Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Функция Е(й) имеет размерность смз/сз; составляя комбинацию этой размерности из е и й, получим Е(й) - в™й а". (33,!3) В эквивалентности этой формулы закону (33,6) легко убедиться, заметив, что квадрат о~ определяет порядок величины суммарной энергии, заключенной в пульсациях со всеми масштабами ') Формулы (33,10 — 12) определяют законы изменения соответствуюптнх величин с и. Что же касается количественноа стороны лела, то более пра. вильным было бы писать в них отношение Н/И„ вместо к. [гл.
и! ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 192 (33,14) отвечающими внутреннему масштабу турбулентности. Инерционной области отвечают частоты в интервале и и ! Неравенство а» и11 означает, что по отношению х локальным свойствам турбулентности основное движение можно считать стационарным. Распределение энергии по частотному спектру в инерционной области получается из (33,13) заменой и — а/и: Е(а) (ие) "а ~~, (33,15) причем Е(а)да есть энергия, заключенная в частотном интервале Йо. Частота а определяет период повторяемости во времени движеиия в данном участке пространства, наблюдаемого из неподвижной системы отсчета.
Ее надо отличать от частоты (обозначим ее а'), определяющей период повторяемости движения в данном перемещающемся в пространстве участке жидкости, Распределение энергии по спектру этих частот не может зависеть от и, и должно определяться только параметром е и самой частотой а'. Снова из соображений размерности найдем, что Е (а') е/а' .
(33,! 6) Эта формула находится в таком же отношении к закону (33,15), как (33,8) к (33,7). Турбулентное перемешивание приводит к постепенному расхождению жидких частиц, находящихся первоначально вблизи друг от друга. Рассмотрим две жидкие частицы на малом (в инерциальиой области) расстоянии Х. Снова руководствуясь соображениями размерности, можно заключить, что скорость изменения этого расстояния со временем — (БХ) их из й! (ЗЗ, 17) порядка и меньше заданного значения А.
К этому же результату мы придем, интегрируя выражение (33,13): з!з (,), е ( )згз Наряду с пространственными масштабами турбулентных пульсаций, можно рассматривать также и их временные характеристики — частоты. Нижний конец частотного спектра турбулентного движения лежит при частотах -и/1. Верхний же е о конец определяется частотами и и „з! заз — — — — й хз КОРРЕЛЯЦНОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ ГЕЗ Интегрируя это соотношение, найдем, что время т„в течение ко- торого две частицы, находившиеся перноначально на расстоя- нии Л1 друг от друга, разойдутся на расстояние Лз ~ Ль равно по порядку величины Л4гзг пз (33,18) Обратим внимание на самоускоряющийся характер процесса: скорость расхождения растет с увеличением Л, Это свойство связано с тем, что к расхождению частиц, находящихся на расстоянии Л, приводят только пульсации масштабов <Л; пульсации ббльших масштабов переносят обе частицы вместе и не приводят к их расхождению ').
Наконец, остановимся иа свойствах движения в участках с размерами Л « Ло. В таких участках движение обладает правильным характером и его скорость меняется плавно. Поэтому можно разложить здесь О~ по степеням Л н, сохранив только первый член, получим са = сопз( Л. Коэффициент определяется требованием, чтобы при Л вЂ” Л„было пь-пь,. Таким образом находим Ез, Ьи пь — Л вЂ” Л(тггт. л, г (33,19) Этот результат можно получить также и путем приравнивания двух выражений для диссипации энергии е; выражения (Ли)з/1 (33,1), определяющего е через характеристики крупномасштабных пульсаций, и выражения у(па/Л)2, определяющего ту же величину через градиент скорости тех пульсаций, н которых фактически и происходит диссипация. $34. Корреляционные функции скоростей где уг и ут — скорости жидкости в двух близких точках, а угловые скобки означают усреднение по времени.
Радиус-вектор ') Эти результаты можно применить к взвешенным а жидкости частяцам суспензия, пассяаио переносимым вместе с движущейся жидкостью. ') Корреляционные функции были введены а гидродинамнку турбулент ности Л. В. Дехдером и А. А Фрадмпиом (1994). Уже формула (33,6) качественно определяет корреляцию скоростей в локальной турбулентности, т. е. Связь между скоростями в двух близких точках потока. Введем теперь функции, (соторые могут служить количественной характеристикой этой корреляциит). Первой нз таких характеристик является корреляционный тензор второго ранга Вм = ((О21 Он) (Рте п1е)), (гл. гн тирвулннтность 194 между точками 1 и 2 (направленный от 1 к 2) обозкачим через г = та — гь Рассматривая локальную турбулентность, мы считаем расстояние малым по сравнению с основным масштабом 1, но не обязательно большим по сравнению с внутренним масштабом турбулентности )со Изменение скорости на малых расстояниях обусловлено мелкомасштабными пульсациями С другой стороны, свойства локальной турбулентности не зависят от усредненного движения.
