Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Кривая в плоскости от, тт, определяемая уравнением ]шй(от, гт) = О (ее называют кривой нейтральной устойчивости или просто нейтральной кривой) дает границу устойчивости, разделяя для каждого К области значений частоты возмущений, усиливающихся или затухающих вниз по течению. Фактическое проведение вычислений чрезвычайно сложно Полное исследование было произведено аналитическими методами лишь для плоского пуазейлевого течения — течения между двумя параллельными плоскостями (С.
С. Ыгт, 1948). Укажем здесь результаты такого исследования '). Течение (невозмущенное) между плоскостями однородно не только вдоль направления своей скорости (ось х), но и во всей плоскости хз (ось у перпендикулярна плоскостям). Поэтому можно искать решения уравнений (26,4) в виде г (а„к+а г-мг) т( (28,3) с волновым вектором ]с в произвольном направлении в плоскости дг. Нас, однако, интересуют лишь те возрастающие возмущения, которые появляются (при увеличении ц) первыми; именно они определяют границу устойчивости. Можно показать, что прп заданной величине волнового вектора первым становится незатухающим возмущение с ]с вдоль оси х, причем )е = О. Таким образом, достаточно рассматривать только двумерные (как и ') См.
книгу: Лннв Цзя-цзло. Теория гидродинамической устойчивостн.— М.: ИЛ, 1958 [Йл С. С. ТЬе 1Ьеогу о1 Ьубгобупапис з1аЬпцу. — СагпЬг)бяе, 1955]. Изложение этих, а также и более поздних исследований по данному вопросу дано в указанной в примечании иа с, !45 книге Дразнив и Рейда ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 160 !гл, гп Основное течение) возмущения в плоскости ку, не зависящие о! координаты з'). Нейтральная кривая для течения между плоскостями изображена схематически на рис.
!7. Заштрихованная область внутри кривой †облас неустойчивостиа). Наименьшее значение рх, при котором появляюгся незатухающие возмущения, оказывается равным Кар —— = 5772 (по более поздним уточненным расчетам, 5. А. Огзгап, 1971); число Рейнольдса определено здесь как рч = (/юрк/т/2», где (/ ,„ — максимальная скорость течейк я ния, а й/2 — половина расстояния межкр ду плоскостями, т. е. расстояние, на Рис. !7 котором скорость возрастает от нуля до максимума'). Значению й = гхтр отвечает волновой вектор возмушения й„, = 2,04//г.
При К- оо обе ветви нейтральной кривой аснмптотически приближаются и оси абсцисс по законам ой/(/мр„= К зл' и кй/(/,„К аа соответственно для верхней и нижней ветвей; при этом на обоих ветвях ш и й связаны соотношениями вида шй/(/ ж (лй)з, Таким образом, для всякой отличной от нуля частоты ш, не превышающей определенного максимального значения (-(///г), существует конечный интервал значений й, в котором возмушення усиливаются"). Интересно, что малая, но конечная вязкость жидкости оказывает в данном случае в известном смысле ') Доказательство этого утверждения (Н.
В. луи/ге, !933) состоит в том, что система уравнений (26,4) для возмущений вида (26,4) может быть приведена н виду, в котором она отличается от уравнений для двумерных возмущений лишь заменой и на и соыр, где яр — угол межлу 1г я»о (в плоскости хз). Поэтому критическое число йкр для трехмерных аозиущеиий (с заданным й) йкр — — икр/созе ) й.р, где я„р вычислено для лвумерных возмущений. ') Нейтральная кривая в плоскости й, й. имеет аналогичный вид Поскольку на нейтральной кривой вещественны как ш, так и д, то эти кривые в обоих плоскостях — это одна и та же зависимость, выраженная в различных переменных.
') В литературе нспольз>ется также и другое опрелеление я для пло. ского пуазейлевого течения — ках отношения й0/», где 0 — средняя (по сечению) скорость жидкости. Ввиду равенства 0 = 20 .,/3, имеем й0/» = 4Н/3, где и определено согласно (26,4). ') Доказательство коивеитивного характера неустойчивости плоского пуазейлевого течения дано в статье; Иорданский 0. В., Куликовский А.
