Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Сразу же исключим давление, применив к обеим сторонам уравнения (14,3) операцию го1. Правая сторона уравнения обращается в нуль, а в левой имеем, с учетом несжимаемости жидкости: го1 [йч] = 4! б1 чч — (ПЯ) ч — (!)Ч) АА. Выбрав направление й в качестве оси г, запишем получающееся уравнение в виде ф го1 ч = — 21! (14,4) Ищем решение в виде плоской волны К =Ае"""- о, (14,5) удовлетворяющей (в силу уравнения г)!чч = О) условию поперечности 1сА = О. (14,6) Будем рассматривать жидкость в системе координат, вращающейся вместе с ней.
Как известно, при таком описании в механические уравнения движения должны быть введены дополнительные силы — центробежная и кориолисова. Соответственно этому, надо добавить такие же силы (отнесенные к единичной массе жидкости) в правую сторону уравнения Эйлера. Центробежная сила может быть представлена в виде градиента а[хат]'/2, где 1! — вектор угловой скорости вращения жидкости.
Этот член можно объединить с силой — Чр/р, введя эффективное давление ВОЛНЫ ВО ВРАШАЮЩЕИСЯ ЖИДКОСТИ й ьп 67 Подстановка (14,5) в уравнение (14,4) дает в [1сн) = 2гьай,тг. (14,7) Закон дисперсии волн получается исключением тг из этого векторного равенства. Умножив его с обеих сторон векторно на )4, переписываем его в виде — вйеи = 241)й, ()гг) н, сравнив друг с другом оба равенства, находим искомую зависимость в от Ь: в = 2ь) — ' = 2ьа соз О, (14,8) где Π— угол между й и 14. С учетом (14,4) равенство (14,7) принимает вид (ПР) = гтг, Таким образом, волна обладает круговой поляризацией: в каждой точке пространства вектор тг вращается со временем, оставаясь постоянным по величине ').
Скорость распространения волны: дв 244 1) =- — = — (е — п(пи)), дй й (14,9) где т — единичный вектор в направлении 14; как и в гравита- ционных внутренних волнах, эта скорость перпендикулярна вол- новому вектору. Ее абсолютная величина и проекция на направ- ление Й: (7= — з1п О, 242 й $) т = — з1 па О = (7 з1 и О.
2м й Рассмотренные волны называют инерционными. Поскольку кориолнсовы силы не совершают работы над движущейся жидкостью, заключенная в этих волнах энергия — целиком кинетическая. ') Напомним, что речь идет о движении ио отношению к вращающейсн системе координат! По отнощеиию к неподвижной системе на ато движение налагается еще и вращение всей жидкости как целого. где и = к/л. Если представить комплексную амплитуду волны как А= а+4Ь с вещественными векторами а и Ь, то отсюда следует, что (НЬ] = а,— векторы а и Ь (оба лежащие в плоскости, перпендикулярной вектору й) взаимно перпендикулярны и одинаковы по величине.
Выбрав их направления в качестве осей х и у и отделив в (14,5) вещественную и мнимую части, найдем, что и, = а соз(в1 — кг), и„ = — а з)п(вà — Ьг). идеальная жидкость 68 1ГЛ. 1 Особый вид инерционных осесимметричных (не плоских) волн может распространяться вдоль оси -вращения жидкости— см. задачу. В заключение сделаем еще одно замечание, относящееся к стационарным движениям во вращающейся жидкости, а не к распространению волн в ней. Пусть ! — характерный параметр длины такого движения, а и — характерная скорость. По порядку величины член (уяг)у в уравнении (14,2) равен иау), а член 2((ау] — ь)и. Если и/!й « 1, то первым можно пренебречь по сравнению со вторым н тогда уравнение стационарного движения сводится и 2 (ййч) = — — туР 1 Р (14,!0) или 1 др 1 др др 2ьап = — —, 2ь)п = — — —, — =О, и р дк' к р ду' да где х, у — декартовы координаты в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Отсюда видно, что Р, а потому и гю ою не зависят от продольной координаты г. Далее, исключив Р из двух первых уравнений, получим до„ до„ вЂ” "+ —" О, дк ду Задачи 1. Определить движение в осесимметричной волне, распространяющейся вдоль оси вращающейся как целое несжимаемой жидкости (Кг. Тйотаои, 1830). Р е ш е н ив, Введем цилиидричсскис координаты г, ч, е с осью а вдоль вектора Й.
В осесимметричной волне все величины ие зависят от угловой переменной Чь Зависимость же от времени и координаты к дастся множителем вида ехр(1(йа — ю1)). Раскрыв уравнение (14,3) в компонентах, получкм — йоог — 2цо 1 др' (1) р дг 1й — 1ыо + 2йо = О, — )сто = — — р'. Е т Р (2) Сюда надо присоски щть уравнение непрерывности 1 д — — (гог) +! лов = О.
г дг (3) после чего из уравнения непрерывности б(ч и = О следует, что до,/дг = О. Таким образом, стационарное движение (относительно вращающейся системы координат) в быстро вращающейся жидкости представляет собой наложение двух независимых движений: плоского течения в поперечной плоскости и осевого движения, не зависящего от координаты г (Х. Ргоиг(птап, !916).
