Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 35
Текст из файла (страница 35)
При 1(( К~ неподвижная точка х, = О устойчива, а при !( ) Й! — неустойчива. Чтобы увидеть, как происходит удвоение периода, надо нтерировать отображение в ! (32,2) дважды, т. е. рассмот! реть его за два шага (две единицы времени) н определить неподвижные точки вновь полученного отображения; если они существуют и устойчивы, в! то они и отвечают циклу удво- Угввбчсвыв цвяву — — — Нвнилввввэув «виги енного периода. Двукратная итерация преРис. 20 образования (32,2) приводит (с нужной точностью по малым величинам х! и  — й~) к отобра- жению х, = х, + 2 (К вЂ” К,) х — 2 (1 + Я хэ. Оно всегда имеет неподвижную точку х,=О.
При (х ( й, эта точка единственна и устойчива (мультипликатор (с(х! +т/с(х;) ( 1); для движения с периодом 1 (в единицах То) интервал времени 2 — тоже период. Прн (с = гс! мультипликатор обращается в -1-1 и при й ) й! точка х„ = О становится неустойчивой. В этот момент рождается пара устойчивых неподвихсных точек пь<т>=~( ц "'1л !+а 3 (32 4) (32,3) ') Коэффициент при и — Й, может быть обращен в единипу соответствующим переопределением Й, а коэффипиеит при х! обращен в +! пере- 2 определением х~ (что н преднолагаетси в (322)). ') Или, как мы будем говорить длн краткости, 2-циклу. Относящиесв к нему неподвижные точки будем называть элементами цикла.
которые и соответствуют устойчивому предельному циклу удвоенного периода '); преобразование (32,3) оставляет каждую из этих точек на месте, а преобразование (32,2) переводит каждую нз них в другую. Подчеркнем, что цикл единичного периода прн описанной бифуркации не исчезает- он остается решением уравнений движения, но неустойчивым.
Вблизи бифуркации движение остается еше спочти периодическимэ с периодом 1: точки последовательных возвратов траек- туннулентность 1гл гп х,ь, = ) (х; Л) = 1 — Лхзт, (32,5) где Л вЂ” положительный параметр, который надо рассматривать ') Последовательность бифуркаций удвоения периода (нумеруемых далев порядковыми номерамн 1, 2, ...) не обязательно должна начинаться с первой же бифуркации периодического движения. Оиа может, в принципе, начаться и после нескольких первых бифуркаций с возинкновеинем несоизмеримых частот, после нх синхронизации за счет рассмотренного в й ЗО механизма. торин х"> и х~" близки друг к другу. Интервал хп1 — хгл ме- Ф жду ними является мерой амплитуды колебаний с периодом 2; она растет с надкритичностью как (К вЂ” тс1)ыз — аналогично закону (26,10) возрастания амплитуды периодического движения после его возникновения в точке потери устойчивости стационарным движением.
Многократное повторение бифуркаций удвоения периода открывает один из возможных путей возникновения турбулентности. В этом сценарии число бифуркаций бесконечно, причем они следуют друг за другом (по мере увеличения )т) через все убывающие интервалы; последовательность критических значений Яь )сз, ... стремится к конечному пределу, за которым периодичность исчезает вовсе и в пространстве возникает сложный апериодический аттрактор, ассоциируемый в этом сценарии с возникновением турбулентности. Мы увидим, что этот сценарий обладает замечательными свойствами универсальности и масштабной инварнантности (М. 1.
Ге)аепйаит, 1978)'). Излагаемая ниже количественная теория исходит из предпосылки, что бифуркации следуют друг за другом (при увеличении )г) настолько быстро, что даже в промежутках между ними занимаемая множеством траекторий область пространства состояний остается почти двумерной, и вся последовательность бифуркаций может быть описана одномерным отображением Пуанкаре, зависящим от одного параметра.
Выбор рассматриваемого ниже отображения естествен в силу следующих соображений. В значительной части интервала изменения переменной х отображение должно быть «растягнвающим», )с()(х; Л)/Нх) ) 1; это дает возможность возникновения неустойчивостей. Отображение должно также возвращать траектории, выходящие за границы некоторого интервала, обратно в него; противное означало бы неограниченное возрастание амплитуд пульсаций скорости, что невозможно. Обоим этим требованиям вместе могут удовлетворять лишь немонотонные функции ((х; Л), т, е, не взаимнооднозначные отображения (32,1): значение х1+, однозначно определяется предшествующим значением хь но не наоборот.
Простейший вндтакой функции — функция с одним максимумом; в окрестности максимума положим !73 иерихон к тярвялинтности (в гидродинамическом аспекте) 'как возрастающую функцию К '). Примем условно отрезок ( — 1, +1] как интервал изменения величины х; при )ь между О и 2 все итерации отображения (32,5) оставляют х в этом же интервале.
Преобразование (32,5) имеет неподвижную точку — корень уравнения х.= 1 — )ьхт,. Эта точка становится неустойчивой при )г ) Ль где Л1 — значение параметра Х, для которого мультипликатор р= — 2Хх„= — 1; из двух написанных уравнений находим Л1 — — 3/4. Это — первое критическое значение параметра )ь, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода: появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя н не дающего точных значений характерных констант; затем будут сформулированы точные утверждения.