Г,— ЖЭТФ, 1966, т. 49, с. !326. Доказательство, однако, относится лишь к обла. сти очень больших значений (!. в которой обе ветви нейтральной кривой близки к оси абсцисс, т. е. на обоих ветвях йй кс !. Для чисел /7, при которых иа нейтральной кривой йй 1, вопрос остается открытым, УСТОЙЧИВОСТЬ ВВИЖВИИЯ ПО ТРУБВ дестабилизирующее влнннне на устойчивость по сравнению с тем, что имело бы место для строго идеальной жидкости '). Действительно, прн К-~-оо возмущения со всякой частотой затухают; при введении же конечной вязкости мы в конце концов попадем в область неустойчивости, пока дальнейшее увеличение Вязкости (уменьшенне К) не выведет снова из этой области.
Для течения в трубе кругового сечения полное теоретическое исследование устойчивости еще отсутствует, ио имеющиеся результаты дают веские основания полагать, что это движение устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям (как. в абсолютном, так и в конвектнвном смысле) при любых числах Рейнольдса. В силу аксиальной симметрии основного течения, возмущения можно искать в виде у . е~ ~пв+ве — ап 1(г) (28,5) (как и в (27,4) ). Можно считать доказанным, что осеснмметричные (л = О) возмущения всегда затухают. Среди исследованных неосесимметрнчиых колебаниях (с определенными значениями п в определенных интервалах значений числа Рейнольдса) тоже не оказалось незатухающих. На устойчивость течения в трубе.
указывает и то обстоятельство, что при очень тщательном устранении возмущений у входа в трубу удается поддерживать ламинарное течение до очень больших значений К (фактически его удавалось наблюдать вплоть до К ж 1Ов, где К ()ааа г'/2Ф (7 г(/у (28,бг г) — диаметр трубы, (/,„— скорость жидкости на оси трубы). Течение между плоскостями н течение в трубе кругового сечения можно рассматривать как предельные случаи течения в трубе кольцевого сечения, т.
е. между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями (раднусов К, и Ка, Ка ) К,). При К~ — — 0 мы возвращаемся к трубе кругового сечения, а пределу Я, — Ка отвечает течение между плоскостями. По-видимому, критическое число К,р существует прн всех отличных от нуля значениях отношения К~/Ка < 1, а' при К1/Кв — «О оно стремится к бесконечности. Для всех этих пуазейлевых течений существует также критическое число К„'„, определяющее границу устойчивости по отношению к возмущениям конечной интенсивности. При К < К'., в трубе вообще не может существовать незатухающего нестацпонарного движения. Если в каком-либо участке возникает турбулентность, то при К < К,', турбулентная область, сносясь вниз по течению, в то же время сужается, пока не исчезнет совсем; ') Это свойство было впервые обнаружено Гейаенбергом ()е.
Неиепбегх, 1924) . 1гл гн ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 152 напротив, при 11 > Й'„~ она будет с течением времени расширяться, захватывая все больший участок потока. Если возмущения течения непрерывно происходят у входа в трубу, то при К < )т'„' они непременно затухнут на некотором расстоянии от входа, сколь бы сильны они не были. Напротив, при 1Т ) й', движение станет турбулентным на всем протяжении трубы, причем для этого достаточны тем более слабые возмущения, чем больше 11.
В интервале между К'„Р и й„» ламинарное течение метастабнльно. Для трубы кругового сечения незатухающая турбулентность наблюдалась уже при К ж 1800, а для течения между параллельными плоскостями — начиная с К вЂ” 1000. Ввиду «жесткости» срыва ламинарного течения в трубе, он сопровождается скачкообразным изменением силы сопротивления.
При течении по трубе при м 11'„Р имеется, по существу, два различных закона сопротивления (зависимости силы сопротивления от 11) — один для ламинариого и другой для турбулентного течений (см. ниже 2 43). При каком бы значении ц ни произошел переход одного в другое, сила сопротивления испытывает скачок. В заключение этого параграфа сделаем еще следующее замечание. Граница устойчивости (нейтральная кривая), полученная для течения в неограниченно длинной трубе, имеет еше и другой смысл, Рассмотрим течение в трубе очень большой (по сравнению с ее шириной), но конечной длины.
