Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Представим х о1(1) в виде 1 «,.+ (~)= — 2й .1()+Ч . (~И где $„+~ — разность (32,14), а т1 +1(г)=х „,(1)+х ц(1+ Т,„), Спектральное разложение Ч ~(1) содержит только частоты йы; компоненты Фурье для субгармоник, т„,+, т — ~ о( + (1)есн т й= — ~(т( (1) — т1 (г+Т 0а "1пт й о о обращаются в нуль в силу равенства 11 +,(1+ Т )=т1 о.,(1), С другой стороны, величины т( (1) в первом приближении не меняются при бифуркации: 11 +~(1) ж т( (1); это значит, что интенсивность колебаний с частотами йв тоже остается неизменной. Спектральное же разложение величин $ +~(1) содержит, напротив, только субгармоники (оо /2 — новые частоты, появляющиеся на (т+ 1)-м шаге удвоений. Суммарная интенсивность этих спектральных компонент определяется интегралом ОФ о-! (32,19) о Выразив $ +~(1) через $„(1), пишем т / м = — 2 ~ оо (Г) $о (1) 1а.
о С учетом (32,16 — 18) получим т '"+' 2 (а' ат) Т ~ ~а() 2(а' + ') оа о !гл гн ТУРБУЛЕНТНОСТЬ и окончательно (32,20) Таким образом, интенсивность новых спектральных компонент, появляющихся после бифуркации удвоения периода, превышает таковую для следующей бифуркации в определенное, не зависящее от номера бифуркации, число раз (М. У. Регдепйаит, 1979) '). Обратимся к изучению эволюции свойствдвижеиия при дальнейшем увеличении параметра Х за значением Л~ (числа Рейнольдса Й ) Р. ) — в «турбулентной» области. Поскольку в момент своего рождения (при )ь = Л ) апериодический аттрактор описывается одномерным отображением Пуанкаре, можно считать, что и при значениях Х, незначительно превосходящих Л, допустимо рассматривать свойства аттрактора в рамках такого отображения.
Аттрактор, возникший в результате бесконечной цепочки удвоений периода, в момент своего рождения не является странным в определенном в 5 31 смысле: «2 -цикл», возникающий как предел устойчивых 2'"-циклов при т- оо, тоже устойчив. Точки этого аттрактора образуют на отрезке [ — 1, 1) несчетное множество канторового типа. Его мера на этом отрезке (т. е. полная «длина» совокупности его элементов) равна нулю; его размерность лежит между 0 и 1 и оказывается равной 0,54 з).
При )ь ) Л аттрактор становится странным — притягивающим множеством неустойчивых траекторий. На отрезке [ — 1, 11 принадлежащие ему точки заполняют интервалы, общая длина которых отлична от нуля. Эти отрезки — следы на секущей поверхности о непрерывной двумерной ленты, совершающей большое число оборотов и замыкающейся на себя. Снова напомним в этой связи о приближенности одномерного рассмотрения. В действительности эта лента имеет небольшую, но конечную толщину. Поэтому и составляющие ее сечение отрезки представляют собой в действительности полоски конечной ширины.
Вдоль этой ширины странный аттрактор имеет канторову структуру ') Это относится не только к суммарной интенсивности появляющихси субгврмоник, но и к интенсивности каждой из них. На квждую субгврмонику, появляющуюся после т-й бифуркяцни, приходится по две (по одной сирввз н слева) субгврменики после (и+ 1)-й бифуркации Поэтому отношение ин. теиснвностей отдельных новых появляющихся после двух последовательных бифуркаций спектральных пиков вдвое болыпе величины (32,20]. Более точнее значение этой величины 10,48. Оно пплучзется путем анализе состояния в самой точке Х й Л с помощью универсальной функции д(х); в этой точке присутствуют уже все частоты и вопрос, подобный указанному в примечании иа с.
!78 не возникает. См. ХппепЬегя М., (сиг(п!сй Л вЂ” Рйуэ. кеу., !981, у. 24В, р. 493. т) См. Огаззбегяег Р. — у. 3!в!. Рйуз., 1981, У. 28, р. !73. ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ !8Г описанного в предыдущем параграфе слоистого характера ').. Ниже эта структура нас не будет интересовать, и мы возвращаемся к рассмотрению в рамках одномерного отображения Пуанкаре. Эволюция свойств странного аттрактора при увеличении ),. ва Л состоит в общих чертах в следующем.
