Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Оценка интеграла (34,25) дает Л вЂ” ос(е = сонэ(. Еще одно соотношение получим из оценки скорости убывания энергии путем вязкой диссипации. Диссипация э пропорциональна квадрату градиентов скорости; оценив последние как о/1, имеем е — у(и/1)с. Приравняв ее производной д(оэ)/д1 — ах/1 (1 отсчитывается от начала заключительной стадии затухания), получим 1 (у1)н' и затем а = сонэ( ° 1 (34,26) (М. Д.
Миллиони4иков, 1939). Спектральное представление корреляционных функций Наряду с рассмотренным в предыдушем параграфе координатным представлением корреляционных функций, методически и физически интересно также и спектральное (по волновым век- ') См. Ргоисэпоп 1., ЯеЫ 1Р. Н. — РЫ1. Тгапя. Цоу. 5ос., 1954, ж А247, р. !63; ВаСсае!ог О. К., Ргоиагпоп 1., там же, 1956, ж А248, р.
369. Изяожекие этих работ деко также в книге: Монин А, С., Яглом А. М. Статистиче. скак гкдромехаиика. — Мс Наука, 1967, т. 2, $15.5 — 6. коггаляционныв санкции скоеостви (34,29) торам) их представление. Оно получается разложением в про. странственный интеграл Фурье: ы»а Вг»(г) = ~ В;»(К) е'"" —,, Вс»()с) = ~ В;»(г) е-'»'»(»х (мы обозначаем спектральную корреляционную функцию Вс»(й)' тем же символом Вг» с другой независимой переменной — волновым вектором й). Поскольку в изотропной турбулентности Вм( — г) = Вм(г), то Вм(а) Вм( — к) В,'»(к), т. е. спектральные функции Вы (к) вещественны.
При г- оо функции Вы(г) стремятся к конечному пределу, даваемому первым членом в (34,4). Соответственно этому, их фурье-компоненты содержат 6-функционный член: Вм (1с) = — (2п)» 6 (1») (о») — 2Ьм (1с). Компоненты же с аФО для функций Вг» и — 26~» совпадают друг с другом. Дифференцирование по координатам х~ в координатном представлении эквивалентно в спектральном представлении умножению на»йь Поэтому уравнение непрерывности дЬа(г)/дх~ = О сводится в спектральном представлении к условию поперечности тензора Ь;»(к) по отношению к волновому вектору: ЬЬи(к) = О. (34,28) В силу изотропии, тензор Ьм(й) должен выражаться только через вектор к и единичный тензор Ьм.
Общий вид такого симметричного тензора, удовлетворяющего условию (34,28), есть »,л Ь (и)-ЬчиЦ(й)'(6 — -!зй-) где Рии(й) — вещественная функция от абсолютной величины волнового вектора. Аналогичным образом определяется спектральное представление корреляционного тензора третьего ранга, причем тензор В;»~(к) выражается через Ь,»л(й) формулой (34,1!); 6-функционного члена эти тензоры не содержат. Уравнение непрерывности дЬ»»,~(г)/дх~ =О приводит к условию поперечности спектрального тензора Ьс», с(й) по его третьему индексу~ ЬА», с(й) =О. (34,30) Общий вид такого теизора: ~» а~ ~Ы'с ) Ьн» ю(1с) =(Р~»~(й) (Ьи — + Ь»» й — 2,» ~ ° (34~3!) Поскольку Ьнь ~( — г) — Ьм, ~(г), спектральные функции ((и, ~(1с) мнимы; в (34,31) введен множитель 1, так что функция Р('>(й)- вещественная.
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ !Гл, !и Уравнение (34,19) в спектральном представлении записывается как — Ь!в ()с) = И! Цз!. в (1с) + Ьвс,, (1с)) — 2тйеЬм (1с). д Подставив сюда (34,29) и (34,31), получим д)з!~! (й, !) ц ' — — — 2ИР)в)(й, 1) — 2тй'Р)з!(й 1). (34,32) изй У(Г) = ~УВЕсез —, (2п)з ' чв = ~ ч(г) е-"" з(вх. Последний интеграл фактически расходится, поскольку у(г) не стремится к нулю на бесконечности.
