Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 38
Текст из файла (страница 38)
)Р)аппепИе, У. Ротеаи, 1980). Можно представить себе, что к рассмотренному участку функции отображения примыкают участки, приводящие к хаотизации траекторий; им отвечает в пространстве состояний множество локально неустойчивых траекторий. Это множество, однако„ само по себе не является аттрактором н с течением времени точ- ') Коэффициент при ц — й.«и иоэффицнеит (положительный) при ха ! можно обратить в единицу соответствуинцим определением й в ль что и предполагается в (32,22).
Переход к турбулентности через перемежаел!оегь Рассмотрим, наконец, разрушение периодического движения при прохождении мультипликатора через значение р = + 1 Этот тип бифуркации описывается (в рамках одномерного отображения Пуанкаре) функцией х,»! = )(х;;)(), которая при определенном значении параметра (числа Рейнольдса), К = г(„„ касается прямой х,»! = хь Выбрав точку касания в качестве х, = О, напишем вблизи нее ррзложенне функции отображения (32,22) 1гл, ш тупвулемтность 184 ка, изображающая систему, его покидает.
При К ( К,р траектория выходит на устойчивый цикл, т. е, в физическом пространстве устанавливается ламинарное периодическое движение. Прн К ) й,к устойчивый цикл отсутствует и возникает движение, в котором «турбулентные» периоды чередуются с ламинарнымн (отсюда название сценария — переход через перемежаелзость).
О длительности турбулентных периодов нельзя сделать каких-либо общих заключений. Зависимость же длительности ламинарных периодов от надкритичности легко выяснить. Для этого напишем разностное уравнение (32,22) в виде дифференциального. Имея в виду малость изменения х~ на одном шаге отображения, заменим разность хьы — х1 производной 4(х/аозт по непрерывной переменной 1: йх/б~ =(й — йкт)+ х'. (32,23) Найдем время т, необходимое для прохождения отрезка между точками х~ и хм лежащими по обе стороны точки х = 0 на расстояниях, больших по сравнению с (К вЂ” К„т)1~а, но еще в области применимости разложения (32,22).
Имеем т=(й — й„т) 1Я аГс1а[х(й — й„т) '") !", откуда т (К вЂ” В„р)-", (32,24) чем и определяется искомая зависимость; длительность ламинар* ных периодов убывает с ростом надкритичности. В этом сценарии остается открытым как вопрос о пути под. хода к его началу, так и вопрос о природе возникающей турбулентности. 2 ЗЗ. Развитая турбулентность Турбулентное движение жидкости при достаточно больших значениях числа Рейнольдса характерно чрезвычайно нерегулярным, беспорядочным изменением скорости со временем в каждой точке потока (ризвитая турбулентность); скорость все время пульсирует около некоторого своего среднего значения. Такое же нерегулярное изменение скорости имеет место от точки к точке потока, рассматриваемого в заданный момент времени. В настоящее время полной количественной теории развитой турбулентности еще не существует, Известен, однако, ряд важных качественных результатов, изложению которых и посвящен настоящий параграф.
Введем понятие о средней скорости движения, получающейся в результате усреднения по большим промежуткам времени истинной скорости в каждой точке пространства. При таком РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ усреднении нерегулярность изменения скорости сглаживается и средняя скорость оказывается плавно меняющейся вдоль потока функцией. Мы будем в дальнейшем обозначать среднюю скорость посредством и.
Разность У' = ч — и между истинной н средней скоростями, обнаруживающую характерное для турбулентности нерегулярное изменение, мы будем называть ипльсационной частью скорости. Рассмотрим подробнее характер накладывающегося на усредненный поток нерегулярного, пульсационного, движения. Это движение можно в свою очередь качественно рассматривать как результат наложения движений (турбулентных пульсаций) различных, как мы будем говорить, масштабов (под масштабом движения подразумевается порядок величины тех расстояний, на протяжении которых существенно меняется скорость движения).
По мере возрастания числа Рейнольдса появляются сначала крупномасштабные пульсации; чем меньше масштаб двигкения, тем позже такие пульсации появляются. При очень больших числах Рейнольдса в турбулентном потоке присутствуют пульсации с масштабами от самых больших до очень малых. Основную же роль в турбулентном потоке играют крупномасштабные пульсации, масштаб которых — порядка величины характеристических длин, определяющих размеры области, в которой происходит турбулентное движение; в дальнейшем будем обозначать порядок величины этого основного (или внешнего) масштаба турбулентного движения посредством й Эти крупномасштабные движения обладают наибольшими амплитудами. Их скорость по порядку величины сравнима с изменениями Ли средней скорости на протяжении расстояний ) (мы говорим здесь о порядке величины не самой скорости, а ее изменения, поскольку именно оно характеризует скорость турбулентного движения; абсолютная же величина средней скорости может быть произвольной в зависимости от того, в какой системе отсчета рассматривается движение)').
