Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 56
Текст из файла (страница 56)
38 вешественная часть ю на этом от- резке не испытывает скачка. Для нахождения же функции э+ надо применить формулу Коши не к самой этой функции, а к произведению ю+(г)д(г), где причем при з х) а корень берется со знаком плюс. На отрезке (О,а) вещественной оси функция я(з) чисто мнимая и имеет разрыв: Х д(х+сО) = — я(х — сО)= — (,у— Ввиду этих свойств функции я(г) ясно, что мнимая часть произведения пса+ будет иметь на отрезке (О, а) разрыв, а вещественная часть будет непрерывна, подобно тому как это имеет место у функции са'. Поэтому в точности аналогично выводу формулы (48,5) получим: У (' 1~ (й) + ьс (А) са' (з)я(я) = — — „1 с, я($+сО)с$. о Собирая полученные выражения, найдем окончательно следующую формулу, определяющую распределение скоростей т зе! подъемная силА тОнкОРО кРылА вокруг тонкого крыла; О о а р — — (48,6) рзг е Вблизи закругленной передней кромки (т, е. при г- 0) это выражение, вообще говоря, обращается в бесконечность, что связано с непригодностью в этой области рассматриваемого при.
ближения. Вблизи же задней заостренной кромки (т. е. при з-+.а) первый член в (48„6) конечен; второй же член хотя, вообще говоря, и обращается в бесконечность, но лишь логариф. мическим Образом '). Эта логарифмическая особенность связана с характером принятого здесь приближения и исчезает при более точном рассмотрении; никакой же степенной расходимости, в согласии с условием Чаплыгина, на задней кромке не оказывается. Выполнение этого условия достигнуто соответствующим выбором использованной выше функции д(г). Формула (48,6) позволяет определить циркуляцию скорости Г вокруг профиля крыла.
Согласно Общему правилу (см. $ !О) Г определяется вычетом функции в'(г) относительно точки Е=О, являющейся ее простым полюсом. Искомый вычет легко определить как Коэффициент при 1/г в разложении функции ги'(з) по степеням 1/г вблизи бесноиечно удаленной точки: ащ à — = — + ° ° ° иа щг!а причем для Г получается простая формула е г =(/ ~ (~, '+ ~,'),~Г~,,(й. (48,7) о Отметим, что сюда входит только сумма Функций ~~ и гт. Можно сказать, что подъемная сила не изменится, если заменить тонкое крыло изогнутой пластинкой, форма которой задается функцией К~+ ьт)/2. Так, например, для крыла в виде плоской пластинки бесконечного размаха, наклоненной под малым углом атаки а, имеем ~, =Ьт= а(а — х), и формула (48,7) дает Г= — пгхаУ.
Коэффициент подъемной силы такого крыла равен - риГ Са =,( у, = 2гга. ') Эта расходимость отсутствует, если вблизи задней кромки й и (з обращакгтся в иуль как (а — х)", й ~ 1, т.е. если угловая точка контура у зад. иего его края есть точка возврата. ГЛАВА Ч ТЕПЛОНРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ 5 49. Общее уравнение переноса тепла В конце $2 было указано, что полная система гидродинамических уравнений должна содержать пять уравнений. Для жидкости, в которой имеют место процессы теплопроводностн и внутреннего трения, одним из этих уравнений является по-прежнему уравнение непрерывности; уравнения Эйлера заменяются уравнениями Навье — Стокса.
Что же касается пятого уравнения, то для идеальной жидкости им является уравнение сохранения энтропии (2,6), В вязкой жидкости это уравнение, разумеется, не имеет места, поскольку в ней происходят необратимые процессы диссипации энергии. В идеальной жидкости закон сохранения энергии выражается уравнением (6,1): — ( — + ре) = — Йч~ рч ( — + ю) ). Слева стоит скорость изменения энергии единицы объема жидкости, а справа — дивергенция плотности потока энергии. В вязкой жидкости закон сохранения энергии, конечно, тоже имеет место: изменение полной энергии жидкости в некотором объеме (в 1 сек.) должно быть по-прежнему равно полному потоку энергии через границы этого объема, Однако, плотность потока энергии выглядит теперь иным образом.
