Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Если уо и и' одного порядка величины, то никаких общих формул написать нельзя. В обратном же предельном случае сильной шероховатости (И ~ уа) снова можно установить некоторые общие соотношения. Говорить о вязком подслое в этом случае, очевидно, нельзя. Вокруг выступов шероховатости будет происходить турбулентное движение, характеризующееся величинами р, и, Ы; вязкость «, как обычно, не должна входить явно. Скорость этого движения — порядка величины о, — единственной имеющейся в нашем распоряжении величины с размерностью скорости. Таким образом, мы видим, что в потоке, текущем вдоль шероховатой поверхности, скорость делается малой ( в„) на расстояниях у — и' вместо у ум как это было при течении вдоль гладкой поверхности.
Отсюда ясно, что распределение скоростей будет определяться формулой, получающейся из (42,7) заменой «/в„на с(, ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ [Гл. ту Уравнения (43,!) и (43,2) определяют в параметрическом виде (параметром является о„) связь скорости течения жидкости по трубе с перепадом давления в ней. Об этой связи говорят обычно как о законе сопротивления трубы. Выражая о, через /зр/1 из (43,2) и подставляя в (43,1), получаем закон сопротивления в виде уравнения (43,3) Обычно в втой формуле вводят так называемый коэффициент сопротивления трубы, являющийся безразмерной величиной и Определяющийся как отношение 2а Ьр)! ри)г ' Зависимость Х от безразмерного числа Рейиольдса )т = 2а(7/У Определяется неявным образом уравнением = = 0,881п (тс угГ) — 0,85.
ч/Г (43,5) (43,4) Мы поставили здесь для и значение (42,3) и прибавили к логарифму эмпирическую численную постоянную '). Определяемый этой формулой коэффициент сопротивления является медленно убывающей функцией числа Рейнольдса. Для сравнения приведем закон сопротивления при ламинарном течении в трубе. Вводя в формулу (17,10) коэффициент сопротивления, получаем: Х = 64/тч.
(43,6) При ламинарном течении коэффициент сопротивления падает с ростом числа Рейнольдса быстрее, чем прн турбулентном течении, На рис. 32 изображен (в логарифмическом масштабе) график зависимости Х от й. Круто спадающая прямая соответствует ламинарному режиму (формула (43,6)), а более пологая кривая ') Козффнпнент перед логарифмом в втой формуле азат в соответствии с коэффнпнентом в формуле (42,а) логарнфмнческого профнля сноростей. Только прн таком условна эта формула нмеет теоретический смысл предельной формулы для турбулентного теченнн прн достаточно больших значеннях енола Рейнольдса.
Если же выбирать в формуле (43,б) пронзвольным образом аначенне обеих входящнх в нее постоянных, то она сможет играть роль лишь чнсто эмпнрнческой формулы для завнснмостн Х от й. В таком случае, одна. ко, нет ннкакнх оснований предпочитать ее любой другой, более простой, эмпнрнческой формуле, достаточно хорошо опнсмвающей экспернментальные данные. то полная сила трения равна 2па(рох„.
Приравнивая оба выражения, находим: — ро Ьр я2 ° а' (43,2) туРбулентныи пОГРАннчныи слОВ (практически тоже близкая к прямой) — турбулентному течению. Переход с первой на вторую происходит по мере увеличения числа Рейнольдса в момент турбулизации течения, который может наступить при различных значениях Й в зависимости от конкретных условий течения (от степени «возмущенности» потока); в момент перехода коэффициент сопротивления резко возрастает.
ИИ 1Д 1,г г г Егг, г Агг,,г (ггп, г Ага~, ркс зг Заа 1,3 1па(а)сС) 1п2(а/И) т, е. Х вЂ” постоянная величина, не зависящая от числа Рейнольдса. (43,8) $44. Турбулентный пограничный слой Тот факт, что мы получили для плоско-параллельного турбулентного потока логарифмический закон распределения ско» ростей формально во всем пространстве, связан с тем, что рас- Написанные выше формулы относятся к трубам с гладкими стенками.
Аналогичные формулы для труб с сильно шероховатыми стенками получаются просто заменой т/О, на г( (ср. (42,!3)). Для закона сопротивления получим теперь вместо (43,3) формулу (43,7) Под знаком логарифма стоит теперь постоянная величина, не содержащая перепада давления, как это было в (43,3). Мы видим, что средняя скорость течения теперь просто пропорциональна квадратному корню из градиента давления в трубе. Если ввести коэффициент сопротивления, то формула (43,7) примет вид ПОГРАИИЧХЫИ СЛОЙ ггл.
