Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 22
Текст из файла (страница 22)
менио обращается в нуль (действительно, это есть скаляр, который должен определяться линейной комбинацией компонент тензора и;а., но единственный таком скаляр асс = О). При вычислении интеграла по сфере очень большого радиуса в выражении (22,3) для скорости следует, конечно, сохранить лишь члены -1/гз. Простое вычисление дает для этого инте.
грала ит!а 20п)сз(5а, пспапсп — ассп,пд), где черта обозначает усреднение по иаправлениям единичного вектора и. Производя усреднение'), получим окончательно: ~ да дсс чидз (22,6) ') Искомые средние значения произведений компонент единичного вектора представляют собой симметричные теизоры, которые могут быть составлены только из еднничныа тензоров да. Имея зто в виду, легко найти, что — 1 ! псиа= з йм' оспаисплс ш (йсайслс+ дссбалс+ йссийвс)' ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ $231 Первое слагаемое в (22,6) после подстановки в него у1о1 из (22,1) дает 22)оа;м член же первого порядка малости в этом слагаемом тождественно обращается в нуль после усреднения по направлениям и (как и должно было быть, поскольку весь эффект заключен в выделенном в (22,5) интеграле).
Поэтому искомая относительная поправка в эффективной вязкости суспензии т) определяется отношением второго члена в (22,6) к первому. Таким образом, получим б 4п1)з .="~1+~.) .. = —,' (22,7) где ф — малое отношение суммарного объема всех шариков к полному объему суспензии. Уже для суспензии с частицами в виде эллипсоидов вращения аналогичные вычисления и окончательные формулы становятся очень громоздкими '), Приведем для иллюстрации числовые значения поправочного коэффициента А в формуле 4паь' т) т)о(1+ Ач')' гр= з и для нескольких значений отношения а/Ь (а и Ь = с — полуоси эллипсоидов): а/Ь= 0,1 0,2 0,5 1,0 2 5 !О А = 8,04 4,71 2,85 2,5 2,91 5,81 13,6 Поправка возрастает по обе стороны от значения а/Ь = 1, отве- чающего сферическим частицам. 5 23.
Точные решения уравнений движения вязкой жидкости Если нелинейные члены в уравнениях движения вязкой жидкости не исчезают тождественно, решение этих уравнений представляет большие трудности, и точные решения могут быть получены лишь в очень небольшом числе случаев. Такие решения представля от существенный интерес — если не всегда физический (ввиду фактического возникновения турбулентности при достаточно больших значениях числа Рейиольдса), то, во всяком случае, методический. Ниже приводятся примеры точных решений уравнений движения вязкой жидкости. ') В потоке суспензнн с нещарообразнымн частицами наличие градиентов скорости оказывает ориентирующее действие иа частицы.
Под влизинем одновременного воздействия ориентирующих гидродннамических сил и дезориен тирующего вращательного броуновского двнженпя устанавливается анизотропное распределение частиц по нх ориентации в пространстве. Этот эффект, однако, ие должен учитываться при вычислении поправки к вязкости тр аия. зотропня ориентационного распределения сама зависит от градиентов скорости (в первом приближении — линейно) и ее учет привел бы к появлению в теизоре напряжений нелннейных по градиентам членов.
1гл, и вязкая жидкость 112 Увлечение жидкости вращающимся диском Бесконечный плоский диск, погруженный в вязкую жидкость, равномерно вращается вокруг своей оси. Требуется определить движение жидкости, приводимой в движение диском (Т. Каттап, 1921). Выбираем плоскость диска в качестве плоскости г = 0 цилиндрических координат. Диск вращается вокруг оси г с уг- ловой скоростью 11. Рассматриваем неограниченную жидкость с той стороны диска, где г ) О. Предельные условия имеют вид: о,=О, о„=йг, о,=О при г=О, о,=О, о„=О при г=со. Лксиальная скорость о, не исчезает при г.
оо, а стремится к постоянному отрицательному пределу, определяющемуся из самих уравнений движения. Дело в том, что, поскольку жидкость движется радиально по направлению от оси вращения, в особен- ности вблизи диска, для обеспечения непрерывности в жидкости должен существовать постоянный вертикальный поток по на- правлению из бесконечности к диску. Решение уравнений дви- жения ищем в виде о, = г11Р (г,); о„=с(16(г,); о,= т~м52 Н(г,); РРб (23,1) р= — ртйР(г,), где г, = ~~ — г. В атом распределении радиальная и круговая скорости про- порциональны расстоянию от оси вращения диска, а вертикаль- ная скорость о, постоянна вдоль каждой горизонтальной пло.
