Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Первым приближением в дальней области является просто постоянное значение чн> ч, отвечающее невозмущенному однародному набегающему потоку (» — единичный вектор в напраилении обтекания). Подстановка ч = ч+ч>'> в (20,20) приводит для чов к уравнению Осеена >х го1 [ч го1 ч'а') + Ь го1 ч>х> = О. Решение должно удовлетворять условию обращения скорости чм> в нуль на бесконечности и условию сшивки с решением (20,22) в промежуточной области", последнее условие исключает, в частности, решения, слишком быстро возрастающие'с уменьшением г '). Таким решением является следующее: > з Кг --,.на- со. н>1 о",> + о<,т> = соз О + —, ~ 1 — ~ 1 + — (1 + соз 9)1 е (20,24) > и> >а> 3, — хгпп-соха> оа + аа = — з!и О+ — з!и Ое аг г» 1.
') Для фиксирования численных коэффициентов в решении надо также учесть условие обращения в нуль полного потока жидкости через всякую замкнутую поверхность, охватывающую собой обтекаемый шар, ТЕЧЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕПНОЛЬДСА Отметим, что естественной переменной для дальней области является не сама радиальная координата г, а произведение р = гК.
При введении этой переменной из уравнения (20,20) выпадает число К вЂ” в соответствии с тем, что при г ) 1/К вязкие и инерционные члены в уравнении сравниваются йо порядку величины. Числа К входит при этом в решение только через граничное условие сшнвки с решением в ближней области. Поэтому разложение функции ч(г) в дальней области является разложением по степеням К прн заданных значениях произведения р = гК; действительна, вторые члены в (20,24), будучи выражены через р, содержат множитель К. Для проверки правильности сшивкя друг с другом решений (20,22) н (20,24), замечаем, что в промежуточной области (20,21) гК « 1 и выражения (20,24) могут быть разложены по этой переменной. С точностью до первых двух (после однородного потока) членов разложения находим: о, = соз О (1 — — ) + —, (1 — соз О) (1 + 3 соз О), 3 зй (20,25) оэ — з1п О'(! — — 1 — — з!и О(1 — созО).
4гг 8 С другой стороны, в той же области г )) 1 и потому в (20,22) можно опустить члены -1/га; остающиеся выражения действительно совпадают с первыми членами в (20,25) (вторые члены в (20,25) понадобятся ниже). Для перехода к следующему приближению в ближней области пишем е = е<!>+ч'"и получаем из (20,20) уравнение для поправки второго приближения: Л го! Р<А! = — К го! [е! !>го! Р(!>). (20,26) Решение этого уравнения должно удовлетворять условию обращения в нуль на поверхности шара н условию сшивкн с решением в дальней области; последнее означает, что главные члены в функции е!'>(г) при г)) 1 должны совпасть со вторыми членами в (20,25). Таким решением является следующее; зй ! зй г ! тзг ! ! о!в= — оп>+ — ~1 — — ) ~2+ — + — ) (! — 3 соззО), г 8 г 32 ~ г) ~ г гг) ом'= — пп>+ — ~! — — ) ~4+ — + — + — ) з!пОсозО Зй Зй г !Аг ! э 8 з 82 ~ г~~ г гг гз) Ф г « 1Я.
(20,27) В промежуточной области в этих выражениях остаются только члены, не содержащие множителей !/г; эти члены действительно совпадают со вторыми членами в (20,25). По распределению скоростей (20,27) можно вычислить по'правку к формуле Стокса для силы сопротивления. Вторые члены в (20,27) в силу своей угловой зависимости не дают Вязкая жидкость 1гл. и вклада в силу, а первые дают как раз тот поправочный член ЗК/8, который был приведен в (20,18).
В соответствии с изложенной выше аргументацией правильное распределение скоростей вблизи шара приводит (в рассмотренном приближении) к тому же результату для силы, что и решениеуравнения Осеена. Следуюшее приближение может быть получено путем продолжения описанной процедуры. В этом приближении появляются логарифмические члены в распределении скоростей, а в выражении (20,18) силы сопротивления скобка заменяется на (1+ Ф К вЂ” 9 Кт]п й (причем логарифм ]и(!/К) предполагается большим)' ). Задачи 1.
Определить движение жидкости, заполивющей пространство между двумя концентрическими сферами (радиусов )1~ и )тз; Рз ) 1(~), равномерно вращающимиса вокруг различных диаметров с угловыми скоростями й1 и йз (числа Рейиольдса й1)7~1/ч, йфт/ч ~ 1). Р е ш е и н е. В силу линейности уравнений движение между двумя вращающимиса сферами можно рассматривать как наложение двух движений, имеющих место, если одна из сфер покоптев, а другая вращаетсн. Положим сначала й, О, т.е вращается только виутрениаа сфера. Естественно ожи.
дать, что скорость жидкости в каждой точке будет направлена по касательной к окружности с центром иа оси вращении в плоскости, перпеиднкулариой к этой осн. Но в силу аксиальиой симметрии относительно оси вращении давление ие может. иметь градиента в этом направлении. Поэтому уравнение движения (20,1) приобретает вид Лч=о. Вектор угловой скорости й, является аксиальиым вектором. Рассуждении, аналогичные произведенным в тексте, показывают, что можно искать скорость в виде ч го1 Щ (г) =ЧЧ[ ° й|].