11овторнв преобразование (32,5) дважды, получим )„! 2)этлл т зхе (32 5) Пренебрежем здесь последним слагаемым — четвертой степени по хь Оставшееся равенство масштабным преобразованием я) х — х(/ао, ао — — 1/(1 — Х) приводится к виду х =1 — )„хт, (+т ! р отличающемуся от (32,5) лишь заменой параметра д на Л1 = ф(Х) =— 2Лэ(), — 1) .
(32,7) Повторяя эту операцию с масштабными множителями сс, = 1/(1 — Х,), ..., получим ряд последовательных отображений того же вида: х „=1 — Х х', )ь =ф()ь ). (32,8) ') Подчеркнем, что допустимость ие взаимно-однозначных отображении связана с првблнжеиностью одномерного рассмотреняя. Если бы все траектории располагались строго на одной поверхности Х (так что отображение Пуанкаре было бы строго одномерным), подобная неоднозначность была бы невозможна; она означала бы пересечение траекторий (две траектория с различнымя х~ пересекались бы в точке к,«з).
В этом же смысле следствием приближенности является возможность обращения в нуль мультипликатора— если неподвижная точка отображения расположена в экстремуме отображающей функции (такая точка может быть названа «сверхустойчивой»вЂ” приближение к иеа происходит по закону более быстрому, чем указанный выше). ') Это преобразование невозможно прн значении Х =! (прн котором яеподвижная точка отображения (32,6) совпадает с центральным экстрему.
мом: г« = О). Это значение, однако, заведомо ие является интересующим нас следующим критяческии значением Л» ТУРБУЛЕНТНОСТЬ !гл гн Неподвижные точки отображений (32,8) отвечают 2 -циклам '). Поскольку все эти отображения имеют тот же вид, что и (32,5), то можно сразу заключить, что 2ж-циклы (лт = 1, 2, 3...) становятся неустойчивыми при Х = Л! = 3/4. Соответствуюшне же критические значения Л исходного параметра )с получаются путем решения цепочки уравнений Л,=ф(лз), Л =-ч(Лз). ", Л 1=ф(Л ) графически они даются построением, показанным на рис.
21. Очевидно, что при гн- оо последовательность этих чисел сходится к конечному преде- ! лу Л вЂ” корню уравнения Л = 1р(Л ); он равен Л = (1 + .)(г3)/2 = 1,37. К конечному пределу стремятся и масштабные множители: сс — ~-сс, где сз = 1/()в — Л )= — 2,8. Легко найти закон, по которому происходит приближение Л к Л при больших гн. Из уравнения Л = ~р(Л э!) при малых разностях Л вЂ” Лм находим ! Л вЂ” Л = — (Л вЂ” Л), (32,9) где й=ф'(Л )=4+ )/3 = = 5,73, Другими словами, Рис. 21 Л вЂ” Л„оз й"', т. е.
значе- ния Л приближаются к пределу по закону геометрической прогрессии. По такому же закону меняются интервалы между последовательными критическими числами: (32,9) можно переписать в эквивалентном виде ! Л,— Л,=- —,(Л,— Л ). (32,10) В гндродинамическом аспекте, как уже указывалось, параметр Х надо рассматривать как функцию числа Рейнольдса, соответственно чему появляются критические значения послед- ') Во избежание недоразумений подчеркнем, что после произведенвых масштабных преобразованай отображения (32,8) должны быть определены теперь на растянутых интервалах )х( » ((аеаю ..а ~1 (а не иа (х( < 1, как в (32,3 — б)).
Однако в силу сделанных пренебрежений выражения (32,8) могут фактически описывать лишь область вблизи центральных экстремумов отображающих функций. пегнход к турвулннтности него, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения периода и стремящиеся к конечному пределу )ч . Очевидно, что для этих значений справедливы те же предельные законы (32,9 — 1О) (с той же постоянной 6), что и для чисел Л . Изложенные рассуждения иллюстрируют происхождение основных закономерностей процесса: бесконечное множество бифуркаций, моменты появления которых сходятся к пределу Л по закону (32,9 — 10); появление масштабного множителя а.
Полученные прн этом значения характерных констант, однако, не точны. Точные значения (полученные путем многократного компьютерного итерирования отображения (32,5)) показателя сходнмости 6 (число Фейгенбарма) и масштабного множителя сг: 6 =4,6692 ..., а = — 2,5029 ... (32,11) а предельное значение Л =1,401'). Обратим внимание насравнительно большое значение 6; быстрая сходимость приводнг н тому, что предельные законы хорошо выполняются уже после небольшого числа удвоений периода. Дефект произведенного вывода состоит и в том, что после пренебрежения всеми степенями х,', кроме первой, отображение (32,8) позволяет установить лишь факт возникновения следующей бифуркаци*.У, но не дает возможности определить все элементы описываемого этим отображением 2ж-циклах). В действительности итерированные отображения (32,5) представляют собой полиномы по х,', степень которых прн каждой итерации возрастает вдвое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