Прежде всего помимо потока рч (о92+ в), связанного с простым переносом массы жидкости при ее движении, имеется еще поток„связанный с процессами внутреннего тренин. Этот второй поток выражается вектором — (ча') с компонентами п,.о',. (см. ~ 16). Этим, однако, не исчерпываются все дополнительные члены в потоке энергии. Если температура жидкости не постоянна вдоль ее объема, то наряду с обоими указанными механизмами переноса энергии будет происходить перенос тепла также и посредством так называемой теплопроводносги. Под этим подразумевается непосредственный молекулярный перенос энергии из мест с более высокой в места с более низкой температурой.
Ок не связан с макроскопическим движением и происходит также и в неподвижной жидкости. Обозначим через и плотность потока тепла, переносимого посредством теплопроводыости. Поток и связан некоторым обра- 271 Озшсе уРАВненне пеРенОЕА теплА зом с изменением температуры вдоль жидкости. Эту зависимость можно написать сразу в тех случаях, когда градиент температуры в жидкости не слишком велик; практически в явлениях теплопроводности мы почти всегда имеем дело именно с такими случаями. Мы можем тогда разложить 21 в ряд по степеням градиента температуры, ограничившись первыми членами разложения.
Постоянный член в этом разложении, очевидно, исчезает, поскольку 21 должно обращаться в нуль вместе с ЧТ. Таким образом, получаем: (49,1) и = — хЧТ. Постоянная х называется теплопроаодносгью. Она всегда положительна,— зто видно уже из того, что поток энергии должен быть направлен из мест с более высокой в места с более низкой температурой, т. е.
о и ЧТ должны иметь противоположные направления. Коэффициент х является, вообще говоря, функцией температуры и давления. Таким образом, полная плотность потока энергии в жидкости при наличии вязкости и теплопроводности равна сумме рч ( — ",' + ш) — (ча) — х ЧТ. Соответственно этому общий закон сохранения энергии выра- жается уравнением — ( — + Ре) = — б'ч '(Рч ( — + и) — (ча') — хЧТ~'. (49,2) Это уравнение можно было бы выбрать в качестве последнего из полной системы гидродинамических уравнений вязкой жидкости.
Удобно, однако, придать ему другой вид, преобразовав его с помощью уравнений движении, Для этого вычислим производную по времени от энергии единицы объема жидкости, исходя из уравнений движения. Имеем: Д / РР2 Х 22 ДР Дч дв Др — 1 — + Ре) = — — +чр — + р — +е —. Дг ~ 2 ) 2 д1 д1 д1 д1 ' Подставляя сюда др/дг из уравнения непрерывности и дч/д( из уравнения Навье — Стокса, получим: Д Ре ~ е -„( —, )---, 2 ,2 О 2 ДЕ;2 Д1 2 +Ре)= 2 б1чРч Р(УЧ) 2 чЧР+ п2 д + де + р — — ей!ч рч.
д1 Воспользуемся теперь термодинамическим соотношением де = Т 2(з — р 2(У Т г(з + — 2 2(р, таплопроводность в жидкости 272 откуда — = Т вЂ” + — — = Т вЂ” — — йт (рт). ' дв дв р др дв р дв д~ рв да д1 р~ Подставляя это и вводя тепловую функцию ш = в+ р/р, нахо- дим: в — ~ — + рв ) = — ( ш + — ) йч (Рт) — Р (чЧ) 2 — тЧР + д1~2х~ 2) Р дв др~в +РТ вЂ” + о~ —. дГ дх» ' Далее, из термодинамического соотношения йр = Тбз+с(р/р имеем: Чр = РЧш — РТЧг. дам д,, дв,, дв, о — = — (р о' ) — а' — = йт(то') — о' —. дх дх ( ~ 1В) ~В дх ~вдх в в х в Подставляя эти выражения, прибавляя и вычитая йт(кЧТ), получим: — ( 2 +Рв)= — йч~рт( 2 +ш) — (то') — нЧТ~~+ + РТ (д~ + кЧз) — ом д„— йт(иЧТ).