Уравнение движении дает тогда [агап а[ Щ = О, поскольку вектор угада[ направлен по радиус-вектору, а произведение [гй,] ие может быть равно нулю при заданном й, и произвольном г, то должно бмть Кгаб а[ = О, так что а[ сопз1. Интегрируя, получаем Ь г Ь [= ага+ —, ч 1х — — 2а) [й,г]. Постонииые а и Ь определаются из условий ч = О при г )7з и ч = ц при г =)1ь где и [й,г] есть скорость точек вращающейся сферы. В резуль- тате получим: Рз,з Кз й! ') См. Ргоиг(тап (, Реаггоп Д )7.
— д. Р)шй Ыесн., 1957, ч, 2, р. 237, тнчвнин пин мальзх чнслах пнинольдсд Давление а жидкости остается постоянным (р рз). Аналогично получается для случая, когда вращается внешний шар, а внутренний покоится (Яг = 0)з )(з)(з — — [Йзг). з~ )(з — )7г )сз г' В общем случае вращения обеих сфер имеем: Если внешний шар вообще отсутствует ()(з = со, йз = 0), т. е. мы имеем просто шар радиуса К, вращающийся в иеограничейной жидкости, то )(з = —,. [1),[.
Вычислим момент сил трения, дейстнующих на шар в этом случае, Если выбрать сферические координаты с полярной осью по зз, то )(з() о =ив=О, о о — юпй. г ' ч гг Действующая иа единицу поверхности шара сила трения равна г где ог ~ о, г) 1ь — — — г1 = — Зг)й з1п 9. г'з ~дг гу(г Полный действующий на шар момент сил тренин есть М = ~ о )7 з1п 9 ° 2п)(з з!п 9 г(9, о откуда М = — йпз)кзй Если отсутствует внутренний шар, то ч = [Язг[, т.е.
жидкость просто вращается как целое вместе со сферой, внутри которой она находится. 2. Определить скорость круглой капли жидкости (с вязкостью з)'), движущейся под влиянием силы тяжести в жидкости с вязкостью Н (йг. )суй- сзупзМ, 1911). Решение. Пользуемся системой координат, в которой каплв покоится. Длв жидкости снаружи капли ищем решение уравнения (20,5) опять в виде (20,6), так что скорость имеет вид (20,7).
Для жидкости же внутри капли надо искать решение, не обладающее особой точкой при г = 0 (причем должны оставаться конечными также и вторые производные от [, определяющие скорость). Таким общим решением явлнется А, В 1= — г'+-и-гзг 4 чему соответствует скорость ч — Ап + Вг' [п (пп) — 2п[. (гл. И ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ 100 На поверхности шара ') должны быть выполнены следующие условия. Нормальные составляющие скорости вещества вне (ты~) и внутри (ч~п) капли должны обращаться в нуль; о1" = г/' = О, г г Касательная компонента скорости должна быть непрерывна: пф о~ю то же самое должно иметь место для компоненты п„в тензора иапряжениЛ: а" и апа э э 2/сза (р — р') (Ч+ Ч') 3Ч (2Ч + 3Ч') 3. Две параллельные плоские круглые пластинки (радиуса /с) расположены одна над другой на малом расстоянии друг от друга; пространство между ними заполнено жидкостью, Пластинки сближаются друг с другом с постоянной скоростью и, вытесняя жидкость.
Определить испытываемое пластинками,сопротивление (О. /геупоЫз). Решение. Выбираем цилиндрические координаты с началом в центре нижней пластинки (которую полагаем неподвижной). Движение жидкости осесимметрично, а ввиду тонкости слоя жидкости в основном радиально (и, к, п,), причем до,/дг «» до,/дз. Поэтому уравнения движения принимают вид д'ег др бп дгз дг ' дг (1) ! д (гог) дог — — + — =0 г дг дз (2) ') Изменение формы капля при ее движении можно не рассматривать, так как оно представляет собой эффект высшего порядка малости, Но для того чтобы движущаяся капля фактически была шарообразной, силы поверхностного натяженкя на ее границе должны превышать силы, происходящие от неравномерности давления н стремящиеся нарушить шаровую форму, Зто значит, что должно быть Чм//с ~ и//с (м — коэффициент поверхностного натяжения) или, подставляя и — Йзур/Ч: /( ~ (а/рй) ч; (условие же равенства компонент а„тензора напряжений можно не писать— оно определило бы собой искомую скорость и, которую, однако, проще найти, как это сделано ниже).
Из указанных четырех условий получаем четыре уравнения для постоянных а, Ь, А, В, решение которых дает 2Ч + 3Ч' 3 В Ч' А В „ Ч 4 (Ч + Ч') ' 4 (Ч + Ч') ' 2 (Ч + Ч') ' Для силы сопротивленпя получаем согласно (20,!4а): р 2пп /( 2Ч + ЗЧ' Ч+ Ч' При Ч'-ьао (что соответствует твердому шарику) эта формула переходит в формулу Стокса. В предельном же случае Ч'-ьй (газовый пузырек) получается г" = 4пиЧ(3, т. е, сила сопротивления составляет 2/3 сопротивления тверлому шарику. 4п Приравнивая г" деЛствующей на каплю силе тяжести — /(з(р — р') д, 3 найдем: ЛАМИНАРНЫИ СЛЕД (О( и з!] с граничными условиями при а=о: при л йл при г=й: о„ох=О, от=в, Р Рз (6 — расстояние между пластинками, рз — внешнее давление).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
