Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Таким образом, вблизи критической точки толщина погра- ничного слоя остается конечной. 2. Определить движение в пограничном слое прн конфузориом (см. 6 23) течении между двумя пересекающимися плоскостями (К. Рой!йпизев, 1921). Решен не. Рассматривая пограничный слой на одной нз сторон угла, отсчитываем кордннату х вдоль этой стороны от вершины угла 0 (рнс.
8). Прн течении идеальной жидкости мы имели бы для скорости формулу 1! = О(арх, выражающую собой просто сохранение расхода жидкости в потоке (а — угол между пересекающимися плоскостямн). Таким образом, в правой стороне уравнении (39,5) будет стоять УФУ/бх — Оз(азрзхз. Легко видеть, что после этого уравнения (39,5 — 6) станут инварнантиыми по отношению к преобраюванию х-ьох, у-ьау, и,-ьэ,(п, о„-ьо„(а с произ- вольной постоянной о. Это значит, что можно искать о, и э„в виде о — !($), э — (~ (й), й= —, О О у арх ' и арх * х ' движиннн ввлнзи линии отрыва )-зтй [)п(Ч/2+Ч/З)+( — ) ф (3) толщина пограничного слоя 3 лЯыа.
Значение провзводиой г'(О)= = 2(К/3)ыа, как вто видно из (2). Поэтому сила трения, действующая ва еднинпу площади стенки: й 40. Движение вблизи линии отрыва При описании явления отрыва ($ 35) уже было указано, что реальное положение линии отрыва на поверхности обтекаемого тела определяется свойствами движения в пограничном слое. Мы увидим ниже, что в математическом отношении линия отрыва есть линия, точки которой являются особымн точкамн решений уравнений движения в пограничном слое (уравнений Прандтля). Задача состоит в том, чтобы определить свойства этих решений вблизи такой особой линии '), От линии отрыва отходит, как мы знаем, уходящая в глубь жидкости поверхность, ограничивающая область турбулентного движения.
Движение во всей турбулентной области является вихревым, между тем как при отсутствии отрыва оно было бы вихревым лишь в пограничном слое, где существенна вязкость жидкости, а в основном потоке ротор скорости отсутствовал бы. Поэтому можно сказать, что при отрыве происходит проникновение ротора скорости из пограничного слоя в глубь жидкости.
Но в силу закона сохранения циркуляции скорости такое проникновение может произойти только путем непосредственного перемещения движущейся вблизи поверхности тела (в пограничном слое) жидкости в глубь основного потока. Другими словами, должен произойти как бы «отрыв» течения в пограничном слое от поверхности тела, в результате чего линии тока выходят из пристеночного слоя в глубь жидкости. (Поэтому и наэываютэто явление отрывом или отрывом пограничного слоя.) уравнения движения в пограничном слое приводят, как мы видели, к результату, что в пограничном слое тангенциальная составляющая скорости (и ) велика по сравнению с нормальной к поверхности тела компонентой (пз).
Такое соотношение между и» и па органически связано с основными предположениями о характере движения в пограничном слое и должно необходимым ~) Излагаемая здесь, несколько отличная ог обычвой трактовка вопроса принадлежит Л. Я. Ландау (!944). Так как правая часть отрицательна в иктервале О ~ ) ~ 1, то непременно должно быть !3 ( О: пограничный слой рассматриваемого типа образуется только при коифузориом течении (с большими числами Рейиольдса и = Я(/рат), и ие получается при днффузорном течении — в согласия с результатамн $23. Интегрируя еще раз, получаем окончательно: ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 1гл.
Йг образом соблюдаться везде, где уравнения Прандтля имеют' физически осмысленные решения. Математически оно во всяком случае имеет место во всех точках, не лежащих в непосредственной близости от особых точек. Но если ов к, О„то это значит, что жидкость движется вдоль поверхности тела, практически не отклоняясь от нее, так что никакого отрыва течения произойти не может. Таким образом, мы приходим к выводу, что отрыв может произойти лишь на той линии, точки которой являются особыми для решения уравнений Прандтля.
Характер этих особенностей тоже непосредственно следует из сказанного. Действительно, дойдя до линии отрыва, течение отклоняется, переходя из области пограничного слоя в глубь жидкости. Другими словами, нормальная составляющая скорости перестает быть малой по сравнению с тангенциальной и делается по крайней мере одного с нею порядка величины. Мы видели (см. (39.1!)), что отношение Ов/ол гс '~, так что возрастание о„до о„о, означает увеличение в ~/К раз. Поэтому при достаточно больших числах Рейнольдса (о которых, разумеется, только и идет речь) можно считать, что пв возрастает в бесконечное число раз.
Если перейти в уравнениях Прандтля к безразмерным величинам (см. (39,10)), то описанное положение формально означает, что безразмерная скорость о' в решении уравнений становится на линии отрыва бесконечной. Будем рассматривать для некоторого упрощения дальнейшего исследования двухмерную задачу о поперечном обтекании бесконечно длинного тела. Как обычно, х будет координатой вдоль поверхности тела в направлении течения, а координата у будет расстоянием от поверхности тела. Вместо линии отрыва здесь можно говорить о точке отрыва, подразумевая пересечение линни отрыва с плоскостью х, у; в выбранных координатах это есть точка х = сопз1 — = хо, у = О. Область до точки отрыва пусть соответствует х ( хо. Согласно полученным результатам при х = хв имеем при всех у') п„(хв, у) = оо.