Это обстоятельство, однако, несущественно для дальнейших формальных выводов, имеющих целью вычисление заведомо конечных средних квадратов. Корреляционный тензор Ьм(г) выражается через фурье-компоненты скорости интегралом Из! Лзй Ьп(г) = ( ((пмпгв) ез!"зз+мз'! — г —. (йн)т (34,33) Для того чтобы этот интеграл был функцией только от разности г = г,— гь подынтегральное выражение в нем должно содержать 6-функцию от суммы )с+ к', т. е.
должно быть (о„во!в ) = (2п)з (псо!)„6 ()с + 1с ), (34,34) Это выражение надо рассматривать как определение величины, обозначенной здесь символически как (пзп!)в. Подставив (34,34) в (34,33) и устранив 6-функцию интегрированием по с(вл', нахо- дим, что Нзй Ьп (г) = $ (озп!)в взм (2„)г т. е. величины (пзо!)в совпадают с фурье-компонентами корреляционной функции Ьп(г); тем самым они симметричны по индексам с, 1 и вещественны. В частности, Ьи(й)=(ч')в, причем мы можем теперь утверждать, что эта величина положительна, ') Приведенные ниже рвссужденнв перефревнруют вывод, данный в Чз $122. Функция Р)в)()с) имеет важный физический смысл. Для его выяснения подойдем к определению спектральной корреляционной функции в несколько более ранней стадии ').
Введем спектральное разложение самой пульсирующей скорости у(г) по обычным формулам разложения Фурье: коеееляционнын фзнкции скогостви как это очевидно из ее связи согласно (34,34) с положительной величиной (тхтм)=((т«)') †средн квадратом модуля фурье- компоненты пульсирующей скорости. Значение корреляционной функции Ь„(г) при г = 0 определяет средний квадрат скорости жидкости в какой-либо (любой) точке пространства. Оно выражается через спектральную функцию формулой азу (т ) Ьп (Г = О) = ~ Ьп (й) в з нли, подставив сюда Ьп(К) нз (34,29) 0 (34,35) Е(й) = з ., г"'(я).
(34,36) Первый член в правой стороне уравнения (34,32) возникает как фурье-компонента первого члена в правой стороне уравнения (34,19). При г-+-0 последний сводится к производной ( ь~ ' / ~ ох, ' /=ах~ оы л пыа~г/+~оп д„, "мпп/= д„(пыоыпа) дхп и обращается в нуль в силу однородности. В спектральном пред- ставлении это значит, что ЬЕм~ (Ь) ~зй (34,37) так что функция Рио(А) знакоперемеина.
Уравнение (34,32) имеет простой смысл: оно представляет баланс энергии различных спектральных компонент турбулентного движения. Второй член в правой стороне отрицателен; он определяет убыль энергии, связанную с дисснпацней. Первый же член (связанный с нелинейным членом в уравнении Навье— Стокса) описывает перераспределение энергии по спектру — ее переход от спектральных компонент с меньшими к компонентам с ббльшими значениями й. Спектральная (по й) плотность энергии Е(Ь) имеет максимум при Ь вЂ” 1/1; в области вблизи максимума (область энергии — см, 5 33) сосредоточена большая часть полной энергии турбулентного движения.
Плотность же диссн« После всего сказанного вьппе смысл этой формулы очевяден: положительная величина Рпч(Ь)/(2п)' представляет собой спектральную плотность кинетической энергии жидкости (отнесшшой к единице массы) в (г-пространстве. Энергия же, заключенная в пульсациях с величиной волнового вектора в интервале йй, есть Е(Ь)сй, где тзрнзлпнтность )гл. гп пируемой энергии 2чйзЕ(й) максимальна при А 1/Хе, в области диссипации сосредоточена ббльшая часть полной диссипации.
