Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Что же касается производных от ф, то производная и„ = дф/дд должна оставаться непрерывной. Скачок нормальной к поверхности следа компоненты скорости означал бы, что некоторое количество жидкости втекает в след; между тем, в приближении, в котором толщина следа пренебрегается, этот эффект должен отсутствовать.
Таким образом, мы заменяем след поверхностью тангенциального разрыва. Далее, в этом же приближении на следе должно быть непрерывно также и давление. Поскольку изменение давления определяется согласно формуле Бернулли в первом приближении величиной р(/и = р(/дф/дх, от отсюда следует, что должна быть непрерывна и производная дф/дх.
Произ- заметно уменьшалась уже на расстояниях порядка толщины следа. Напротив, эта скорость будет теперь иметь одинаковый порядок величины как внутри следа, так и на значительных (порядка размаха крыла) расстояниях от него. При этом, конечно, предполагается, что подъемная сила отлична от нуля; в противном случае поперечная скорость практически вообще отсутствует. Рассмотрим вертикальную подъемную силу гу, развивающуюся при таком обтекании.
Согласно формуле (21,2) она определяется интегралом ТУРБУЛЕНТНОСТЬ $гл, !п водная же д~устг — скорость в направлении размаха крыла— испытывает, вообще говоря, скачок. Ввиду непрерывности производной дйс/дх скачок сря — ср, есть величина, зависящая только от а, но не от координаты х вдоль длины следа. Таким образом, получаем для подъемной силы следующую формулу: Е, = — р(У ~ (чЬ вЂ” чч) (г (38,2) Интегрирование по с(а распространяется фактически лишь по ширине следа (вне следа, конечно, <ра — ~р1 = О). Эту формулу можно представить в несколько ином виде. Для этого замечаем, что по известным свойствам интегралов от градиента скаляра можно написать разность ета — ~р~ в виде криволинейного интеграла ~ Чср .
сй = ~ (иу с(у + и„с(х), взятого по контуру, выходящему из точки уь огибающему тело и приходящему в точку уа, проходя, таким образом, везде в области потенциального движения. А благодаря тонкости следа можно, не изменяя интеграла с точностью до малых величин высшего порядка, дополнить этот длинный контур коротким отрезком от у~ до уь превратив его таким образом в замкнутый. Обозначая посредством Г циркуляцию скорости по замкнутому контуру С, охватывающему тело (рис.
26): Г = $ и сй = щ — ~р„ (38,3) получаем для подъемной силы формулу Е„= — ри~Г (. (38,4) Задачи К Определить закон расширения турбулентного следа, обравуюптегося при поперечном обтекании бесконечно длинного цилиндра. Решение. Для силы сопротивления („, отнесенной к единице длины цилиндра, имеем по порядку величины (, — рЬиУ. Комбинируя ато с соотно- Знак циркуляции скорости выбирается всегда для обхода контура в направлении против часовой стрелки. Знак в формуле (38,3) связан также и с выбором направления обтекания: мы предполагали везде, что обтекание происходит в положительном направлении оси х (яоток натекает слева направо).
Устанавливаемая формулой (38,4) связь подъемной силы с циркуляцией скорости составляет содержание теоремы О, Е Жуковского (1906). К применению этой теоремы к хорошо обтекаемым крыльям мы вернемся еще в 3 46, ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО 3 зз! шепнем (37,1), получаем для ширины следа У: У Аг)/ —" где А — постоянная. Средняя скорость и в следе падает по закону и г~/ — '-.
ид1 ~ Чед! ри' где теперь интегрирование производится по поверхности цилиндра большого радиуса с осью вдоль осн к н длиной, равной единице, а 1, есть сила сопро. тнвлення, отнесенная к единице длины тела. Удовлетворяющее этому условию решение двухмерного урввиения Лапласа ЬФ = 0 есть (к Ф вЂ” !п г. 2лрУ Далее, для подъемной силы имеем согласно (38,2) )У-РУ(е, — е,), Наименее быстро убывающим с расстоянием решением уравнения Лапласа, испытывающим скачок иа плоскости <р = О, является Ф сопя! и — — ф 2лрУ (выбор константы определяется тем, что фз — йч 2л).
Движение жидко. сти определяется суммой обоих найденных решений; 2 и (! '"' гич). 1 (2) 1(нлиндрические компоненты скорости и равны~ дФ 1 дФ и и дг 2лрУГ ' Э г дф 2лрУг ' (3) Скорость и образует с цилиндрическим радиус-вектором постоянный угол, тангенс которого ранен )„!)ь 3. Определить закон изгибания следа за бесконечно длинным телом прн наличии подъемной силы. Число Рейнольдса й уи/т 1,/три не зависит от к н потому ламинарного участка след не имеет.
Укажем, что согласно экспериментальным данным постоянный коэффи. циент в (1) равен А = 0,9 (причем У есть полуширнна следа); если под У понимать расстояние, на иотором скорость и падает до половины своего максимального значения по середине следа, то А = 0,4. 2. Определить движение вне следа, образующегося при поперечном обтекании бесконечно длинного тела. Р е ш е н н е. Вне следа движение потенциально (потеяцизл обозначаем здесь посредством Ф в отличие от угла м в цилиндрической системе координат г, з, ю с осью з ндоль длины тела).
