Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Действительно, фактически предполагалось, что при появлении в результате развития вторичных неустойчивостей новых периодических решений уже имевшиеся периодические решения не только не исчезают, но и почти не меняются. В данной модели турбулентное движение есть просто суперпозиция большого числа таких неизменяющихся решений. В общем же случае, однако, характер решений прн увеличении числа Рейнольдса и потери ими устойчивости изменяется. Возмущения взаимодействуют друг с другом, причем это может привести как к упрощению движения, так и к его усложнению. Проиллюстрируем первую возможность. Ограничимся простейшим случаем; будем полагать, что возмущенное решение содержит всего лишь две независимые час.
тоты. Как уже говорилось, геометрическим образом такого течения является незамкнутая намотка на двумерном торе. Возму. шение на частоте шь возникшее прн й = йкрь естественно считать в окрестности числа й = )ч„т (при котором возникает воз. мушение частоты шз) более интенсивным н поэтому полагать его неизменным при относительно небольших изменениях числа гх в этой окрестности. Имея это в виду, для описания эволюции возмущения с частотой шт на фоне периодического движения ') В установившемся турбулентном режиме описанного типа вероятность нахождения системы (жидкости) в заданном малом объеме вокруг избран- ИОЕ ТОЧКИ ПРОСтзнаНСтВа фаэ ЧЧ, фъ ....
Ч» Двстеа ОтНОШЕИИЕМ ВЕЛИЧНИЫ ЗтО. го объема (69) к полному объему (2И)». Поэтому можно сказать, что за' достаточно большой промежуток времени лишь в течение его доли е " (гдв и 1п(йи/Ьо)) система будет находиться в окрестности заданной точки. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ !гл ш частоты ы~ введем новую переменную п (г) =1а,(1)1а-' '"', (30,3) модуль ~ аз~ — кратчайшее расстояние до образуюшей тора (ставшего неустойчивым предельного цикла частоты а1), т. е. относительная амплитуда вторичного периодического течения, а ~рт— его фаза.
Рассмотрим поведение аз(Г) в дискретные моменты времени, кратные периоду Т, = 2п/аь За время одного периода возмущение частоты газ меняется в р раз, где р = (р(ехр( — 2п(ыз/ьн) — его мультипликатор; по истечении целого числа т таких периодов функция аз умножится на рт. Мы считаем надкритичность К вЂ” К„р, малой; тогда инкремент возрастания возмущения тоже мал и, соответственно, разность ~р~ — 1 хоть и 'положительна, но мала, так что за период Т~ возмущение аз меняется по модУлю незначительно; фаза же ~аз менЯетсЯ пРосто пРопоР- ционально т. Имея все это в виду, можно перейти к рассмотрению дискретной переменной т как непрерывной и описывать ход изменения функции аз(т) дифференциальным по т уравнением. Понятие о мультипликаторе относится к самым малым временам после наступления неустойчивости, когда возмущение еше описывается линейными уравнениями. В этой области функция и,(т) меняется, согласно сказанному, как рт, а ее производная — „,' = 1п р оь (т), причем для малых надкритичностей: 1п ц = !п ! ~а ! — 2п! — ' = 1 р ! — 1 — 2Н1 — ' .
(30,4) а~ ОЭ, Это выражение — первый член разложения г(азфт по степеням а, и а,„', и при увеличении модуля (аз~ (но пока он все же Остается малым) надо учесть следующий член. Член, содержащий тот же осциллируюшнй множитель е-'ь, есть член третьего порядка: -а,(аг)з. Таким образом, приходим к уравнению — ' = 1п в а, — р,а, ! аз !', (30,5) где рз (как и р) — комплексный параметр, зависяший от К, причем Ке 6~ ) 0 (ср.
аналогичные рассуждения в связи с уравнением (26,7)). Вешественная часть этого уравнения сразу определяет стационарное значение модуля: Э ЭЯ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕИИЕ И СИИХРОИИЗАЦИЯ 1Я Мнимая же часть дает уравнение для фазы ~рз(т); после установления стационарного значения модуля, оно принимает вид — = 2п — + 1ш рз. ~а1о~(з (30,6) (30,7) Будем теперь рассматривать значения фазы лишь в моменты времени, кратные т,ТИ т. е. при значениях переменной т = л1~т где т — целое число. Первый член в правой части (30,7) приводит за время т~Т1 к изменению фазы на 2пть т.
е. на целое, кратное 2п, которое можно просто опустить. !1осле этого вся правая часть уравнения оказывается малой величиной, и это позволяет описывать изменение функции фз(т) дифференциальным уравнением по непрерывной переменной т: — + = Л+ !ш !1, ° ) а<~> )з+ Ф (ф,) (30„8) (на одном шаге изменения дискретной переменной т функция ~рз/т1 меняется незначительно).
В общем случае уравнение (30,8) имеет стационарные решения ~р,=<р',">, определяющиеся обращением в ноль правой стороны уравнения. Но неизменность фазы фз в моменты времени, кратные т,Т„означает, что на торе существует предельный цикл — траектория через гп1 оборотов замыкается. Ввиду периодичности функции Ф(срз) такие решения появляются парами (в простейшем случае — одна пара): одно решение на возрастающем, а другое — на убывающем участках функции Ф(~рз). Из этих двух решений устойчиво только последнее, для которого вблизи точки ~р, = ф' уравнение (30,8) имеет вид: ЗЧ' = — сопз! (<рэ — Ч/зп) Согласно этому уравнению фаза фз вращается с постоянной скоростью. Это свойство, однако, связано лишь с рассматриваемым приближением; с ростом надкритичности м — К,Р, равномерность нарушается и скорость вращения по тору становится сама функцией ~рэ Чтобы учесть это, добавим в правую сторону уравнения (30,6) малое возмущение Ф(~рр); поскольку все физически различные значения грз заключены в одном интервале от 0 до 2п, функция Ф(фг) — периодическая с периодом 2л.
