Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Из урав1геняй (!) находим: ог = — — 2 (2 — й). з(Р 2з) ог Интезрнруя же уравнение (2) по оа, получим: а 1 и Г йз и / бръ и = — — ) гиг з(а = — — — гчг — гз, г з(г 3 !2Чг 4г Ч, Нг !' о откуда Зчи Рз + —, ()тз — г'). Полная сила сопротивления, действующая иа пластинку, равна Зппийз 2йз ') В отличие от турбулентного следа — см. й 37. ') На неправомерность утверждения о сохранении равенства го( и О едоль линии тока', проходящей вдоль твердой поверхности, указывалось уже О й 21. Ламинариый след Прн стационарном обтекании твердого тела вязкой жидкостью движение жидкости на больших расстояниях позади тела обладает своеобразным характером, который может быть исследован в общем виде вне зависимости от формы тела.
Обозначим через 1) постоянную скорость натекающего на тело потока жидкости (направление 1) выберем в качестве оси х с началом где-либо внутри обтекаемого тела). Истинную же скорость жидкости в каждой точке будем писать в виде 1) +и; нь бесконечности т обращается в нуль. Оказывается, что на болыпих расстояниях позади тела скорость н заметно отлична от нуля лишь в сравнительно узкой области вокруг осн х. В эту область, называемую ламинарным жледохз '), попадают частицы жидкости, движущиеся вдоль линий тока, проходящих мимо обтекаемого тела на сравнительно небольших расстояниях от него. Поэтому движение жидкости в следе существенно завихрено.
Дело в том, что источником завихренности при обтекании твердого тела вязкой жидкостью является именно его поверхностьх). Это легко понять, вспомнив, что в картине потенциального обтекания, отвечающей иде- вязкая жидкость ~гл ж альной жидкости, на поверхности тела обрашается в нуль только нормальная, но не тангенциальная скорость жидкости чь Между тем граничное условие прилипания для реальной жидкости требует обращения в нуль также и мь При сохранении картины потенциального обтекания это привело бы к конечному скачку ч~ — возникновению поверхностного ротора скорости.
Под влиянием вязкости скачек размывается и завихренность проникает в глубь жидкости, откуда и переносится конвективиым образом в область следа. На линиях же тока, проходящих достаточно далеко от тела, влияние вязкости незначительно иа всем их протяжении, и потому ротор скорости на них (равный нулю в натекающем из бесконечности потоке) остается практически равным нулю, как это было бы в идеальной жидкости. Таким образом, на больших расстояннх от тела движение жидкости можно считать потенциальным везде, за исключением лишь области следа.
Выведем формулы, связывающие свойства движения жидкости в следе с действующими на обтекаемое тело силами. Полный поток импульса, переносимого жидкостью через какую-нибудь замкнутую поверхность, охватывающую собой обтекаемое тело, равен взятому по атой поверхности интегралу от тензора потока импульса: Компоненты теизора Пм равны: Пи= рбг»+ рФю+ й)(Ух+ еь).
Напишем давление в виде р = рч+ р', где ра — давление иа бес» конечности. Интегрирование постоянного члена раб,» + рКУ» даст в результате нуль, поскольку для замкнутом поверхности векторный интеграл $И= О. Обращается в нуль также и интеграл ~ рв»Н)». поскольку полное количество жидкости в рассматриваемом объеме остается неизменным, полный поток жидкости через охватываюшую его поверхность должен исчезать. Наконец, вдали от тела скорость ч мала по сравнению с 0.
Поэтому если рассматриваемая поверхность расположена достаточно далеко от тела, то на ней можно пренебречь в П,» членом ре;оь по сравнению с рУ~оь Таким образом, полный поток импульса будет равен интегралу $(р'б +рП п)И. Выберем теперь в качестве рассматриваемого объема жидкоти объем между двумя бесконечными плоскостями х = сопз(, 3 которых одна взята достаточно далеко впереди, а другая— ЛАминАРный след в зп аозади .тела. При определении полного потока импульса интеграл по бесконечно удаленной «боковой» поверхности исчезает (так как на бесконечности р' = О, ч = О), и поэтому достаточно интегрировать только по обеим поперечным плоскостям.
Получающийся таким образом поток импульса представляет собой, очевидно, разность между полным потоком импульса, втекающнм через переднее, и потоком, вытекающим через заднее сечение. Но эта разность является в то же время количеством импульса, передаваемым в единицу времени от жидкости к телу, г. е. силой Г, действующей на обтекаемое тело. Таким образом, компоненты силы Г равны разностям Р =( ~ — ~ ~(р'+реп„)дуда, 1» -х, »-х,/ Рэ=~ ~ — ~ ~Фп«Ф~(а Р»=~ ~ — ~ ~р(/и.
1у~2аэ ~,» ж х-ж/ ~»ж».т/ где интегрирование производится по бесконечным плоскостям А = х~ (значительно позади) и х = х» (значительно впереди Гела). Рассмотрим сначала первую из этих величин. Вне следа движение потенциально, и потому справедливо уравнение Бернулли р+ — (()+ ч) — сопя(=р,+ — И, илн, пренебрегая членом риз/2 по сравнению с рЬ5ч, р' = — рУп,. ,Мы видим, что в этом приближении подынтегральное выражение в Р, обращается в нуль во всей области вне следа.
