Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 50
Текст из файла (страница 50)
29,а перемещение вправо по горизонтальной прямой в = сопз1. Прн этом возмущение сначала затухает, затем по достижении ветви 1 границы устойчивости начнет уснлнвать. ся. Усиление продолжается до момента достижения ветви П, после чего возмущение вновь будет затухать. Полный коэффнцнент усиления возмущения за время его прохождения через область неустойчивости очень быстро возрастает по мере того, как эта область сдвигается в сторону большнх Й (т.
е. чем ниже на рнс. 29,а расположен соответствующий горнзонтальный от. резок между ветвями 1 н П границы устойчивости). Вопрос о характере неустойчнвостн пограннчного слоя по отношению к бесконечно малым возмущениям (абсолютном нлн конвектнвном) еще не имеет полного решения. Для профиля скоростей без точки перегиба неустойчивость является конвектнв. ной в той областн значений К, где обе ветви нейтральной крнвой (рнс. 29, а) близки к осн абсцисс (сюда относится то же самое доказательство, что н для плоского пуазейлевого тече- тстоичивость движения иия — см. примечание на с.
150). Для меньших значений Й, а также для профилей скорости с точкой перегиба вопрос остается открытым. Благодаря изменению числа Рейнольдса вдоль пограничного слоя, турбулизируется не сразу весь слой, а лишь та его часть, для которой )та превышает определенное значение, Прн заданной скорости обтекания это значит, что турбулизация возникает на определенном расстоянии от переднего края; при увеличении скорости это место приближается к переднему краю. Экспериментальные данные показывают, что место возникновения турбулентности в пограничном слое существенно зависит также от интенсивности возмущениЯ в натекающем потоке.
Помере уменьшения степени возмущенности наступление турбулентности отодвигается к более высоким значениям (та. Различие между нейтральными кривыми на рнс. 29, а н 29,б имеет принциннальный характер. Тот факт, что на верхней ветви частота стремится при Ка-~- оо к отличному от нуля пределу, означает, что движение остается неустойчивым при сколь угодно малой вязкости, между тем как в случае кривой типа рис. 23, а при т- 0 возмущения с любой конечной частотой затухают.
Это различие обусловлено именно наличием или отсутствием точки перегиба в профиле' скоростей п,=и(у). Его происхождение можно проследить с математической точки зрения, рассмотрев задачу об устойчивости в рамках гидродинамикн идеальной жидкости Яау!е!дй, 1880). Подставим в уравнение плоского движения идеальной жидкости (10,10) функцию тока в виде ф= фа(р)+ Ф,(х,р !) где фа — функция тока невозмущенного течения (так что чра'=и(у)), а ф~ — малое возмущение. Последнее ищем в виде ф ф(р) а~~а*-мо Подстановка в (10,10) приводит к следующему лннеаризованному уравнению для функции ф, '): ~п — — „) (ф" — йр) — по~р= О. (41,2) Если границей движения (по осн р) является твердая стенка, то на ней у =0 (как следствие условия п„=О); если же ширина потока не ограничена (с одной или с обоих сторон), то такое же условие должно быть поставлено на бесконечности, где поток однороден.
Будем рассматривать й как заданную вещественную величину; частота же ю определяется тогда по собственным значениям граничной зааачи для уравнения (41,2). ') Любав функция фя(у) уыовлетворяет уравыенню (10,10) тождественно) ср. сказанное а ырнмсчаннн на с.
238. (гл. 1ч ПОГРАНИЧНЫИ СЛОИ Разделим уравнение (41,2) на (п — ю/й), умножнм на гр' и проинтегрируем по и между двумя границами движения уг и ух. Проинтегрировав произведение ~р'фп по частям, получим () ф' )х + йх!ф (х) с(р + ~ — „~, с(у = О. (41,3) У~ У1 Первый член здесь во всяком случае веществен. Предполагая частоту комплексной и отделив мнимую часть равенства, получим: ГУ*;19) (41,4) ю Для того чтобы могло быть 1т мчи О, должен обращаться в нуль интеграл, а для этого во всяком случае необходимо, чтобы гделибо в области интегрирования О" проходило через нуль.
Такггм образом, неустойчивость может возникнуть (при ч = О) лишь для профилей скорости с точкой перегиба '). С физической точки зрения, происхождение этой неустойчивости связано с «резонансным» взаимодействием между колебаниями среды и движением ее частиц в основном течении, и в этом смысле оно аналогично происхождению известного из кинетической теории затухания (или усиления в неустойчивом случае) Ландау колебаний в бесстолкновительной плазме (см. Х, 9 30)з). Согласно уравнению (41,2) собственные колебания течения (если они существуют) связаны с той его частью, где оо(у) чь Оз). Проследить за механизмом усиления колебаний удобно на примере профиля скорости, в котором «источник» колебаний локализован в одном слое течения: рассмотрим профиль о(у), кривизна которого мала везде, за исключением лишь окрестности некоторой точки у = Вз) заменив ее просто изломом профиля', будем иметь з о"(у) член вида Аб(у — ус); именно ои будет давать основной вклад в интеграл в уравнении (41,3).
