Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Применим такие соображения к определению порядка величины диссипации энергии при турбулентном движении. Пусть е есть среднее количество энергии, диссипируемой в единицу времени в единице массы жидкости '), Мы видели, что эта энергия черпается из крупномасштабного движения, откуда постепенно передается во все меньшие масштабы, пока не диссипируется в пульсациях масштаба -Хо.

Поэтому, несмотря на то, что дисснпация обязана в конце концов вязкости жидкости, порядок величины в может быть определен с помощью одних только величин, характерных для крупномасштабных движений. Таковыми являются плотность жидкости р, размеры ( и скорость Ли. Из этих трех величин можно составить всего одну комбинацию, обладающую той же разлтерностью, что и в, т.

е, эрг/г с = см9сз. Таким способом получаем: Фв)з в (33,1) чем и определяется порядок величины диссипации энергии в турбулентном потоке. Турбулентно движущуюся жидкость можно в некоторых отношениях качественно описывать как жидкость, обладающую некоторой, как говорят, турбулентной вязкостью т,урб, отличной от истинной кинематической вязкости у. Характеризуя свойства турбулентного движения, утурб должно по порядку величины определяться величинами р, Ли, й Единственной составленной из иих величиной с размерностью кинематической вязкости является Ли (, поэтому (33,2) Утурб ~) В этой главе буква в будет обозначать среднюю двссвпацвю энергии, а не внутреннюю ввергаю жалкости! ТУРБУЛЕНТНОСТЬ !вв !Гл.

!и Отношение турбулентной вязкости к обычной Тетра/Т Й, (33,3) т. е. растет с числом Рейиольдса '). ДИССНПаЦИЯ ЭНЕРГИИ ВЫРажаЕтСЯ ЧЕРЕЗ Тетра фОРМУЛОй в тетра(Ли/1) а, (33,4) в соответствии с обычным определением вязкости. В то время как т определяет диссипацию энергии по производным от истинной скорости по координатам, турбулентная вязкость связывает диссипацию с градиентом (-Ли/1) средней скорости движения. Наконец, укажем, что порядок величины Лр изменения давления на протяжении области турбулентного движения тоже может быть определен из соображений подобия: Лр р (Ли) '.

(33,5) Стоящее справа выражение — единственная величина размерности давления, которую можно составить из р, 1 и Ли. Перейдем теперь к изучению свойств развитой турбулепт. ности в масштабах Х, малых по сравнению с основным масштабом 1. Об этих свойствах говорят как о локальных свойствах турбулентности. При этом мы будем рассматривать жидкость вдали от твердых стенок, — точнее, на расстояниях от них, больших по сравнению с Х. О такой мелкомасштабной турбулентности вдали от твердых тел можно высказать естественное предположение, что она обладает свойствами однородности и изотропии. Последнее означает, что в участках, размеры которых малы по сравнению с 1, свойства турбулентного движения одинаковы по всем направлениям; в частности, они не зависят от' направления скорости усредненного движения.

Подчеркнем, что здесь н везде ниже в этом параграфе, где говорится о свойствах турбулентного движения в малом участке жидкости, подразумевается относительное движение жидких частиц в этом участке, а не абсолютное движение, в котором принимает участие весь участок в целом и которое связано с движением более крупных масштабов. Оказывается возможным получить ряд существенных результатов о локальных свойствах турбулентности непосредственно из соображений подобия (А.

Н, Колмогоров, 1941; А. М, Обухов, 194!). ') В действительности в этом отношении должен стоять еше довольно значительный численный коэффициент, Это связано с указанным вы!ие обстоятельством, что ! и би могут довольно заметно отличаться от истиннык масштабов и скоростей турбулентного движения. Более точно можно написать: чттрь/т к!Й р где учитывается, что т„м и ч должны в действительности сравниваться не при й 1,аярик — к,ь РАЗВИТАЯ ТУР6УЛВНТНОСТЬ )вэ Для этого выясним предварительно, какими параметрами могут вообще определяться свойства турбулентного движения в участках, малых по сравнению с (, но больших по сравнению с расстояниями Хе, на которых начинает играть роль вязкость жидкости; ниже будет идти речь именно о таких расстояниях. Этими параметрами является плотность р жидкости и, кроме того, еще одна характерная для турбулентного потока велнчина — энергия е, диссипируемая в единицу времени в единице массы жидкости, Мы видели, что е представляет собой поток энергии, непрерывно передаваемой от пульсаций с ббльшими к пульсациям с меньшими масштабами.

Поэтому, хотя диссипация энергии и обусловливается в конечном итоге вязкостью жидкости и происходит в самых мелкомасштабных пульсациях, тем не менее величина е определяет свойства движения и в больших масштабах. Что касается масштабов 1 н Ли размеров и скорости движения в целом, то естественно считать, что (при заданных р и е) локальные свойства турбулентности от этих величин не зависят.