1ч сматривалось течение вдоль стенки, площадь которой бесконечна. При течении же вдоль поверхности реальных конечных тел логарифмическим профилем обладает лишь движение на небольших расстояниях от поверхности — в пограничном слое. Толщина пограничного слоя растет вниз по течению вдоль обтекаемой поверхности (закон этого возрастания будет найден ниже). Это объясняет, почему при течении по трубе логарифмический профиль имеет место вдоль всего сечения трубы.
Толщина пограничного слоя у стенки трубы растет, начиная от входа в трубу. Уже на некотором конечном расстоянии от входа пограничный слой как бы заполняет собой все сечение трубы. Поэтому если рассматривать трубу как достаточно длинную и не интересоваться ее начальным участком, то течение во всем ее объеме будет того же типа, как.
и в турбулентном пограничном слое, Напомним, что аналогичное положение имеет место и для ламинарного течения по трубе. Оио всегда описывается формулой (!7,9); роль вязкости в ием проявляется на всех расстояниях от стенки и никогда не бывает ограничена тонким пристеночиым слоем жидкости. Падение средней скорости как в турбулентном, так и в ламинарном пограничном слое, обусловливается в конечном итоге вязкостью жидкости. Однако влияние вязкости проявляется в турбулентном пограничном слое очень своеобразно.
Самый ход изменения средней скорости в слое не зависит непосредственно от вязкости; вязкость входит в выражение для градиента скорости только в вязком подслое. Общая же толщина пограничного слоя определяется вязкостью и обращается в нуль вместе с ией (см. ниже). Если бы вязкость была в точности равна нулю, то никакого пограничного слоя вовсе не было бы.
Применим полученные, в предыдущем параграфе результаты к турбулентному пограничному слою, образующемуся при обтекании тонкой плоской пластинки, †так же, какое было рассмотрено в $ 39 для ламииарного течения. На границе турбулентного слоя скорость жидкости почти равна скорости су основного потока. С другой стороны, для определения этой скорости на границе мы можем (с логарифмической точностью) воспользоваться формулой (42,7), подставив в нее вместо у толщину пограничного слоя б').
Сравнив оба выражения, получим: (7 = — '1п — ' о, о,й (44,1) к, ч Здесь (7 играет роль постоянного параметра; толщина же Ь меняется вдоль пластинки, а вместе с ией является, следовательно, ') Фактически логарифмический профиль наблюдается не на всей тол-' шине пограничного слоя. Последние 20 — 25 те набора скорости иа его наружной стороне происходят быстрее, чем по логарифмическому закону. Этн отклонения связаны, по-видимому, с нерегулярными колебаниями границы слон (ср. сказанное в конце й 35 о границак турбулентных областей). ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ медленно меняющейся функцией от х и величина о,. Для определения этих функций формула (44,1) недостаточна; необходимо получить еще какое-нибудь соотношение, которое бы связывало ов ибсх.
Для этого воспользуемся теми же соображениями, с помощью которых была получена формула (37,3) для ширины турбулентного следа. Как и там, производная с(6/с(х должна быть порядка величины отношения скорости вдоль оси р на границе слоя к скорости вдоль оси х на той же границе. Вторая нз них — порядка К что же касается поперечной скорости, то она обязана пульсационному движению и потому — порядка 6„. Таким образом, я'б 6, д, й' откуда 6 Л й (44,2) 6 вя О = рп', (7 = — 1п — ' Вторая из иих получается подстановкой (44,2) в (44,1) и обладает логарифмической точностью.
Введем коэффициент сопротивления с (отнесенный к единице площади поверхности пластинки), определяемый как безразмерное отношение с= — „а — — 2~п') . (44,3) Тогда, исключая и„из двух написанных уравнений, получим следующее уравнение, определяющее (с логарифмической точностью) в неявном виде зависимость с от х: 2иа ул (п 611лю гчв (44,4) ') Строго говоря, расстояние л должно отсчитываться примерно от места перехода ламинарного слоя в турбулентный. Формулы (44,1) и (44,2)' определяют вместе зависимость о„и 6 от расстояния х '). Эта зависимость, однако, не может быть написана в явном виде. Ниже мы выразим 6 через некоторую вспомогательную величину. Но поскольку и, есть медленно меняющаяся функция от х, то уже из (44,2) видно, что толщина слоя меняется в основном пропорционально х.
Напомним, что толщина ламииарного пограничного слоя растет как хыа, т. е; медленнее, чем в турбулентном слое. Определим зависимость От х силы трения а, действующей на единицу плошади поверхности пластинки. Эта зависимость определяется двумя формулами: <гл. ш ПОГРАННЧНЫИ СЛОИ с с 'Ч 2 ' Подставив это в (44,2), находим: 6 = сопя! ° х т/с .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