Подобно тому как было сделано в (21,16), заключаем, что должно быть ТУРБУЛЕНТНОСТЬ (ГЛ. 1И 222 Решение. При наличии подъемной сплы след (рассматриваемый как поверхность разрыва) изгибается в плоскости ху. Закон у ° у(х) этого нзгкбзння определяется уравнением бу и+У и Ю Подставив сюда согласно (3) и„ж — 1„/2мрУх и пренебрегая и, по сразив. си, у 4У )н бх 2прУ'х ' откуда у = сонат — — !п х; (ы 211РУ2 ГЛАВА1Ч ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ й 39.
Ламинврный пограничный слой Мы уже неоднократно ссылались на то обстоятельство, что очень большие числа Рейнольдса эквивалентны очень малой вязкости, в результате чего жидкость может рассматриваться при таких Я как идеальная. Однако такое приближение во всяком случае непригодно для движения жидкости вблизи твердых стенок. Граничные условия для идеальной жидкости требуют лишь исчезновения нормальной составляющей скорости; касательная же к поверхности обтекаемого тела компонента скорости остается, вообще говоря, конечной. Между тем, у вязкой реальной жидкости скорость на твердых стенках должна обращаться в нуль.
Отсюда можно сделать вывод, что при больших числах Рейнольдса падение скорости до нуля будет происходить почти полностью в тонком пристепочном слое жидкости. Этот слой носит название пограничного и характеризуется, следовательно, наличием в нем значительных градиентов скорости. Движение в пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбулентным.
Здесь мы рассмотрим свойства ламинарного пограничного слоя, Граница этого слоя не является, конечно, резкой, и переход между ламипарным движением в нем и в основном потоке жидкости происходит непрерывным образом. Падение скорости в пограничном слое обусловливается в конечном итоге вязкостью жидкости, которой нельзя пренебречь здесь, несмотря на большие значения Я, Математически это проявляется в том, что градиенты скорости в пограничном слое велики и потому вязкие члены в уравнениях движения, содержащие производные от скорости по координатам, велики, несмотря на малость т ').
Выведем уравнения движения жидкости в ламинарном пограничном слое. Для простоты вывода рассмотрим двухмерное обтекание жидкостью плоского участка поверхности тела. Эту плоскость выберем в качестве плоскости х, г, причем ось х' направлена по направлению обтекания. Распределение скорости не зависит от координаты г; г-компонента скорости отсутствует. Точные гидродннамические уравнения Навье — Стокса н уравнение непрерывности, написанные в компонентах, принимают ') р!дея и основные уравнения теории ламинариого пограничного слоя были сформулированы Прандтлем (1.. Ргашй1, 1904).
>гл. щ пограничнып слОЙ 224 Вид: дрх ! дР Г д2ах д'Рх ~ о — = — — — + м~ — +— ду р дх ~ дх> дуР )' деу ! дР / д'Р„дЪР З о — +~! и+ г) х ду р ду 1, дх ду~ ) да„ дгу — "+ — "=О. дх ду о — + дах дх (39,1) дхх о — + дх (39,2) (39,3) (39,4) т. е, можно считать, что в пограничном слое нет поперечного градиента давления. Другими словами, давление в пограничном слое равно давлению р(х), имеющемуся в основном потоке жидкости и являющемуся при решении задачи о пограничном слое заданной функцией от х. В уравнении (39,!) можно теперь написать вместо др/дх полную производную др(х)/0х; эту производную можно выразить с помощью скорости (/(х) основного потока. Поскольку вне пограничного слоя движение потенциально, то справедливо уравнение Бернулли р + рУх/2 = сопз1, откуда ! гр д!> — — = — У вЂ”.
р дх дх' Таким образом, получаем систему уравнений движения в ламинарном пограничном слое — уравнения )Траидтля — в виде д" +, д" ° д".. ! Ыр у", (39,5) дх У ду ду' р дх >тх дах дар — "+ —" =О. дх ду (39 6) Ф Движение предполагается стационарным, и потому производных по времени не пишем.
Ввиду тонкости пограничного слоя ясно, что движение в нем будет происходить в основном параллельно обтекаемой поверхности, т. с. скорость о„ будет мала по сравнению с и„ (это видно уже и непосредственно из уравнения непрерывности). Вдоль направления оси у скорость меняется быстро†заметное изменение ее происходит на расстояниях порядка толщины 6 пограничного слоя. В направлении же оси х скорость меняется медленно; заметное изменение ее происходит здесь на протяжении расстояний порядка характеристической длины 1 задачи (скажем, размеров тела).
Поэтому ее производные по у велики по сравнению с производными по х. Из сказанного следует, что в уравнении (39,1) можно пренебречь производной пэох/дх' по сравнению с д'и,/ду', а сравнивая первое уравнение со вторым, мы видим, что производная др/ду мала по сравнению с др/дх (по порядку величины — в отношении о„/пх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