Другими словами, интеграл по плоскости х=х» (проходящей впереди тела н не пересекающей след вовсе) исчезает полностью, а в интеграле по задней плоскости х= х~ надо интегрировать лншь по площади сечения следа. Но внутри следа изменение давления р' — порядка величины рп', т. е.
мало по сравнению с реп . Таким образом, приходим к окончательному результату, что сила сопротивления, действующая на тело в направлении обтекания, равна Р,= — рУ ~ и„дуНг, (21,1) где интегрирование производится по площади поперечного сечения следа вдали от тела. Скорость и, в следе, разумеется, отри.цательна — жидкость движется здесь медленнее, чем она двигалась бы при отсутствии тела. Обратим внимание на то, что стоящий (21,1) интеграл определяет «дефицит» расхода жидкости 1«л. и ВязкАя жидкость 1О4 через сечение следа по сравнению с расходом при отсутствии тела. Рассмотрим теперь силу (с компонентами Р„, Р,), стремяшуюся сдвинуть тело в поперечном направлении.
Эта сила называется подъемной, Вне следа, где движение потенциально, можно написать и„= дф/ду, и, = дф/дг; интеграл по проходящей везде вне следа плоскости х = хх обращается в нуль; — дуп'а=О, дф дх поскольку на бесконечности ф = О. Таким образом, для подъем- ной силы получаем выражение Р„= — рУ ~ п„Ыуйя, Р,= — рУ~ п,йуйг. (21,2) Интегрирование в этих формулах фактически тоже производится лишь по площади сечения следа. Если обтекаемое тело обладает осью симметрии (не обязательно полной аксиальной симметрии) и обтекание происходит вдоль направления этой оси, то осью симметрии обладает и движение жидкости вокруг тела.
В этом случае подъемная сила, очевидно, отсутствует. Вернемся снова к движению жидкости в следе. Оценка различных членов в уравнении Навье — Стокса показывает, что членом чу можно, вообще говоря, пренебречь на расстояниях «ог тела„удовлетворяющих условию «У/ч )) 1 (ср. вывод обратного условия (20,16) ); это и есть те расстояния, на которых движение жидкости (вне следа) можно считать потенциальным. Однако такое пренебрежение недопустимо даже на этих расстояниях в области внутри следа, поскольку здесь поперечные производные д'ч/ду', дзч/дзх велики по сравнению с продольной производной д'ч/дх'. Пусть У в порядок величины ширины следа, т.
е. тех расстояний от оси х, на которых скорость ч заметно падает. Тогда порядки величины членов в уравнении Навье — Стохса: ди Уч д~а чд (чЧ) ч У вЂ” —, чйч дх х дд' Г' . Сравнив эти величины, найдем: У = (чх/1!) Ок. (21,3) Эта величина действительно мала по сравнению с х ввиду пред- положенного условия Ух/ч )) 1, Таким образом, ширина ламинарного следа растет пропорционально корню из расстояния до тела.
Чтобы определить закон убывания скорости в следе обратимся к формуле (21,1). Область интегрирования в не1 Уз. ЛАМИНАРНЫИ СЛВД Поэтому оценка интеграла дает г, — рУРУт и, использовав соотношение (21,3), получим искомый закон: о — Р,/рчх. (21,4) Выяснив качественные особенности ламинариого движения вдали от обтекаемого тела, обратимся к выводу количественных формул, описывающих картину движения в следе и вие его. Лвинение внутри следа В уравнении Навье — Стокса стационарного движения (чч) ч= — ч-с-+ чЛч (21,5) вдали от тела используем приближение Осеена — заменяем член (чч)ч на (1317)ч (ср. (20,!7)).
Кроме того, в области внутри следа можно пренебречь в йч производной по продольной координате х по сравнению с поперечными производными, Таким образом, исходим из уравнения дт р гдгч дач У вЂ” = — Ч вЂ” + ч ( — + — ) ° дс р (. ду' да' г' (21 б) г Ищем его решение и виде ч=ч~+ча, где ч~ — решение уравнения (21,7) Величину же ча, связанную с членом — 17(р/р) в исходном уравнении (21,6), можно искать в виде градиента ЧФ от некоторого скаляра '), Поскольку вдали от тела производные по х малы по сравнению с производными по у и г, в рассматриваемом приближении надо пренебречь членом дФ/дх, т. е. считать ол оы. Таким образом, для о, имеем уравнение (21,й) Это уравнение формально совпадает с двухмерным уравнением теплопроводности, причем роль времени играет х/У, а роль коэффициента температуропроводности — вязкость и.
Решение, убывающее с возрастанием у и г (при заданном х), а в пределе нрн х-+.0 приводящее к бесконечно малой ширине следа (в рассматриваемом приближении расстояния порядка размеров тела считаются малыми), есть (21,9) ') далее в атом параграфе котекциал скорости оаоаггачаем как Ф, а отличие от ааимутальиого угла ф сферическая системы коорлииат. вязкая жидкость (Гл гт (ср. й 51). Коэффициент в этой формуле выражен через силу сопротивления с помощью формулы (21,!), в которой, ввиду быстрой сходимости интеграла, можно распространить его по всей плоскости уг. Если ввести вместо декартовых координат сферические г, О, ~р с полярной осью по оси х, то области следа ( т/уг+ гг к х) будут соответствовать значения полярного угла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