При очень больших числах Рейнольдса обе эти области раздвинуты далеко друг от друга и между ними находится инерционная область. Проинтегрировав уравнение (34,32) по г(зй/(2н)',мы получим в его левой части производную по времени от полной кинетической энергии жидкости; эта производная совпадает с полной диссипацией энергии — е. Таким образом, находим следующее «условие нормировки» функции Е(й): (34,38) Б инерционном интервале волновых чисел (1/! « А к, 1/Хо) спектральные функции (как и корреляционные функции в координатном представлении) можно считать независящими от времени.
Согласно (33,13) в этой области Е (й) = С!е ~й (34,39) (34,40) Задача Связать друг с другом козффинпенты С и С, в формулах (34,39 — 40) для корреляционной функции и спектральной плотности ввергни в инерционной области. Решен ив. Функции !! Вм (г) = 2Вг! (г) + В г (г) — Вгг (г) 3 (использована связь (34,6)) и вн' Вн (й) — 2Ь и (й) = — 4Е)т! (й) = — — Е (й) йт (й Ф 0) связаны интегралом Ф>рье ВМ(й) ~ В!г(Г) Е-игбтл.
Бели волновой вектоР лежит в ииеРциоиной области ()/! м й.е- !(тт) то „ личие осциллнруктщего множителя обрезает интеграл сверху на расстояниях ') Большяиство зксперимеитов относится к атмосферной и океанической турбулентности, Числа Рейнольдса в этих измерениях доходили до 3 !О'. где С! — постоянный коэффициент. Этот коэффициент связан о коэффициентом С в корреляционной функции Е„(г) = С (ег) ! равенством С! =0,76С (см. задачу). Их эмпирические значения! С ж 2, С1 ж 1,5'). При этом отношение ~ Е ~/Езгт 4/ЪСзд 0 3 ТУРБУЛЕНТНАЯ ОБЛАСТЬ И яВЛеНие ОТРЫВА го/ 1/й К /.
На малых же расстояниях интеграл сходится, поскольку Вл(г) -»0 при г-ьо. Поэтому фактически интеграл определяется областью расстояний, лежащих в инерционной области (ле ~ г ~ /), так что можно подставить в него В„(г) из (34,40), распространив в то же время интегрирование по всему пространству. В интеграле / ~ 3/2 -Бтг (з прз~зводим сначала интегрирование по направлениям г н находим / — 1ш ~ г Ме с(г= — Зт $ е 0$. 4м Г э гаг 4п Г а(з ц /нм ) о о Оставшийся интеграл берется путем поворота пути интегрированна в плоскости комплексного переменного $ с правой вещественной иа верхнюю мнимую полуось.
В результате получим 4п 1ои /= —— Ани 9Г (1/3) Собрав полученные выражения, находам окончательно 55 27Г (1/3) 5 Зб. Турбулентная область и явление отрыва Турбулентное движение является, вообще говоря, вихревым. Однако распределение завихренности вдоль объема жидкости обнаруживает при турбулентном движении (при очень больших )х) существенные особенности. Именно, при «стационарном» турбулентном обтекании тел весь объем жидкости можно обычно разделить на две области, отграниченные одна от другой. В одной из них движение является вихревым, а в другой завихренность отсутствует, и движение потенциально.
Завнхрениость оказывается, таким образом, распределенной не по всему объему жидкости, а лишь по его части (вообше говоря, тоже бесконечной). Возможность существования такой отграниченной области вихревого движения является следствием того, что турбулентное движение может рассматриваться как движение идеальной жидкости, описывающееся уравнениями Зйлера '). Мы видели (б 8), что для движения идеальной жидкости имеет место закон сохранения циркуляции скорости. В частности, если в какой-нибудь точке линии тока ротор скорости равен нулю, то это имеет место и вдоль всей этой линии. Напротив, если в какой-нибудь точке линии тока го( и чь О, то он отличен от нуля вдоль всей линии ') Границей применимости этих уравнений к турбулентному движеиио являются расстояния порядка Хь Поэтому и о резкой границе между обла.
стями вихревого и безвихревого движений можно говорить только с точностью до таких расстояний. !ГЛ. Н1 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ зов тока. Отсюда ясно, что наличие отграниченных областей вихревого и безвнхревого движения совместимо с уравнениями движения, если область вихревого движения представляет собой область, за границы которой не выходят находящиеся внутри нее линии тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