(40,1) Но в уравнениях Прандтля скорость о„является своего рода. вспомогательной величиной, которой при исследовании движения в пограничном слое обычно не интересуются (в связи с ее малостью). Поэтому желательно выяснить, какими свойствами обладает вблизи линии отрыва функция о,. Из (40,!) ясно, что при х= хо обращается в бесконечность также и производная дог/ду. Из уравнения непрерывности до дов — '+ —," =0 (40,2) дх ду ') Кроме только точки у = О, в которой всегда должно быть о„осогласно граничным условиям на иоверхносги тела движение ввлнзн линии отрыва где х рассматривается как функция от о и у, а оо(у) = о,(х, у). Вблизи точки отрыва разности о, — оо и хо — х малы, и можно разложить хо — х в ряд по степеням о — оо (при заданном у).
В силу условия (40,3) член первого порядка в этом разложении тождественно выпадает, и с точностью до члена второго порядка имеем: хо — х=((у) (о» вЂ” оо)з или о„= оо (у) + а (у) 1/хо — х. (40,4) где а = (-ы' — некоторая функция только от у. Написав теперь доо дох а (у) ду д» 2 1/хю — х и интегрируя, получаем р (у) оо = — т=йакюв ухо — х (40,5) где (у) — снова функция от у.
алее, воспользуемся уравнением (39,5): дох дох доох 1 до о — +о — т— дх о ду ду' р дх' (40»5) Производная д'о /ду' не обращается, как это видно из (40,2), при х= хо в бесконечность. То же самое относится и к величине г(р/пх, определяющейся движением вне пограничного слоя. Оба же члена в левой стороне уравнения (40,6) обращаются, каж. дый в отдельности, в бесконечность. В первом приближении можно, следовательно, написать для области вблизи точки от- рыва о — +о — О, до„ дод дх " ду С учетом уравнения непрерывности (40,2), переписываем это уравнение в виде до о до„д о о — — о — о — — — О. х ду о ду лду оо Поскольку прн х хо скорость о„, вообще говоря, не обращает ся в нуль, то отсюда следует, что отношение о„/ох ие зависит следует тогда, что и производная до,/дх делается бесконечной при х=хо, илн (40,3) х Ф НОГРаничный слОЙ )гл гу от у.
С другой стороны, из (40,4) и (40,5) имеем с точностью до членов высшего порядка оо р (У) оо оо (У) 1/хо — к Наконец, замечая, что функции а и () в (40„4) и (40,5) связаны друг с другом уравнением а=28', получаем а =Аппо/ду, так что оо(у)+ А — „' )/хо — х. (40,8) Формулы (40,7 — 8) определяют характер зависимости функций п„и п„от х вблизи точки отрыва.
Мы видим, что обе онн оказываются разложимыми в этой области по степеням корня (хо — х)по, причем разложение п„начинается с члена ( — !)-й степени, так что оо обращается при х-+.хо в бесконечность, как (хо — х)-по. При х~хо, т. е. за точкой отрыва, разложение (40,7 — 8) физически неприменимо, так как корни делаются мнимымн; это свидетельствует о физической бессмысленности продолжения за точку отрыва решений уравнений Прандтля, описывающих дрижение до этой точки. В силу граничных условий на самой поверхности тела должно быть всегда п,=по=О при у=О. Из (40,7) и (40,8) заключаем поэтому, что ио(0)=0, — '! =О. ДУ $о о (40,9) Таким образом, мы приходим к важному результату, что в са-' мой точке отрыва (х = хо. у = 0) обращается в нуль не только скорость о„ но и ее первая производная по у (этот результат принадлежит Праидтлю). Необходимо подчеркнуть, что равенство до~/ду = 0 на линии отрыва имеет место лишь постольку, поскольку при этом же х обращается в бесконечность и„.
Если бы постоянная А в (40,7) случайно оказалась равной нулю (а потому не было бы и о„(х,,у)=со), то точка х=хо, у=О, в которой обращается в нуль производная до„/ду, не была бы ничем замечательна и во всяком случае не была бы точкой отрыва. Обращение А в нуль может, однако, произойти лишь чисто случайно и поэтому невероятно. Практически, следовательно, точка на поверхности Для того чтобы это выражение было функцией только от х, необходимо: р(у)='/оАоо(у), где А — численная постоянная.
Таким образом, Лоо (и) (40,7) 2 !/хо — х движение ввлизи линни'отрыва Ф м! тела, в которой до /ду = О, всегда является в то же время точкой отрыва. Если бы в точке х=х«не возник отрыв (т. е. если А =0), то при х ) х, было бы (до /ду) ~„-з с. О, т. е.
при удалении от стенки (при достаточно малых у) о, делалось бы отрицательным, увеличиваясь по абсолютной величине. Другими словами, за точкой х = к» жидкость двигалась бы в нижних слоях пограничного слоя в направлении, обратном основному потоку; возникло бы «подтекаиие» жидкости к этой точке, Подчеркнем, что из такого рода рассуждений еще отнюдь нельзя было бы делать вывод о необходимости отрыва в точке, где до,/ду = 0; вся картина течения с подтекаиием могла бы (как это и было бы при А =0) находиться целиком в области пограничного слоя, не выходя в область основного потока, между тем как для отрыва характерен именно выход течения в основной объем жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