Далее, аппроксимируем иррациональное отношение ыз/ы1 рациональной дробью (это можно сделать со сколь угодной степенью точности) ЕИ/еп = т~/т~+ Ь, где гпь тз — целые числа. Тогда уравнение принимает вид — = 2Л вЂ” '+ Л+ 1ш рз ) О2" ~'+ Ф (р2). 1гл, ~. 1бй ТУРБУЛЕНТНОСТЬ (с коэффициентом сопз( 0) и действительно имеет решение, стремящееся к фз = ф',', второе же решение неустойчиво (для него сопз( < 0). рождение устойчивого предельного цикла на торе означает синхронизацию колебаний ') — исчезновение квазипериодического и установление нового периодического режима.
Это явление, которое в системе со многими степенями свободы может произойти многими способами, препятствует возникновению режима, представляющего собой суперпозицию движений с большим числом несоизмеримых частот. В этом смысле можно сказать, что вероятность реального осуществления именно сценария Ландау— Хопфа очень мала (этим не исключается, конечно, в частных случаях возможность возникновения нескольких несоизмеримых частот прежде, чем произойдет их синхронизация).
й 31. Странный аттрактор Исчерпывающей теории возникновения турбулентности в различных типах гидродинамических течений в настоящее время еще не существует. Был выдвинут, однако, ряд возможных сценариев процесса хаотизации движения, основанных главным образом на компьютерном исследовании модельных систем дифференциальных уравнений, и частично подтвержденных реальными гидродинамическнми экспериментами. Дальнейшее изложение в этом и следующем параграфах имеет своей целью лишь дать представление об этих идеях, не входя в обсуждение соответствующих компьютерных и экспериментальных результатов. Отметим лишь, что экспериментальные данные относятся к гидродинамическим движениям в ограниченных объемах; именно такие движения мы и будем иметь в виду ниже').
Прежде всего сделаем следующее общее важное замечание. При анализе устойчивости периодического движения интересны лишь те мультипликаторы, которые по модулю близки к 1— именно они при небольшом изменении К могут пересечь единичную окружность. Для течения вязкой жидкости число таких «опасных» мультипликаторов всегда конечно по следующей причине, Допускаемые уравнениями движения различные типы (моды) возмущений обладают разными пространственными масштабами (т. е. длинами расстояний, на которых существенно меняется скорость уз). Чем меньше масштаб движения, тем ') По английской терминологии — 1геанепсу )осмпя. х) Фактически речь идет о тепловой канвекцнн в ограннченных объемах н о кузттозскам движении между двумя коакснальнымн цнлнндрзмн конечной длины.
Теоретические представления а механизме турбулнзацин пограннчнаго слоя н следа за обтекаемым конечным телом в настоящее времч еще слабо развиты, несмотря на накопленный значительный зкспернментальный мате р н 3 л. стРАнныя АТТРАктоР 1ВЗ й зп больше градиенты скорости в нем и тем сильнее оно тормозится вязкостью. Если расположить допустимые моды в порядке убывания их масштабов, то опасным может оказаться только некоторое конечное число первых из них; достаточно далекие в этом ряду заведомо окажутся сильно затухающими, т. е. им будут отвечать малые по модулю мультипликаторы.
Это обстоятельство позволяет считать, что выяснение возможных типов потери устойчивости периодическим движением вязкой жидкости может производиться по существу так же, как и анализ устойчивости периодического движения диссипативной дискретной механической системы, описываемой конеиным числом переменных (в гидродинамическом аспекте этими переменными могут, например, быть амплитуды компонент разложения поля скоростей в ряд Фурье по координатам).
Соответственно этому становится конечномерным и пространство состояний. С математической точки зрения речь идет об исследовании эволюции системы, описываемой уравнениями вида (31, 1) х(() =Г(х), где х(г) — вектор в пространстве и величин хн1, х<т>..... х1"1, описывающих систему; функция Г зависит от параметра, изменение которого может приводить к изменению характера движения '). Для диссипативной системы дивергенция вектора х в х-пространстве отрицательна, чем выражается сокращение объемов х-пространства при движении я): б)тг х = б(у Г = дгч'/дхн> < О. (31,2у Вернемся к обсуждению возможных результатов взаимодействия разных периодических движений.
Явление синхронизации упрощает движение. Но взаимодействие может разрушить квазипериодичность также и в направлении существенного усложнения картины. До сих пор молчаливо подразумевалось, что прн потере устойчивости периодическим движением возникает в дополнение к нему другое периодическое движение, Логически же это вовсе не обязательно. Ограниченность амплитуд пульсаций скорости обеспечивает лишь ограниченность объема пространства состояний, внутри которого располагаются траектории, соответствующие установившемуся режиму течения вязкой жидкости, но как выглядит картина траекторий в этом объеме априори ничего сказать нельзя. Траектории могут стремиться к предельному ') По математической терминологии функцию Р называют векторным нолем системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