скости. Подстановка в уравнения Навье — Стокса и уравнение непре- рывности приводит к следующим уравнениям для функций Р, 6,Н, Р: Рз — 62+ Р!Н =Р", 2Р6+ 6'Н = 6", НН' = Р'+ Н", 2Р + Н' = 0 (штрих означает дифференцирование по г~) с предельными усло- виями: Р=О, 6=1, Н=О при г,=О, Р=О, 6=0 при г, = со. (23,3) Мы свели, таким образом, решение задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной переменной, которое может быть произведено численным обра. зом. На рис. 7 изображены полученные таким способом графики функций Р, 6, — Н.
Предельное значение функции Н при г,— со равно — 0,886; другими словами, скорость потока жидкости, те- кущего из бесконечности к диску, равна ол (ос) = — 0,886 т~~И. точные Решения уРАВнении движения пз Сила трения, действующая на единицу поверхности диска по направлению, перпендикулярному к его радиусу, есть о,о —— до =. г! — о ~ . Пренебрегая эффектами от краев диска, можно написать пп для диска большого, но конечного радиуса )с момент действующих на него сил трения в виде дп М= 2 ~ 2игса, с(г = ИД4р П'убз6'(0) и йп дп зп и г, (множитель 2 перед интегралом учитывает налиРис.
7 чие у диска двух сторон, омываемых жидкостью). Численное вычисление функции 6 при- водит к формуле М = — 1,94 Я4р т/чй~. (23,4) Течения в диффузоре и конфузоре Требуется определить стационарное движение жидкости между двумя плоскими стениами, наклоненными друг к другу под углом (на рис. 8 изображен поперечный разрез обеих плоскостей); истечение происходит вдоль линии пересечения плоскостей (6. Нате1, 1917)..
Выбираем цилиндрические иоордина- П ты г, г, ф с осью г вдоль линии пересечения плоскостей (точка 6 на рис. 8) и углом гр, отсчитываемым указанным па рис. 8 образом. Движение однородно Рис. 8 вдоль оси г, и естественно предположить, что оно будет чисто радиальным, т.
е. оо = о, = О, о, = о(г, !р). Уравнения (15,18) дают до ! др Гд'о ! д'о 1 до ох и — = — — — +ч ~ —,+ —,— + — — — —., г!! дг р дг ~дг' г' дф' г дг ггпу! ! др 2о до — — — + — г — =0; рг дф г' дф д (го) — = О. дг (23,8) (23,8) вязкая жидкость 1!4 1гл. и Из последнего уравнения видно, что го есть функция только от ф. Введя функцию байр)= а„п, 1 (23,7) получаем из (23„0): 1 рр 12~~ да р дэ ' Пр' откуда — и йр) + ( (г). р г' Подставляя это выражение в (23,5), получаем уравнение —, + 4и + би = — гз1'(г) Иа 1 Г(г)=12т'С,—,, откуда бт'С~ 1(г) = — —,' +сопз1, и окончательно имеем для давления р бт~ — = — (2и — С~) + сопз(. р г' (23,8) Для и(1р) имеем уравнение и" + 4и+ биз = 2Сь которое после умножения на и' и первого интегрирования дает — + 2и'+ 2из — 2С,и — 2С, = О.
2 Отсюда получаем: + См (23,9) чем и определяется искомая зависимость скорости от щ функция и(~р) может быть выражена отсюда посредством эллиптических функций. Три постоянные Сь Сь Сз определяются из граничных условий на стенках п(~ 2)=0 (23,! О) откуда видно, что как левая, так и правая части, зависящие со- ответственно только от ~р и только от г, являются, каждая в от- дельности, постоянной величиной, которую мы обозначим как 2Сь Таким образом: точные Решения уРАВнении даижРния (23,11) причем постоянные иа и д определяются из условий о а=- о(и Ч/(и+ ио) 1 — «' — (1 — ио) и+ Ч[ и и о(и 3 (и+ ио) [- ио — (! — и,) и+ д! (где Й = ~Ц~/тр); постоянная д должна быть положительна, в противном случае зти интегралы сделались бы комплексными.
Эти два уравнения имеют, как можно показать, решения для и, и д при любых К и а ( и. Другими словами, сходящееся (конфузорное) симметрическое течение (рис. 9) возможно при любом угле раствора и(л и любом числе Рейнольдса. Рассматрим подробнее движение при очень больших к. Большим й соответствуют также и большие значения ио. Написав (23,12) (для (23,!3) и из условия, что через любое сечение г = сопИ проходит (в 1 сек.) одинаковое количество жидкости (.): +а)2 +а)2 () = о ~ пг о[ор = бур ~ и г[ор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
