Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 26
Текст из файла (страница 26)
!а г гт Ь)' Момент сил тренин, действующих на обе стороны диска, равен до ! М = 2 ~ гйпгг) — ~ дг вбсп "~/вйг) Ам соз ~в! — — ). дг з з о а Я. Определить движение жидкости между двумя цараллельнымн плоскостями при наличии градиента давления, меняющегося со временем по гармоническому закону.
Решение. Выбираем плоскость х, г посередине между обеими плоскостямн; ось х направлена по градиенту давления, который пишем в виде ! др — — — =ае р дх Скорость направлена везде по оси х и определяется уравнением до гэ! д о — =ае +т— д! дрг ' Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям о = 0 прн р ~й/2.
есть га гэг) соз йй в 1 соз (йй/2) .Г Среднее (по сечению) значение скорости равно !а -гэгг 2 ЛЛА й- — е-" ~~! — — 1Š— ). в 'ч йй 2 )' При й/д ~ 1 это выражение переходит в бм ае Л' 12т в согласии с (17,5), а прн й/б ~ 1 получается !а бм — е в соответствии с тем, что в этом случае скорость должна быть почти постоянной вдоль сечения и заметно меняется лишь в узком пристеночном слое, б. Определить силу сопротивления, испытываемую шаром (радиуса //), совершающим в жидкости колебательное поступательное двшкение.
Решение. Скорость шара пи!пем в виде и =и,е ~~. Аналогично тому, нак мы поступали в й 20, ищем скорость жидкости в виде т=е !"г го1го1/и,, где / — функция только от г (начало координат выбираем в точке нахождения центра шара в данный момент времени). Подставляя в (24,9) и производя преобразования, аналогичные произведенным в $ 20, получаем уравнение йг/ + — б/=0 т 131 колевательное движение в вязкое жидкости Реже и ив Разлагаем и(С) в интеграл Фурье: + ! и(С] — ~ и е сэисйо, им ~ и(с)е™Ит Ю Оь ан В силу линейности уравнений полная сила сопротивления ож б я может ыть написа а в зиле интеграла от снл сопротивления, получаюшихс ихся при движении со скоростями, равными отлельиым компонентам Фу е урье име :, эти силы опрелеляются выражением (3) задачи 5 н равны (1-С) ч/а . сс(и э Замечая, что сх — ) = — Сои, переписываем это в виде При интегрировании по с(ы/2п в первом и втором членах получаем соответственно и(С) и и(П.
Для интегрирования третьего члена раньше всего заме. чаем, что лля отрицательных ю надо писать этот член в комнлексн 1 — ! жеином виде, написав в ием — вместо — 'это связано полученная в задаче 5 Формула (3) выведена для скорости и изе с положительным ин для скорости же изее получилась бы ком нряжениач величина). Поэтому вместо янтегралз по с(е> а п е е ы комплексно сое а пределах от †ло .(.со можно написать улзоенную вешестаенную часть иитегр л +со.
Пишем: еграла от 0 до г (й)„е '~ Г Г й( ),с ст-и -ю э О С м -м +( +() ~- йюсст чь -(-')" . с ~ с~ с ( 2)сс' ~ и (() 132 ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ [ГЛ. И Таким образом, получаем окоичательиое выражеиие для силы сопротивлепвя з з11 ди Зт 3 /т Г ди дт р 2яр/7з ! з а+ у (4) н Ю /7'Ч .) ~. „/~ —,~! 8. Определить салу сопротввлеивя для шара, иачввающего в момеит 1 = 0 дввгаться равноускореиво по закону и а/. Решеиие. Полагая в формуле (4) задачи 7 и 0 прв /(0 в и = а/ яри 1> О, получаем (прв / > О): Л=йяр/(за( — '+ — "Г+ ' (Ж) ~~. 9.
То же для шара, мгновенно яриведениого в равиомервое дввжеяве. Решение. Имеем и = 0 прв 1 0 и и = из прв 1 О. Провэаодвая з(и/д/ равна пулю всегда, кроме момента / = О, в который ояа обращается в бесконечность, причем так, что интеграл от ди/дг по времеии конечен и равен иэ В результате получаем для всего времеии 1 > 0 Р=бп /(из~1+ ~+ Язб(1); /7 ! 2з) р/7з ч/ Г) 3 здесь б(1) есть б-функция. При 1- сс это выражение асимптотнчески пряблвжаетсв к зиачевйю, даваемому формулой Стокса. Импульс силы сопротивления, вспытываемый шаром в течение бесконечно малого интервала времени вокруг / = О, получается ивтегрвроваивем по времени последнего члеиа в /з и равен 2пр/7зиз/3 10.
Определвть момент свл, действующих на шар, совершающий в вязкой жидкости вращательное колебательное движение вокруг своего диаметра. Ре шеи ие. По тем же прнчвяам, что в н задаче ! 5 20, в уравнения движеивя можио ве писать члена с градиентом давлеивя, так что имеем дт — т дт. д/ Ищем решение в виде т го!/йзе где й йзе хиг — угловая скорость врашевия шара. для / получаем теперь вместо уравнения А/ = сопй следующее уравнение: б/+ й / соп51 Опуская иесуществеиный постоянный член в решения этого уравяеиня, имеем отсюда /= — е (выбнраетсв решение, которое обращается на бескоиеча гаг г паств в нуль). Постоянную а определяем вз предельного условия ч = ]йг] иа поверхности шара и в результате получаем: /(з г /7 хэ 1-/йг = г(1 — /А/7) ' (х г ~ ! — 1й/7 (/с — радяус шара), Вычисление, аналогичное произведенному в задаче 1 $20, приводит к следующему выражению для момента сил, действующих иа шар со стороны жидкости: Зп з 3 + б/7/б + 6 (///б)з + 2 /7/6) — 21(/7/б)з (1 + /7/б) 3 1 + 2/1/б + 2 (/7/б)' ЗАТУХАНИЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН !ЗЗ При ю-ьо (т.е.
