Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ТЕЧЕНИЕ ПО ТРУЕЕ ф !т) (/2/аз+аз/Ьз = 1, где а, Ь вЂ” полуоси эллипса). В результате получаем Для количества протекающей жидкосгн получаем: 22 Хр азЬ2 4т/ а'+ Ьт ' 3. То же для трубы с сечением в виде равностороннего треугольника (сто она треугольника а). е ш е н и е, Обращающееся в нуль иа треугольном контуре решение уравнения (17,7) есть Ьр 2 е= — — Ь,Ь,И „ ч/з ац где Ь2, Ьз, Ьз — длины трех высот, опущенных нз данной точки треугольника иа три его стороны. Действительно, каждое из выражений ЬЬ2, ЬЬ2, ЬЬ2 (где Ь дз/дрз+д'/дг') равно нулю; это видно котя бы нз того, что каждую из высот Ьь Ьэ, Ьз можно выбрать в качестве одной нз координат у нлн з, а прн применении оператора Лапласа к координате получается нуль. Поэтому имеем: ЬЬ2Ьгдз *2(32РЬ2(/Ьз+ Ь29Ь! ()Ьз+ Ьз()32 РЬ2), Но (/Ь2 пь (/Ь2 пт, (/Ь2 = пь где п2, пз, пз — единичные векторы вдоль направлений высот Ь2, Ьз, Ьз.
Каждые два из пг, пз, пз образуют друг с другом угол 2п/3, так что 2м 1 РЬ2 УЬ2 п2пт —— соэ— 3 2' и т. д., и мы получаем соотношение ЬЬ232ЬЗ (Ь! + Ь2 + Ьз) = — —. 2 с помощью которого убеждаемся в выполненил уравнения (17,7). Количество протекающей жидкости равно ч/З а" Лр 320 т/ 4. Цилиндр радиуса /72 движется со скоростью и внутри коакснального с ннм цилиндра радиуса /72 параллельно своей оси; определить движение жидкости, заполняющей пространство между цилиндрами. Решение. Выбяраем цилиндрические ноординаты с осью г по оси цилиндра. Скорость направлена везде вдоль оси з и зависит (как и давление) только от г: о, = э(г). Для о получаем уравнение 1 2/ у азд Ьп — — (г — ) г дг ~ дг ) (член (т(г)т = о дт/дг исчезает тождественно). Используя граничные условия е и при г = /72 и о = 0 прн г = /72, получаем: )п (г/)12) )п (/22//22)' Сила трения, действующая ка единицу длины каждого из цилиндров, равна йпца/! п(М(2) ВязкАя жилкОГть (ГЛ И тяжести гласвт: лза, г)р ! 2! — „+ ру з)п п=п.
— +рл соха а. Угз г(г х На свободной поверхности (г = ») должны выпол- няться условия г(о а„— р= — рь пке ц — =О лг Рис. 6 (ре — атмосферное давление). При 2=0 должно быть о = О. Удовлетворяю- шее этим условиям решение есть . ря з)п и р' р,+русоза !» — г!. о=' г(й» вЂ” г). ул Количество жидкости, протекающее в единицу времеви через поперечное сечение слоя (отнесенное к елннице ллины вдоль оси у): рд»ь з)п а () Зч е 6. Определить закон падения давления вдо.чь трубки кругового сечения, по которой происходит ичотермическое течение вязного идеального газа (иметь в виду, что линамическая вязкость ц идеального газа не зависит от ега давления). Р е ш е н н е, В каждом небольшом участке трубки газ можно считать несжимаемым (если только градиент давления не слишком велик) н соответственно этому можно применить формулу ()7,!О), согласно которой а!р йцг) ~ф'ю' На больших расстояниях, о;пако, р будет меняться, и давление не будег линейной функцией от к.
Согласно уравнению Клапейрона плотность гааа р = глр(Т (ш — масса молекулы), так что (расход газа 9 через все сечение трубии должен быть, очевидно, одинаковым вне зависимости от того, является ли газ нес2ш!маемым или йет). Ото!ода получаем: 2 2 )Бъдт Рт — Р!— (рз, Рг — лавлення на концах участка трубки длины !). 6. Слой жидюзсти (толщины») ограничен сверху свободной поверхностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной под углом а к горизонту.
Определить движениа жиднастн, возникающее под влиянием поля тя. жести. Решен и с Выбираем неподвижную нижн!ою плоскость а качестве плоскости х, у, ось х направлена па направлению течения жидкости, а ось г— перпенликулярно и плоскости к, у (рис б). Ишем ре/ х шенне, завнсяшее только от координаты г. Уравнения Навье — Стокса с о, = о(г) при наличии поля е 1$! двнжвннв мелели врлшяюшнмнся цнлннлрямн 85 Уравнение Навье — Стокса в цилиндрических координатах дает в рассматриваемом случае два уравнения: и'р о' — =Р— и'г г — + — — — =О. «го 1 Ии о (18,2) ог Г ос г Второе из этих уравнений имеет решения типа г"; подстановка решения в таком виде дает и = ~1, так что ь п=аг+ —.