Поэтому можно упростить изучение корреляционных функций локальной турбулентности, рассматривая вместо этого идеализированный случай турбулентного движения, в котором изотропия и однородность имеют место не только на малых (как в локальной турбулентности), но и на всех вообще масштабах; усредненная скорость при этом равна нулю. Такую полностью изотропную и однородную турбулентность ~) можно представить себе как движение в жидкости, подвергнутой сильному «взбалтыванию» и затем оставленной в покое. Такое движение, разумеется, непременно затухает со временем, так что функциями времени становятся и компоненты корреляционного тензора а). Выведенные ниже соотношения между различными корреляционными функциями относятся к однородной и изотропной турбулентности на всех ее масштабах, а к локальной турбулентности — на расстояниях г « 1.
В силу нзотропии, тензор Вм не может зависеть ни от какого избранного направления в пространстве. Единственным вектором, который может входить в выражение для В;ж является радиус-вектор г. Общий вид такого симметричного тензора второго ранга есть (34,2) где и — единичный вектор в направлении г, Для выяснения смысла функций А и В выберем координатные оси так, чтобы одна пз них совпала с направлением и. Компоненту скорости вдоль этой оси обозначим как оо а перпендикулярную и составляющую скорости будем отличать индексом 1. Компонента корреляционного тензора В„ есть тогда среднее значение квадрата относительной скорости двух частиц жидкости в их движении навстречу друг другу.
Компонента же Вп есть средний квадрат скорости вращательного движения одной ча. стицы относительно другой. Поскольку п, = (, п~ = О, то из (34,2) имеем В„=А+В, Вы=А, Вы=О. ') Это понятие было введено Тэалорол 10, Д Гак!ог, 1935). ') Под усреднением в определении (34,1) надо при этом. строго говоря, понимать не усреднение по времени, а усреднение по всем возможным положениям точек 1 и 2 (при заданном расстоянии между ними) в один н тот ясе момент времени. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕН Выражение (34,2) можно теперь представить в виде Вм — — Ви (г) (б,» — п,п») + В„, (г) п,л».
(34,3) Раскрыв скобки в определении (34,1), пишем Вм = ("ппи) + (пм"х») ("!!Ох») (О!»Ом) Ввиду однородности, средние значения произведения ечо» в точках ! и 2 одинаковы,а ввиду изотропии среднее значение (ОИР»») не меняется при перестановке точек 1 и 2 (т, е. при изменении знака разности г = гх — г!); таким образом, (пипи) = (име»») = з (Р ) б!уи (О!!Ох») = (ОЫО1»).
1 Поэтому Вм = з (О)бм — 2Ь|ы Ьм=(РИО»»). 2» (34,4) Вспомогательный симметричный тензор Ьг» обращается в нуль при г-Р са; действительно, скорости турбулентного движения в бесконечно удаленных точках можно считать статистически независимыми, так что среднее значение их произведения сводится к произведению средних значений каждого множителя в отдельности, равных нулю по условию. Продифференцируем выражение (34,4) по координатам точки 2: дВ!» дЬ|» / дР1» ~ — = — 2 — = — 2~ ОИ вЂ” /.
дхг» дх»» ~ дх,» / Но в силу уравнения непрерывности имеем дп»»/дх»»= О, так что дВЫ вЂ” =О. дх»» Поскольку В~» являются функциями только от разности г = = г, — ги то дифференцирование по х»» эквивалентно дифференцированию по х». Подставив для Вг» выражение (34,3), получим после простого вычисления: В,',+ — ', („— В„) =О (' означает дифференцирование по г). Таким образом, продольная и поперечная корреляционные функции связаны друг с другом соотношением Всс= 2г дг ('В-). ! д (34,5) Согласно (33,6) разность скоростей иа расстоянии г в инерционной области пропорциональна гп». Поэтому корреляционные функции В„ и Ви в этой области пропорциональны г»1', Прн КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТЕЙ Последний симметричен по первой паре индексов (второе равенство в определении (34,10) связано с тем, что перестановка точек 1 и 2 эквивалентна изменению знака г, т.
е. инверсии координат и потому меняет знак тензора третьего ранга). При г = О, т. е. при совпадении точек ! и 2, тензор Ьм,|(0) = 0— среднее значение от произведения нечетного числа компонент пульсирующей скорости обращается в нуль. Раскрыв скобки в определении (34,9), выразим тензор В|м через Ьцч |. Воя| = 2(Ь!и |+ Ьп, ь+ Ь!ы). При г-~-Оо тензор Ь;,, |, а с ним и В|,|, стремятся к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
