеем: ~> ~о' с(г = $ (о„— (о„) (дх+ (с(у) = = $ (о„г(х+ о„дд)+1~~ (о„Ыу — о„йх).