Постоянные а и Ь находятся из предельных условий, согласно которым скорость жидкости на внутренней и внешней цилиндрических поверхностях должна быть равна скорости соответствующего цилиндра: п = Й!Я! при г= )ть и =)сгьег при г=)чг. В результате получаем распределение скоростей в виде ()гмг () ~ %1 (() ~ — 1!г) )(Лг 2 г + лг — ))~ ~г )«! (18,3) Распределение давления получается отсюда согласно (18,1) простым интегрированием. При ьй1 —— ь)г = ье получается просто и = ьег, т. е. жидкость вращается как целое вместе с цилиндрами.
При отсутствии внешнего цилиндра (ь)г = О; )сг = оо) получается () йг Г Определим еще момент действующих на цилиндры сил трения. На единицу поверхности внутреннего цилиндра действует сила трения, направленная по касательной к поверхности и равная согласно (15,14) компоненте о, 'тензора напряжений. ') В лчтературе движеиие между вращаюп.явися цилиндрами часто иа.
аывают течеяием Крэтто (М. Соиеие, 1890), В пределе В -«кэ оио переходят в течение (17,1) между движущимися параллельными плоскостями; о ием говорят иаи о плоском течении Куэтта. ф 18. Движение жидкости между вращающимися цилиндрами Рассмотрим движение жидкости, заключенной между двумя коаксиальными бесконечными цилиндрами, вращающимися вокруг своей оси с угловыми скоростями ьй1 и ьяг) радиусы цилиндров пусть будут )т1 и )чг, причем )сг ~ й! ').
Выберем цилиндрические координаты г, з, тр с осью з по оси цилиндров. Из симметрии очевидно, что п,=и,=О, па= п(г); Р=РИ. ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ !ГЛ г! С помощью формул (15,17) находим: Момент этой силы получается отсюда умножением на Й!, а полный момент М„действуюип!! на единицу длины цилиндра— умножением еще иа 2я)с!. Таким образом, находим: 4яп (Ц! — Ц!) К,кт М,=— йа й! (18,4) Момент сил, действующих на внешний цилиндр, М, = — М!. При Яз = 0 и малом зазоре между цилиндрами (6 = — гсз — )7! « Йя) формула (18,4) принимает вид Ма — — т1Юи/6, где 5 ж 2И)1 — площадь поверхности единицы длины цилиндра, а и = Й!)7 — ее окружная скорость !), По поводу полученных в этом и предыдущем параграфах решений уравнений движения вязкой жидкости можно сделать следующее общее замечание.
Во всех этих случаях нелинейный член (т47)ч тождественно исчезает из уравнений, определяющих распределение скоростей, так что фактически приходится решать линейные уравнения, что крайне облегчает задачу. По этой же причине все эти решения тождественно удовлетворяют также и уравнениям движения идеальной несжимаемой жидкости, написанным, например, в виде (10,2 — 3). С этим связано то обстоятельство, что формулы (17,!) н (18,3) ие содержат вовсе коэффициента вязкости жидкости. Коэффициент вязкости содержится только в таких формулах, как (17,9), которые связывают скорость с градиентом давления в жидкости, поскольку самое наличие градиента давления связано с вязкостью жидкости; идеальная жидкость могла бы течь по трубе н при отсутствии градиента давления.
$19. Заков подобия ') Реп!ение более сложной задачи о движении вязкой жидкости в узком зазоре между цилиндрами с параллельнымн, но экснентрично расположенными осами, можно найти в ките: Кочин Н. Д., Кибела Н. А., Розе Н. В. Теоретическая гндромеланнка. — Мл Фнзматгнз, !963, ч. 2, с. 534, При изучении движения вязких жидкостей можно получить ряд существенных результатов нз простых соображений, связанных с размерностью различных физических величин.
Рассмотрим какой-нибудь определенный тип движения. Этим типом может быть, например, движение тела определенной формы через жид- зххон полония 87 кость. Если тело не является шаром, то должно быть также указано, в каком направлении оно движется, например, движение эллипсоида в направлении его большой оси или в направлении его малой оси и т.
п. Далее, речь может идти о течении жидкости по области, ограниченной стенками определенной формы (по трубе определенного сечения и т. п.). Телами одинаковой формы мы называем при этом тела геометрически подобные, т. е. такие, которые могут быть получены друг из друга изменением всех линейных размеров в одинаковое число раз. Поэтому если форма тела задана, то для полного определения размеров тела достаточно указать какой-нибудь один из его линейных размеров (радиус шара или цилиндрической трубы, одну из полуосей эллипсоида вращения с заданным эксцентриситетом и т.
п.), Мы будем рассматривать сейчас стационарные движения. Поэтому если речь идет, например, об обтекании твердого тела жидкостью (ниже мы говорим для определенности о таком случае), то скорость натекающего потока жидкости должна быть постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