Что же касается частот этих крупномасштабных пульсаций, то они — порядка отношения и/( средней скорости и (а не ее изменения Ли) к размерам й Действительно, частота определяет период повторяемости картины движения, наблюдаемой из некоторой неподвижной системы отсчета. Но относительно такой системы вся эта картина движется вместе со всей жидкостью со скоростью порядка и. Мелкомасштабные же пульсации, соответствующие большим частотам, участвуют в турбулентном потоке со значительно меньшими амплитудами. Их можно рассматривать как мелкую детальную структуру, накладывающуюся на основные крупномас- ') В действительности, по-видимому, масштабы основных пульсаций в несколько раз меньше, чем характерные размеры й а нх скорость — в несколько раз меньше, чем ди.
туРБулентность !гл. гн твв штабные турбулентные движения. В мелкомасштабных пульсациях заключена лишь сравнительно малая часть всей кинетической энергии жидкости. Из описанной картины турбулентного движения можно сделать заключение о характере изменения пульсационной скорости вдоль потока (рассматриваемого в заданный момент времени). На протяжении больших расстояний (сравнимых с !) изменение пульсационной скорости определяется изменением скорости крупномасштабных пульсаций и потому сравнимо по величине с Ли.
На малых же (по сравнению с !) расстояниях оно определяется мелкомасштабными пульсациями и потому мало по сравнению с Ли (но велико по сравнению с изменением средней скорости на том же малом расстоянии). Такая же картина имеет место, если наблюдать изменение скорости со временем в заданной точке пространства. На протяжении малых (по сравнению с характеристическим временем Т вЂ” !/и) интервалов времени скорость испытывает незначительные изменения; в течение же больших промежутков времени скорость меняется на величины -Ли, В число Рейнольдса К, определяющее свойства течения жидкости в целом, в качестве характеристических размеров входит длина !. Наряду с таким числом, можно ввести качественное понятие о числах Рейнольдса турбулентных пульсаций различных масштабов, Если Х вЂ” масштаб пульсаций, а пх — порядок величины их скорости, то Кх — пхХ!ч, Это число тем меньше, чем меньше масштаб движения.
При больших К велики также и числа Рейнольдса Кх круп.номасштабных пульсаций. Но большие числа Рейнольдса эквивалентны малым вязкостям. Отсюда можно заключить, что для крупномасштабного движения, являющегося как раз основным во всяком турбулентном потоке, вязкость жидкости ие играет роли. Поэтому в крупномасштабных пульсациях не происходит и заметной диссипации энергии. Вязкость жидкости становится существенной только' для самых мелкомасштабных пульсаций, для которых Кх — ( (мас.
штаб Х, этих пульсаций будет определен ниже в этом параграфе). Именно в этих мелкомасштабных пульсациях, не существенных с точки зрения обшей картины движения жидкости в турбулентном потоке, и происходит диссипацня энергии. Мы приходим, таким образом, к следующему представлению о диссипации энергии при турбулентном движении ((.. Я(спаМ- зон, 1922). От пульсаций с ббльшими масштабами энергия переходит в пульсации с меньшими масштабами, практически не лнссипируясь при этом.
Можно сказать, что имеется как бы непрерывный поток энергии от крупно- к мелкомасштабным пульсациям, т. е. от малых частот к большим. Этот поток диссипируется, т. е. кинетическая энергия переходит в тепло, в самых мелкомасштабных пульсациях.
Разумеется, для поддержания ~вт РАЗВИТАЯ ТУРБУЛБНТНОСТЪ й зз1 «стационарного» состояния потока необходимо наличие внешних источников энергии, непрерывно передаюших ее основному крупномасштабному движению. Поскольку вязкость жидкости существенна только для самых мелкомасштабных пульсаций, то можно утверждать, что все величины, относяшиеся к турбулентному движению в масштабах ус» Ха, не могут зависеть от У (более точно, эти величины не должны меняться при изменении у и неизменных остальных условиях, в которых происходит движение). Это обстоятельство сужает круг величин, определяющих свойства турбулентного движения, в результате чего для исследования турбулентности приобретают большое значение соображения подобия, связанные с размерностью имеющихся в нашем распоряжении величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