Вязкость жидкости т тоже не может входить ни в какие интересующие нас теперь величины (напоминаем, что речь идет о расстояниях А»)е), Определим порядок величины ох изменения скорости турбулентного движения иа протяжении расстояний порядка ).. Оно должно определяться только величиной е и, разумеется, самим расстоянием ') ). Из этих двух величин можно составить всего одну комбинацию с размерностью скорости: (ек) ыз. Поэтому можно утверждать, что должно быть оь (еХ)'и. (33,6) Таким образом, изменение скорости на протяжении малого расстояния пропорционально кубическому корню из этого расстояния (закон Колмогорова — Обухова).

Величину ох можно рассматривать и как скорость турбулентных движений масштаба )ь; изменение средней скорости на малых расстояниях мало по сравнению с изменением пульсационной скорости на этих же расстояниях, и им можно пренебречь. К соотношению (33,6) можно придти н другим путем, выражая постоянную величину — диссипацию е — через величины, характеризующие пульсации масштаба Х. Прн этом е должно быть пропорционально квадрату градиента скорости ох и соответствующему коэффициенту турбулентной вязкости утурех Хох..

з з откуда и получается (33,б). ') Величина е имеет размерность эрг/(г.с) = сме)сз, не содержащуюрззмерностн массы; единственной величиной, содержащей размерность массы, «властев плотность р. Поэтому последнии вообще не участвует в составлении величин, размерность которых не содержит размерности массы. тупвулеитность (Гл !и Поставим теперь вопрос несколько иначе.

Определим порядок величины о, изменения скорости в заданной точке пространства, испытываемого ею в течение промежутка времени т, малого по сравнению с характеристическим временем Т (/и движения в целом. Для этого замечаем, что благодаря наличию общего течения каждый данный участок жидкости в продолжение промежутка времени т перемещается в пространстве на расстояние порядка произведения ти средней скорости и иа время т. Поэтому в данной точке пространства по истечении времени т будет находиться участок жидкости, который в начальный момент был удален от этой точки на расстояние ит.

Искомую величину Бт можно, следовательно, получить, подставляя в (33,6) ти вместо )л ( мт)!сэ (33,7) и,' — (Бт)!л. (33,8) В отличие от изменения скорости в заданной точке пространства оно пропорционально квадратному, а не кубическому корню из т. Легко видеть, что при т « Т изменение пт всегда меньше изменения о,'). С помощью выражения (33,1) для е можно переписать формулы (ЗЗ,б — ?) в виде (33,9) В такой записи ясно видно свойство подобия локальной турбулентности: мелкомасштабные характеристики различных турбулентных течений отличаются только масштабами измерения длин и скоростей (илн, что то же, длин и времен)э). Выясним теперь, на каких расстояниях начинает играть роль вязкость жидкости Эти расстояния Хе определяют собой в то же время порядок величины масштабов наиболее мелкомасштабных пульсаций в турбулентном потоке (величину ).е называют внутренним масштабол! турбулентности в противоположность ') Неравенство о «о, по существу, уже подраэумевалесь прн выводе (33,7) ') В этой свяэн в современной лнтературе широко попользуется термин аатолодельпогть двнжсння (по англнйской термннологнн эеп ипп)агйу).

От величины о, следует отличать изменение о,' скоростидаиного перемещающегося в пространстве участка жидкости. Это изменение может, очевидно, зависеть только от величины Б, определяющей локальные свойства турбулентности, и, разумеется, от величины самого интервала времени т. Составляя из Б и т комбинацию размерности скорости, получаем для искомого из- менения Развитая турбулентность внешнему масштабу 1). Для этого составляем «локальное число Рейиольдса»: где й — Ли (/у — число Рейнольдса движения в целом.

Порядок величины Хо определяется тем, что должно быть )хх„- 1, Отсюда находим (1(ззн (ЗЗ,!0) К этому же выражению можно прийти, составляя комбинацию размерности длины из величин и и тс (, 3/е)пч (ЗЗ,! !) Таким образом, внутренний масштаб турбулентности быстро падает при увеличении числа Рейнольдса. Для соответствующей скорости имеем пы Лиян'. (33, ! 2) Она тоже падает с увеличением К'). Область масштабов й ! называют областью энергии; в ней сосредоточена основная часть кинетической энергии жидкости. Значения ) < Хо составляют область диссипации — в ней происходит диссипация кинетической энергии. При очень больших значениях м обе эти области достаточно раздвинуты друг от друга, и между ними расположен инерционный интервал, в котором )со (( )т (( !! к нему относятся излагаемые в этом параграфе результаты. Закон Колмогорова — Обухова можно представить н эквивалентной спектральной (по пространству) форме, Введем вместо масштабов Х соответствующие «волновые числа» пульсаций й — !/)с, и пусть Е(й)йй есть кинетическая энергия (единицы массы жидкости), заключевная в пульсациях со значениями й в заданном интервале с(й.

Характеристики

Список файлов книги