Будем описывать течение в системе координат, в которой «источник» по- ') Следует отметить, что постановка задачи об устойчивости с точным равенством ч О физически ие вполие корректна. Оиа ие учитывает того фанта, что реальиая жидкость иеаремеиио обладает хотя бы и малой, ио отличиой от пуля вязкостью. Это приводит к ряду математических затрудиеиий: исчезиовеиию иекоторых решеиий (в виду поиижеиия порядка лиффереициальиого уравнения для фуикции и) и появлению иовых решений, отсутствующих при и Ф О.
Последнее обстоятельство связаио с сикгуляриостью уравиеиия (41,2) (отсутствующей при ч чь О): в точке, где о(р) ы(й, обращается в пуль коэффициент прп старшей производиой в уравиеиии. з) Эта аиалогия указана А В. Тимофеевым (1979) и А А. Лпдрокоеам и А. Л. фабрикантом (1979); ниже мы следуем изложению А. й. тимофеева. з) Пря и»(р) пв О уравиеяие (41,2) вообще ве имеет решеияй, удовле. тхоряющях иеобходимым граиичяым условиям.
логаоиФмическии пРОФиль скоростии 243 % чт! коится, т. е. О(уо)=0 (как это изображено нв рис. '30). Отделив в уравнении (41,3) вещественную часть, получим )т ! йз! 1~)с( Л)Ф(ре) !'ПеыУй 0 — )ы)й!г Пусть А ) 0 (как на рис. 30); поскольку первый член в этом равенстве заведомо положителен, то тогда должно быть йеш/й ) 0 — фазовая скорость волны направ- и(у) лена направо. При этом резонансная точка у„ в которой фазовая скорость волны совпадает с местной скоростью течения, о(у,) = )чеш/й, лежит справа от точки ус. Жидкие частицы, движущиеся в окрестности резонансной точки н обгоняющие волну, отдают ей энергию; частицы же, отстающие от волны, отбирают от нее энергию; волна будет усиливаться (не- рнс зо устойчивость), если первых частиц больше чем вторых').
Но ввиду предполагаемой несжимаемости жидкости число частиц, приходящихся на элемент ду ширины потока, просто пропорционально с(у; тем самым число частиц со скоростями в интервале с(и пропорционально ду =(г)у/с(и) г)и = = с(о/о'(у), т. е. роль функции распределения по скоростям играет 1/о'(у). Следовательно, для возникновения неустойчивости необходимо, чтобы при пересечении точки у, слева направо функция 1/о'(у) возрастала, т. е. о'(у) убывала.
Другими словами, должно быть о" (у,) О, а поскольку в точке уо производная о" положительна, то где-либо между точками уо и у, должна быть точка перегиба профиля. Аналогичным образом рассматривается (и приводит к тому же результату) случай, когда А ( 0; при этом фазовая скорость волны и скорость резонансных жидких частиц направлены налево. й 42. Логарифмический профиль скоростей Рассмотрим плоско-параллельный турбулентный поток жидкости, текущий вдоль неограниченной плоской поверхности (когда мы говорим о плоско-параллельности турбулентного потока, то подразумевается, конечно, усредненное по времеви движение ') По отношению к резонансным частыпам движение в волне стапыоиарно; поэтому обмен знергней между ними н волной ые обрашаетсы в нуль прн усреднении по времены (как вто имеет место длы другах частил. по отношению к которым движение в волне оспиллирует).
Отметим таиже, что указан. ное направленые обыска энергией отвечает стремление к умеыьшеиаш градыеита скорости течении, н в етом смысле отвечает учету сколь угодно малой вдзкоста ПОГРАННЧНЫВ СЛОВ 1гл, 1ч в нем)'). Выберем направление потока в качестве оси х, плоскость стенки — в качестве плоскости х; х, так что у есть расстояние от стенки.
Компоненты средней скорости вдоль осей у и г равны нулю: и,=и, и„= и,=0. Перепад давления отсут'ствует; все величины зависят только от у. Обозначим посредством и силу трения, действующую на единицу поверхности стенки (и направленную, очевидно, по оси х). Величина о представляет собой не что иное, как импульс, передаваемый жидкостью твердой стенке; она является в то же время тем постоянным потоком импульса (точнее х-компоненты импульса), который направлен в отрицательном направлении осн у, и определяет количество импульса, непрерывно передаваемого от более удаленных от стенки слоев жидкости к менее удаленным. Наличие этого потока импульса связано, конечно, с наличием вдоль оси у градиента средней скорости а. Если бы жидкость двигалась везде с одинаковой скоростью, то никакого потока импульса в ней не было бы.
Можно поставить вопрос и обратным образом; зададимся некоторым определенным значением и н выясним, каково должно быть движение в жидкости данной плотности р, приводящее к потоку импульса о. Имея в виду получить асимптотическне законы, относящиеся к очень большим числам Рейнольдса, снова исходим из предположения, что в этих законах ие должна фигурировать в явном виде вязкость жидкости ч (она становится, однако, существенной иа очень малых расстояниях у — см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