ВОлны ВО ВРАшАюшейсн жилкОсти $ !4] 69 Выразив ов и р' через о, из (2) и (3) и подставив в (1), получим уравнение дгР 1 ВР Г 4агйг 1 Ч + +кй)РО (4) Дгг г Дг ~ гэг 22 для функции )г(г), определяющей радиальную зависимость скорости ол ог г" (г) э'!лг Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при г = О, есть I 4(гг )г сопз! ' Хг (йг т(/ — "т- — 1 ), где кг, лг, ... — последовательные нули функции Хг(х). На этих поверхностях о, = О; другими словами, жидкость никогда не пересекает нх. Отметим, что для рассматриваемых волн в неограниченной жядкости частота ю не зависит от Ф. Возможные значения частоты ограничены, однако, условием ы ~ 2!); в противном случае уравнение И) не имеет решения, удо. влетворяюшего необходимым условиям конечности.
Если же вращающаяся жидкость ограничена цнлииаряческой стенкой (радиуса )1), то должно быть учтено условие 2, О иа стенке. Отсюда возникает соотношение / 4!)4 йа,чУХ вЂ” — 1 '~/ 2 л устанавливающее связь между ю и й для волны с заданным значением и (т, е. числом коахсиальиых областей в ней), 2. Получкть уравнение, описывающее произвольное малое возмущение давления во вращающейся жидкости. Р е ш е н и е. Уравнение (14,3), расписанное в хомвоиентах, дает до„ 1 др' до„ 2 л2 ли дг и р дк' дХ " р дх до 1 др' (!) Продифференцировав эти три уравнения соответственно но л, у, а и сложив их с учетом уравнения д!гч = О, получим: — бр' 2!) ~-~Х вЂ” -~ — "). Дифференцирование этого уравнения по Х, снова с учетом уравнений (1), дает ! д до — — Ар' = 4!)2 —, р д( ' да' где Хг — функции Бесселя порядка 1.
Вся картина движения в волне распадается на области, ограиичеиныс коаксиальными цилиндрическими поверхностями с радиусами г„, определяемыми равенствами 4!)г йг — — 1 л, л юг л ИЛЕАЛЪНАЯ ЖИЛХОПТЬ 1ГЛ 1 а еще одно днфференцирование по Г приводит к окончательному уравнению дз, „д р' — Ьр'+ 4И" — з- 0 дР дз ~2) Для пернодическнх возмущения с частотой м это уравнение сводится к дзр' дзр' г' 4Из Ч дтр' — 4.
— + ~~1 — —,) — - О. ~3) длз дрз ~ ют У дзз Для вола вида (14,5) отсюда получается, разумеется, уже известное днсперсноиное соотношение (14,8); прн этом е ( 2Я н коэффициент прн д'рфдл' в уравнении (3) отрнпателен. Возмущенна яз точечного источника распространяются вдоль образующих конуса с осшо вдоль Я н углом раствора 20, где Ип8 = ы/2Я. Прн в ~ 2И козффнцнент при дзр'/длт в уравнения (3) положителен, я путем очевидного нзменения масштаба вдоль осн з оно прпводнтся к уран.
нению Лапласа. Влнянне точечного источника возмущений простирается в этом случае по всему объему жидкости, причем убывает прн удаленнн оз источника по степенному закону ГЛАВА 11 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ й 15. Уравнения движения вязкой жидкости Мы переходим теперь к изучению влияния, которое оказывают на движение жидкости происходящие при движении процессы диссипации энергии, Эти процессы являются выражением всегда имеющей место в той или иной степени термодинамической необратимости движения, связанной с наличием внутреннего трения (вязкости) и теплопроводности. Для того чтобы получить уравнения, описывающие движение вязкой жидкости, необходимо ввести дополнительные члены в уравнение движения идеальной жидкости.
Что касается уравнения непрерывности, то, как явствует из самого его вывода, оно относится в равной мере к движению всякой жидкости, в том числе и вязкой. Уравнение же Эйлера должно быть изменено. Мы видели в $7, что уравнение Эйлера может быть написано в виде д дП~» РП1 = д1 д»» ' где П㻠— тензор плотности потока импульса. Поток импульса, определяемый формулой (7,2), представляет собой чисто обратимый перенос импульса, связанный просто с механическим передвижением различных участков жидкости из одного места в другое и с действующими в жидкости силами давления. Вязкость (внутреннее трение) жидкости проявляется в наличии еще дополнительного, необратимого, переноса импульса из мест с большей в места с меньшей скоростью.
Поэтому уравнение движения вязкой жидкости можно получить, прибавив к «идеальному» потоку импульса (7,2) дополнительный член о„'.„, определяющий необратимый, «вязкий», перенос импульса в жидкости. Таким образом, мы будем писать тензор плотности потока импульса в вязкой жидкости в виде П,»= — рбг»+рор — а,' =- — вы+ рор . (15,!) Тензор (15,2) о, = — рб, +о» называют тензором напряжений, а о, — вязким гензором напряжений. ос» определяет ту часть потока импульса, которая не ВязкАя жидкость ~гл [г дп~ дпь — + —.
дхь дх~ Поэтому ог„должно содержать именно этн симметричные комбинации производных дв,/дхэ. Наиболее общим видом тензора второго ранга, удовлетворяющего этим условиям, является У до~ доь 2 дог 'т двг в' = т(] — + — — — б. — ~+ ~б т,дх дх 3 'ь дх~/ 'ь дх ь (15,3) с независящими от скорости коэффициентами т1 и Ь; в этом утверждении использована изотропия жидкости, вследствии ко. торой ее свойства как таковой могут характеризоваться лишь скалярными величинами (в данном случае — т1 и Ь).
Члены в (15,3) сгруппированы таким образом, что выражение в скобках дает нуль при свертывании (т. е. при суммировании компонент с ! = А). Величины й и ь называют коэффициеитажи вязкости (причем ь часто называют второй вязкостью). Как будет ') Мы увидим ниже, что агх содержит член, пропоршюпэльныя б;ы т.е. член такого же вида, квк и рб, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