При заданном значении )' ) Л аттрактор заполняет ряд интервалов па отрезке 1 — 1, 1); участки между этими интервалами — области притяжения аттрактора и в них же находятся элементы неустойчивых циклов с периодами, начиная от некоторого 2" и меньше. При увеличении ). скорость разбегания траекторий на странном аттракторе увеличивается, и он «разбухает», последовательно поглощая циклы периодов 2", 2 +', ...; при этом число интервалов, занятых аттрактором, уменьшается, а их длины увеличиваются. Другими словами, число витков упомянутой выше ленты последовательно уменьшается вдвое, а их ширины увеличиваются. Таким образом, возникает как бы обратный каскад последовательных упрощений аттрактора, Поглощение аттрактором неустойчивого 2 -цикла называют обратной бифуркацией а) б) Рис.
22 удвоения. Рис. 22 иллюстрирует этот процесс для двух последних обратных бифуркаций. На рис. 22, а лента совершает четыре оборота, обратная бифуркация превращает ее в ленту с двумя оборотами (рис. 22,6); наконец, последняя бифуркация приводит к ленте, соверши|ошей всего Один оборот и замыкающейся .на себя, предварительно «перекрутившись» (рис. 22,в).
Обозначим значения параметра ), отвечающие последовательным обратным бифуркациям удвоения через Л~+ь причем они расположены в последовательности Л ) Л„~н Покажем, что этн числа удовлетворяют закону геометрической прогрессик с тем же универсальным показателем б, что и для прямых бифуркаций. Перед последней (при увеличении ),) обратной бифуркацией аттрактор занимает два интервала, разделенных промежутком, ') Размерность аттрактора в этом направлении мала по сравнению с. едииицея. Оиа, однако, ие уииверсальиа и зависит от конкретного вида отображеиии.
1ГЛ П1 туевулеитность 1аа в котором находится неподвижная точка х„отображения (32,5), отвечающая неустойчивому циклу периода 1: ч/1 + 4Х вЂ” ! Бифуркации произойдет при значении ь = Ль когда границы расширяющегося аттрактора достигнут этой точки. Из рис. 22, б видно, что внешняя граница аттрактора (ленты) после одного оборота становится его внутренней границей, а еще через оборот — границей интервала, разделяющего витки. Отсюда ясно, что значение Х = Л1 определяется условием х1+2 = х„ где хге2 = 1 — Х (1 — х) 2 есть результат двукратной итерации отображения над точкой х1 = 1 — границей аттрактора (это значение Л| = 1,543). Моменты предшествующих обратных бифуркаций Л,, Ла, ...
могут быть приближенно определены одно за другим с помощью рекуррентного соотношения, связывающего Л +, с Л . Это приближенное соотношение выводится тем же способом, которым была рассмотрена выше последовательность прямых бифуркаций удвоения и имеет вил Л =Ч~(Л +,) с той же функцией ~р(Л) из (32,7). Соответствующее графическое построение показано на верхней части рис. 21. Поскольку функция ~р(Л) для последовательностей прямых н обратных бифуркаций одна н та же, то одинаков и закон, по которому последовательности чисел Л и Л сходятся (соответственно снизу и сверху) к общему пределу Л вЂ” = Лаи (32,21) Эволюция свойств странного аттрактора при Х) Л сопровождается соответствующими изменениями в частотном спектре интенсивности.
Хаотичность движения выражается в спектре появлением в нем «шумовой» компоненты, интенсивность которой возрастает вместе с шириной аттрактора. На этом фоне присутствуют дискретные иикн, отвечающие основной частоте неустойчивых циклов, их гармоникам и субгармоникам; при последовательных обратных бифуркациях исчезают соответствующие субгармоники — в порядке, обратном тому, в котором они появлялись в последовательности прямых бифуркаций. Неустойчивость создающих эти частоты циклов проявляется в уширении спек.
тральиых пиков. пвивход и тиовилвитности !83 х, = (Я вЂ” )(, ) -1- .с, -)- х' При гт ( ас,а (см. рис, 23) существуют две неподвижные точки х(и. (а! -Р ()з й)ц2 «а нз которых одна (х<п) отвечает устойчивому, а другая (ллм)— неустойчивому периодическому движению. При )ч = й«а мультипликатор в обоих точках становится равным + 1, оба периодических дви- 5»! жения сливаются и при 1() )ч«а ис- Я=Я «р чезают (неподвижные точки перехои) дят в комплексную область). з» Прн малой надкрнтичностн рас- Я<Я кр стояние между линней (32,22) и примой х;+! = х; мало (в области ь я Ю вблизи х! =0). На этом интервале / значений х, следовательно, каждая итерация отображения (32,22) лишь х(г) незначительно перемещает след траектории, и для прохождения нм все.
го интервала потребуется много ша- Рнс 23 гов. Другнмн словами, па сравнительно большом промежутке времени траектория в пространстве состояний будет иметь регулярный, почти периодический характер. Такой траектории отвечает в физическом пространстве регулярное (ламинарное) движение жидкости. Отсюда возникает еще один, в принципе возможный, сценарий возникновения турбулентности (Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