б- о ) получается выражение М = — Зпт!/саЯ, соответствующее равномерному вращеншо шара (см. задачу 1 5 20). В обратном же предельном случае /1/б Ф 1 получается: М вЂ” и/1' (/Чрю (1 — 1) Я. 4 ч/2 3 Это выражение можно получить н непосредственным путем: при б ~ /1 каждый элемент поверхности шара можно рассматривать как плоский, а действующую на него силу трения определить по формуле (24,6), подставив н нее скорость и = Я/с Мп 8.
11. Определить момент снл, действующих на наполненный вязкой жидкостью полый шар, совершающий вращательное колебательное движение вокруг своего диаметра. Ре ше н и е. Ищем скорость в том же ваде, как н в предыдущей задаче. Для / берем решение, конечное во всем обьеме внутри шара, включая его з!п йг центр: / = а . Определяя а из граничного условия, получаем1 'г /1 )З гй соз йг — 3!п Ат ° ) м'а!а= ью [()г] ( — / Вычисление момента снл трения нрнводит к выражению М 8 з й /г з(е й/с + Зй/с соз й/с 3 з)р й 3 й/1 соз А/с — 3!п й/1 Предельное выражение прн /с/б л' 1 совпадает, естественно, с соответствующим выражением предыдущей задачи.
Если же /т/б чк 1, то 8 г /(зю ъ М - — нрю/(за 18 ~ Збт У" Первый член в втой формуле соответствует инерционным силам, возникаю- щим прк вращении всей массы жидкости как целого. ф 2$. Затухание гравитационных волн Рассуждения, аналогичные вышеизложенным, могут быть проведены по поводу распределения скоростей вблизи свободной поверхности жидкости. Рассмотрим колебательное движение, происходящее у поверхности жидкости (например, гравитационные волны). Предположим, что выполняются условия (24,!!), в которых теперь роль размеров ! играет длина волны А: йзЮЪУ, а~Л (25,1) (а — амплитуда волны, ш — ее частота). Тогда можно утверждать, что решение будет вихрейым лишь в тонком слое у поверхности жидкости, а в основном се объеме движение будет потенциальным †так, каким оно было бы у идеальной жидкости. Движение вязкой жидкости должно удовлетворять у свободной поверхности граничным условиям (15,16), требующим исчезновения определенных комбинаций производных от скорости по координатам.
Движение же, получающееся в результате решения уравнений гндродинамики идеальной жидкости, этому усло- 1Зб ВАТУХАНИВ ГРАВИТАПИОННЫХ ВОЛН ская и потенциальная энергии равны друг другу. На этом осно- вании можно написать Е „просто как удвоенную кинетическую энергию: ~-2, ~~аж У откуда Е„, = 2рй' ~ грз~Лг.
(25,3) Затухание волн удобно характеризовать коэффициентом затухания у, определенным как отношение у =)Е„,а ))2Е. (25,4) (25,5) Подставляя сюда (12,7), получим коэффициент затухания гравитационных волн в виде я (25,6) Задачи 1. Определвть козффнциеит затухания длвиыых гравнтациоияых воли, распространяюшнхся в канале постоянного сечения; частота предполагается яастолько большой, что Ч/т(м мало по сравяению е глубиной жидкосты в каяале ы его шириной.
Решение. Основная диссипзция ввергни будет происходять з присте«очыом слое жидкости, где скорость меяяется от нуля на самой стенке ао зяачения е е,е '" которое она имеет з волне Средняя днссипация зыергии (отнесенная к единыце длины канала) равна согласие (24,14) — Ч/ЧРм1 )оо Г 2 чГ2 1 — длина той части контура сеченив канала, вдоль' которой он соприкасается с жидкостью Средяяя же знергчя жидкости (тоже отнесенная к единице длины канала) равна Яраз Яр 1 еь 1'(2 (5 — плошадь сечения жидкостн з канале).
Коэффициент затухаяия раееи т- ( 4~. Так, для канала прямоугольного сечения (ширвна а, глубина жидкости Л) у- Ч(тмш. 2Л+ а 2 чу ай С течением времени энергия волны падает по закону Е = сопз( е-зт', что касается амплитуды волны, то, поскольку энергия пропорциональна ее квадрату, закон ее уменьшения со временем определяется множителем а-тг. С помошью (25,2 — 3) находим: у = 2тйз. ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ !Гл.
1г 2. Определить дввженне в граввтацнонной волне на жндкостн с большой вязкостью (т ~ Ыгг). Решение. Приведенное в тексте вычнсленне коэффициента затухання прнмевнмо только в случаях, когда этот коэффнцнент мал (у С е), так что движение можно рассматрнвать в первом приблпжеввв как движение ндеальной жидкости. Прн пронзвольчой вязкоств ищем решенне уравненнй дви- жения до / дгог дгсг 1 ! др г д! ~ дх' дх'/ р дх д „до. — + — =О, дх дх завнсящее от ! н х как е-'е'"'* и затухающее с х по направленвю в глубь жндкостн (х ) 0) Получаем: о =е-""" (Асах+ Вг™), эг е ( — 1'Ае — 1' — Ве — !Е1Е1аг / .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