(49,3) Сравнив зто выражение для производной от энергии единицы объема с выражением (49,2), получим следующее уравнение: РТ (++ т Чз) =о'„—,' + йч(нЧТ). (49,4) Мы будем называть это уравнение общим уравнением переноса тепла. При отсутствии вязкости и теплопроводиостн его правая сторона обращается в нуль и получается уравнение сохранения энтропии (2,6) идеальной жидкости. Нужно обратить внимание на следующее истолкование уравнения (49,4). Стоящее слева выражение есть не что иное, как умноженная на РТ полная производная от энтропии по времени дз/от. Последняя определяет изменение энтропии данной передвигающейся в пространстве единицы массы жидкости; Тдз/па есть, следовательно, количество тепла, получаемого этой единицей массы в единицу времени, а РТс(з/Ж вЂ” количество тепла, отнесенное к единице объема.
Из (49,4) мы видим поэтому, что Последний же член в правой стороне равенства можно написать в виде Оашее уРАВнение пеРенОсА теплА 223 количество тепла, получаемого единицей объема жидкости, есть до — + б (мат). Первый член здесь представляет собой энергию, диссипируемую в виде тепла благодаря вязкости, а второй есть тепло, приносимое в рассматриваемый объем посредством теплопроводности. Раскроем первый член в правой стопове уравнения (49,4), подставив в него выражение (15,3) для о,». Имеем: до ди Г до ди 2 ди ~ до дои 1А дхо дх ( дх дх~ 3 ~А дх~ ) дхх ~А дх Легко проверить, что первый член может быть написан в виде р /ди до 2 до ~х Г О х А 2 ~,дхх + дх 3 дх ) ' а во втором имеем: ди дио дии дои 9 — ' б,о — = ~ — — ~ ~(ЙЬ ч)т.
дхо дх дх дх Таким образом, уравнение (49,4) приобретает вид /дх Ч Тди~ до 2 до,~о рт~( — + УЧу=б(тут) + — ~~ — + — ' — — б„— ) + Ь )= 2 ~дх дх~ 3 дхг) + ~ (Йч ч)х. (49,5) В результате необратимых процессов теплопроводности и внутреннего трения энтропия жидкости возрастает. Речь идет при этом, конечно, не об энтропии каждого элемента объема жидкости в отдельности, а о полной энтропии всей жидкости, равной интегралу ~ рз пУ.
Изменение энтропии в единицу времени определяется производной до~~ ~ дг С помощью уравнения непрерывности и уравнения (49,5) имеем: — й — = р — + 3 — = — з б1 У рт — рт рз + — б 1У (н 7Т) + д( х) дх др 1 дг дг дг Т Ч /до ди 2 до~~о 4 + ~ + — бм ) + (о!ч У) 2Т~дхо дх 3 д» ) Т Первые два члена дают в сумме — б!у(рзи). Интеграл по объему От этого члена преобразуется в интеграл от потока энтропии рзу по поверхности. Рассматривая неограниченный объем жидкости, (гл.
ч твплопговодность в жидкости 274 покоящейся на бесконечности, мы можем стремить граничную поверхность на бесконечность; тогда подынтегральное выражение в поверхностном интеграле обращается в нуль и интеграл исчезает. Интеграл от третьего члена преобразуется следующим образом: 1 иЧТ Г и(ЧТ)' ~ Т 61ьч(кЧТ)<Я =~6)ч( Т ) (Ч+) Т Считая, что температура жидкости на бесконечности достаточно быстро стремится к постоянному пределу, преобразуем первый интеграл в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, на которой ЧТ = О, так что интеграл тоже исчезает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
