Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика, страница 10

(11,3) Как уже указывалось, точное вычисление вектора А требует полного решения уравнения Ьф = О с учетом конкретных граничных условий на поверхности тела. Общий характер зависимости А от скорости « тела можно, однако, установить уже непосредственно из факта линейности уравнения для ф и линейности (как по ф, так и по «) граничных условий к этому уравнению, Из этой линейности следует, что А должно быть линейной ') Интегрирование по с)о эквивалентно усреднению подынтегрального выражеиня по всем направлениям вектора п и умножению затем на 4л. Для усреднения выражения типа (Ап) (Вп) вм Лгги выл, (А,  — постоянные векторы), пишем — 1 1 (Ап) (Вп) = А В о.п = — Ь аА В, = — АВ.

аг" э ыг" 3 силА соппотиилииия б] шып,пь Е= 2 (11,4) где тм — некоторый постоянный симметрический тензор, компоненты которого могут быть вычислены с помощью компонент вектора А; его называют тензором присоединенных масс, Зная энергию Е, можно получить выражение для полного импульса Р жидкости. Для этого замечаем, что бесконечно малые изменения Е и Р связаны друг с другом соотношением х(Е = пйР '); отсюда следует, что если Е выражено в виде (11,4), то компоненты Р должны иметь вид Рг=- т ьиь (11,5) Наконец, сравнение формул (11,3 — 5) показывает, что Р выражается через А следующим образом: Р = 4лрА — рУоп.

(11,6) Следует обратить внимание на то, что полный импульс жидкости оказывается вполне определенной конечной величиной. Передаваемый в единицу времени от тела к жидкости импульс есть йР/Ж. Взятый с обратным знаком, он определяет, очевидно, реакцию Г жидкости, т. е. действующую на тело силу: >(Р Р= — —. Ю ' (! 1,7) Параллельная скорости тела составляющая Г называется силой сопротивления, а перпендикулярная составляющая — подъемной силой. ') Действительно, пусть тело ускоряется под влиянием какой-либо внешней силы Р. В результате импульс жидкости будет возрастать; пусть с>Р есть его приращение я течение времени си Это приращение связано с силой посредством >(Р = Р Н, а умноженное па скорость п дает в>(Р = Ги пб т, е.

работу силы Р иа пути Ый которая в свою очередь долисна быть равна увеличению эиергпи г>Е жидкости Следует заметитгь что вычисление импульса непосредственно как интеграла ~ рчо'У по всему объему жилкости было бы невозможным. Дело в том, что этот интеграл (со скоростью т, распределенной по (!1,2)) расходится в том смысле, что результат интегрирования, хотя и конечен, но зависит от способа взятия интеграла; вроизводя интегрирование по большой области, размеры которой устремляются затем к бесконечности, мы получили бы зна. чение, зависящее от формы области (сфера, цилиндр и т.

п,). Используемый же нами способ вычисления импульса, исходя из соотношения и>(Р = с>Е, приводит ко вполне определенному конечному значению (даваемому формулой (11,6)), заведомо удовлетворяющему физическому условию о связи изменения импульса с действующими иа тело силами. же функцией от компонент вектора и. Определяемая же формулой (11,3) энергия Е является, следовательно, квадратичной функцией компонент вектора и и потому может быть представлена в виде идяхльнля жидкость ~гл ~ Если бы было возможно потенциальное обтекание равно- мерно движущегося в идеальной жидкости тела, то было бы Р = сопэ1 (так как и = сопз1) и Г= О. Другими словами, от- сутствовала бы как сила сопротивления, так и подъемная сила, т. е.

действующие на поверхность тела со стороны жидкости силы давления взаимно компенсируются (так называемый пара- докс Даламберп). Происхождение этого «парадокса» в особен- ности очевидно для силы сопротивления. Действительно, наличие этой силы при равномерном движении тела означало бы, что для поддержания движения какой-либо внешний источник дол- жен непрерывно производить работу, которая либо диссипи- руется в жидкости, либо преобразуется в ее кинетическую энер- гию, приводя к постоянно уходящему на бесконечность потоку энергии в движущейся жидкости. Но никакой диссипации энер- гии в идеальной жидкости, по определению, нет, а скорость при- водимой телом в движение жидкости настолько быстро убывает с увеличением расстояния от тела, что никакого потока энергии на бесконечности тоже нет.

Следует, однако, подчеркнуть, что все зти соображения отно- сятся лишь к два>кению тела в неограниченной жидкости. Если же, например, жидкость имеет свободную поверхность, то рав- номерно движущееся параллельно этой поверхности тело будет испытывать силу сопротивления. Появление этой силы (назы- ваемой волновым сопротивлением) связано с возникновением на свободной поверхности жидкости системы распространяющихся по ней волн, непрерывно уносящих энергию на бесконечность.

Пусть некоторое тело совершает под влиянием действующей иа него внешней силы $ колебательное движение. Прн соблюде- нии рассмотренных в предыдущем параграфе условий окружаю- щая тело жидкость совершает потенциальное движение, и для вывода уравнений движения тела можно воспользоваться полу- ченными выше соотношениями. Сила 1 должна быть равна производной по времени от полного импульса системы, рав- ного сумме импульса Мп тела (М вЂ” масса тела) и импульса Р жид кости: М вЂ” "+ — =$, ~й Н С помощью (11,5) получаем отсюда: ли~ йи„ М вЂ” '+ ты — "= ~о М ~11 что можно написать также и в виде йи„, — „" (Мбы+т,,)=(с.