Пусть на каждом из ее концов поставлены определенные граничные условия — задан профиль скорости (например, можно представить себе концы трубы закрытыми пористыми стенками, создающими однородный профиль); везде, за исключением концевых отрезков трубы, профиль (невозмущенный) скорости можно считать пуазейлевским, не зависящим от х. Для определенной таким образом конечной системы можно поставить задачу об устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям (общий метод установления критерия такой устойчивости, которую называют злобальной, описан в 1Х, 5 65). Можно показать, что упомянутая выше нейтральная кривая для бесконечной трубы является в то же время границей глобальной устойчивости в конечной трубе, независимо от конкретных граничных условий на ее концах').
2 29. Неустойчивость тангенциальных разрывов Движением несжимаемой жидкости, неустойчивым в идеальной жидкости, являются течения, при которых два слоя жидкости двигались бы друг относительно друга, «скользя» один по '1 Си. Куликовский А. Г. — Прикл. яат. и иех., 19ВВ, т. 32, с. 112. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ 153 З вв другому; поверхность раздела между этими двумя слоями жидкости была бы поверхностью танаенциального разрыва, на которой скорость жидкости (направленная по касательной к поверхности) испытывала бы скачок (Н. Не!тйо!ге, !868; )у'.
Ке!Оуп„ 1871). В дальнейшем мы увидим, к какой картине фактически осуществляющегося движения приводит эта неустойчивость. (9 35); здесь же проведем доказательство сделанного утверждения. Рассматривая небольшой участок поверхности разрыва и течение жидкости вблизи него, мы можем считать этот участок плоским, а скорости у, и у» жидкости по обеим его сторонам постоянными. Не ограничивая общности, можно считать, что одна из этих скоростей равна нулю; этого всегда можно добиться соответствующим выбором системы координат.
Пусть у, = О, а у~ обозначим просто как у; направление у выберем в.качестве оси х, а ось г направим по нормали к поверхности. Пусть поверхность разрыва испытывает слабое возмущение («рябь»), при котором все величины — координаты точек самой поверхности, давление и скорость жидкости — являются периодическими функциями, пропорциональными еп»х-"'>. Рассмотрим жидкость с той стороны от поверхности разрыва, где ее скорость равна ч, и обозначим посредством у' малое изменение скорости при возмущении.
Согласно уравнениям (26,4) (с постоянным У, = У и У = О) имеем для возмущения ч' следующую систему. д 61УУ'=-О, — +(УЧ)Ч'= — ~~ д! Если применить к обеим его сторонам операцию г(1у, то в силу первого уравнения мы получим слева нуль, так что р' должно удовлетворять уравнению Лапласа лр'= о. (29,2) Пусть ь = ь(х, !) есть смещение вдоль оси е точек поверхности разрыва прн возмущении. Производная дь/д! есть скорость изменения координаты ~ поверхности при заданной координате х. Поскольку нормальная к поверхности разрыва компонента скорости жидкости равна скорости перемещения самой поверхности, то в требуемом приближении имеем: дй ~ дй — =Π— и— дГ х дх (29,3) (для О,' надо, конечно, брать ее значение на самой поверхности).
Поскольку ч направлено по оси х, то второе уравнение можно переписать в виде (29,1г ТУРБУЛЕНТНОСТИ [гл. и! 1Б4 Будем искать р' в виде [(з)е«ея-аи Подстановка в (29,2) дает для ((з) уравнение [г/ — „' — йг(= О, Откуда ( = сопз(е-л*. ' Пусть пространство с рассматриваемой стороны поверхности разрыва (сторона 1) соответствует положительным з. Тогда мы должны взять 1= сопг1е-л*, тзк что р =сопз1е"'* "есы (29,4) ! Подставляя это выражение в з-компоненту' уравнения (29,1), найдем '): АР! (29,5) Смещение Ь тоже ищем в виде, пропорциональном такому же зкспоиенциальному множителю е[[л"-а'>, и получаем из (29,3): о,' = (ь(йо — а). Вместе с (29,5) это дает р, (йо — а[' Ф (29,6) Давление рг по другую сторону поверхности выразится такой же формулой, в которой надо теперь положить о = О, и, кроме того, изменить общий знак (соответственно тому, что в этой области е С О и все величины должны быть пропорциональны ел*, а не и-"*).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