(1 1,8) Это и есть уравнение движения тела, погруженного в идеальную жидкость, силА сопротивлнния йш Рассмотрим теперь в некотором смысле обратный вопрос. Пусть сама жидкость производит под влиянием каких-либо внешних (по отношению к телу) причин колебательное движение. Под влиянием этого движения погруженное в жидкость тело тоже начинает двигаться '). Выведем уравнение этого движения. Будем предполагать, что скорость движения жидкости мало меняется на расстояниях порядка величины линейных размеров тела. Пусть ч есть скорость жидкости в месте нахождения тела, которую она имела бы, если бы тела вообще не было; другими словами, н есть скорость основного движения жидкости. По сделанному предположению н можно считать постоянной вдоль всего объема, занимаемого телом.

Посредством и по-прежнему обозначаем скорость тела. Силу, действующую на тело и приводящую его в движение, можно определить из следующих соображений, Если бы тело полностью увлекалось жидкостью (т. е. было бы и = и), то на него действовала бы такая же сила„которая бы действовала на жидкость в объеме тела, если бы тела вовсе не было. Импульс этого объема жидкости есть р'кон, и потому действующая на него дт сила равна р)то —. Но в действительности тело не увлекается и'з полностью жидкостью; возникает движение тела относительно жидкости, в результате чего сама жидкость приобретает некоторое дополнительное движение.

Связанный с этим дополнительным движением импульс жидкости равен ты(иа — па) (в выражении (11,5) надо теперь писать вместо и скорость и — н движения тела относительно жидкости). Изменение этого импульса со временем приводит к появлению дополнительной силы реакции, действующей на тело и равной — т;ьс1(иь — оь)/сИ. Таким образом, полная сила, действующая на тело, равна и'о р)~о — „,' — ты —, (иа — о,). Эту силу надо приравнять производной по времени от импульса тела. Таким образом, приходим к следующему уравнению движения: и'о,. — Ми, = р)то — ' — тза — (иа — оа).

и лт Интегрируя с обеих сторон по времени, получаем отсюда: (т)тбза+ тга) иа = (ты+ р)' обы) оа (11,9» Постоянную интегрирования полагаем равной нулю, поскольку скорость п тела, приводимого жидкостью в движение, должна ') Речь может идти, например, о движении тела в жидкости, по которой распространяется звуковая волив с длиной волны, большой по сравнениоз с размерами тела. !гл.

! иднальнля жидкость обратиться в нуль вместе со скоростью жидкости н. Полученное соотношение определяет скорость тела по скорости жидкости. Если плотность тела равна плотности жидкости (М = РУо), то, как и следовало ожидать, н = н. Задачи !. Получить уравнение движения для шара, совершающего колебательное движение в идеальной жидкости, и для шара, приводимого в движение колеблющейся жидкостью. Решение. Сравнивая (11,!) с вырансеннем для зр, полученным для обтекания шара в задаче 2 $10, видим, что А ц)ззг2 ()г — радиус шара). Пачный импульс приводимой шаром в движение жид- кости есть согласно (11,6) Р = — 2пр)(зц/3, так что тензор глм равен 2н ш = — раз'б 3 Испытываемая движущимся шаром сила сопротивления равна 2и с!зз Р рззз 3 з)! ' а уравнение движения колеблющегося в жидкости шара гласит: (рз — плотность вещества шара). Коэффициент при ц можно рассматривать как некоторую эффективную массу шара; она складывается иэ массы самого шара и из присоединенной массы, равной в каином случае половине массы жидкости, вытесняемой шаром.

Если шэр приводится в движение жидкостью, то длн его скорости получаем из (11,9) выражение Зр и— т. р+ 2рз Если плотность шара превышает плотность жидкости (рю ) р), то н ( о, т. е шар отстает от жидкости; если же рз ( р, то шар опережает ее 2. Выразить действующий на лвижущееся в жидкости тело момент сил через вектор А. Р е ш е и и е. Как известно нз механики, действующий на тело момент сял М определиется по его функции Лаграияса (в данном случае — по энергии Е) соотношением бЕ = Мбб, где 69 — вектор бесконечно малого угла поворота тела, а бŠ— изменение Е при этом повороте. Вместо того чтобы поворачивать тело на угол 69 (и соответственно менять компонеяты ты), мож.

но повернуть на угол — бб жидкость относительно тела и соответственно из менять скорость и. Имеем при повороте бц = — (ббц), так что бЕ Рбн — 69 [пр). Используя выражение (!1,6) для Р, получаем отсюда искомую формулу М вЂ” (и Р) Анр (Ан). гнхви) хцнонныв волны $ 12, Гравитационные волны Свободная поверхность жидкости, находящейся в равновесии в поле тяжести, — плоская, Если под влиянием накого-либо внешнего воздействия поверхность жидкости в каком-нибудь месте выводится из ее равновесного положения, то в жидкости возникает движение. Это движение будет распространяться вдоль всей поверхности жидкости в виде волн, называемых гравитационными, поскольку они обусловливаются действием поля тяжести.

Гравитационные волны происходят в основном на поверхности жидкости, захватывая внутренние ее слои тем меньше, чем глубже эти слои расположены. Мы будем рассматривать здесь такие гравитационные волны, в которых скорость движущихся частиц жидкости настолько мала, что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом (чЧ)ч по сравнени)о с дч/дй Легко выяснить, что означает это условие физически. В течение промежутка времени порядка периода т колебаний, совершаемых частицами жидкости в волне, эти частицы проходят расстояние порядка амплитуды а волны.