Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Одновременно повышается температура в окружающем пространстве, причем область заметно отличной от нуля температуры постепенно расширяется (рис. 39). Ход этого расширении определяется в основном экспоненциальным множителем в (51,5): порядок величины 1 размеров этой области дается (51,5) Эта формула полностью решает поставленную задачу, определяя распределение температуры в любой момент времени по ее заданному распределению в начальный момент. Если начальное распределение температуры зависит только От одной координаты х, то, произведя в (51,2) интегрирование по з(у'з(г', получим: 8 нн теплопеовопность В неОГРАниченноп сеенв 283 выражением (51,6) т.
е. растет пропорционально коршо из времени. Аналогично, если в начальный момент времени конечное количество тепла сконцентрировано в плоскости х= О, то в последующее время распределение температуры определится формулой Т (х, 1) = сопз1 ! е-"ч"х'. (51,7) 2 (як!) ~'ч г гугх Формулу (51,6) можно истолковать с несколько иной точки зрения, Пусть есть порядок величины размеров тела. Тогда можно утверждать, что если это тело было неравномерно нагрето, то порядок величины времени т, н течение которого температуры в разных точках тела заметно выравнятся, равен т - (н/Х.
(51,8) Время т, которое можно назвать временем релаксации для процесса теплопроводности, пропорционально квадрату размеров тела и обратно пропорционально коэффициенту температуропроводности. Процесс теплопроводности, описываемый полученными здесь формулами, обладает тем свойством, что влияние вся- Рнс. 39 кого теплового возмущения распространяется мгновенно иа все пространство. Так, из формулы (51,5) видно, что тепло из точечного источника распространяется так, что уже в следу!ощнй момент времени температура среды обращается в нуль лишь асимптотически на бесконечности.
Это свойство сохраняется и для среды с зависящей от температуры температуропроводностью т, если только эта зависимость не приводит к обращению т в нуль в какой-либо области пространства. Если же у есть функция температуры, убывающая и обращающаяся в нуль вместе с нею, то это приводит к такому замедлению процесса распространения тепла, в результате которого влияние любого теплового возмущения будет простираться в каждый момент времени лишь на некоторую конечную область пространства; речь идет о распространении тепла в среду, температуру которой (вне области влияния) можно считать равной нулю (Я. Б.
Зельдович, А. С. Компанеец, 1950; им жв принадлежит решение приведенных ниже задач). тпплопповодность в жидкости (гл, о 284 Задачи 1. Теплоемкосгь и теплопроводность среды — степенные функции темпе. ратуры, а ее плотность постоянна. Определить закон обращения температуры в нуль вблизи границы области, до которой в данный момент распространилось тепло из некоторого произвольного источника; вие этой области температура равна нулю. Решение.
Если и и с, — степенные функции температуры, то то же самое относится к температуропроводности т н к тепловой функции ю = ~ сл НТ (постоянный член в и опускаем). Поэтому можно написать )(=айу", где посредством ОГ рю мы обозначили тепловую функцию единицы объема среды. Тогда уравнение теплопроводности рср — — — б!ч (кгТ) дТ дг приобретет вид — а б(ч (йуз()йг).
дйг д( (П В течение небольшого интервала времени малый участок границы можно считать плоским, а скорость его перемещения в простракстве о — постоянной. Соответственно этому ищем решение уравнения (1) в виде йг = 27(х — о(), где х — координата в перпендикулярном к границе направлении, Имеем: (2) откуда после двукратного интегрирования находим следующий закон обращения ЧГ в иулзн йу ( „)пя (3) где (х( — расстояние от границы нагретой области. В то же время этим под. тверждается вывод о пали нн границы нагретой области (вне которой 27, а с ней и Т равны нулю), если показатель л ) О.
Если л ( О, то уравнение (2) ие имеет решений, обращающихся в нуль на конечном расстоянии, т. е. тепло распределено в каждый момент по всему пространству. 2. В той же среде в начальный момент времени в плоскости х = О сконцентрировано количество тепла, равное (будучи отнесено к единице площади) (), а в остальном пространстве Т = О. Определить.
распределение температуры в последующие моменты врсыеии. Р е ше и не. В одномерном случае уравнение (1) гласит: (4) (()л, 1)1/(э+з) (() и а имеют размерность соответственно эрг/смз и см%ек (смз(эрг)") Поэтому искомаи функция йг(х,() должна иметь вид (О) Из имеющихся в нашем распоряжения параметров Я и о и переменных х, 1 можно составить лишь одну безразмерную комбинацию: теплОпРОВОлнОсть В ОГРАниченнОЙ среде $521 (2 + л) — !Х/" — ) + Š— + / = О. лг и/ч лй ~ лй,) й Это уравнение в полных производных имеет простое решение, удовлетворяю- шее условиям задачи: /(и =1„," ., (й'-к')Х' (7) где $о — постоянная интегрирования.
При л ) О эта формула дает распределение температуры в области между границами к = ~хо, определяющимися равенством $ = ~$а', вне этих границ Я' = О. Отсюда следует, что границы нагретой области расшириются со временем по закову хо сопв1 !Ш'4"'. Постоянная $о определяется условием постоянства полного количества тепла: лг ()- ~ й лх-г) ~/алй, (8) -лг откуда получается Глг! 1з (2+л)~+л2~-л "(-2+-/~ во+я о (9) ля Г" (1/л) При л = — т ( 0 напишем решение в виде ),2(2 — т) т ' /) (10) Здесь тепло распределено по всему пространству, причем на больших рас.
стояниях йг убывает во степенному закону: В' — х '". Это решение применимо лишь при ч ( 2; при т ~ 2 нормировочный интеграл (8) (который берется теперь в пределах а:сл) расходится, что физически означает мгновеи. ный уход тепла на бесконечное расстояние. Прн ч ( 2 постоянная Еч в (10) равна '! 1') 2 ч 2(2 — т)н чч 2l йо '— (Н) Гч (1/ч) Наконец, при л- 0 имеем во-ь2/З/л и решение, определяемое формулами (5-7), дает л-ьо ч 2 З/яат 'ч 4агг' 1 2 ч/па! в согласии с формулой (51,7). й 52. Теплопроводность в ограниченной среде В задачах о теплопроводности в ограниченной среде задание начального распределения температуры недостаточно для однозначности решения, и необходимо еще задание краевых условий на ограничивающей среду поверхности.
где безразмерная функция /(в) умножена на величину, имеющую размерность эрг/см'. После этой подстановки уравнение (4) дает ~гл. ч теплопооводность В жидкОсти гвв Рассмотрим теплопроводность в полупространстве (х ) 0) и начнем со случая, когда на граничной поверхности х = 0 поддерживается заданная постоянная температура. Эту температуру мы примем условно за нуль, т.
е. будем отсчитывать от нее температуру в других точках среды. В начальный момент времени по-прежнему задано распределение температуры во всей среде. Таким образом, граничные и начальные условия гласят: Т = 0 при х = 0; Т =То(х, у, г) при 1 = О, х ) О. (52,!) Решение уравнения теплопроводности с этими условиями можно свести к решению того же уравнения для среды, не ограниченной в обоих направлениях оси х, при помаши следующего искусственного приема.
Представим себе, что среда распространяется и по левую сторону от плоскости х = О, причем в начальный момент времени распределение температуры в этой части среды описывается той же функцией Т,, но только взятой с обратным знаком. Другими словами, в начальный момент времени распределение температуры во всем пространстве описывается некоторой функцией, нечетной по переменной х, т. е. такой, что (52,2) Т,( — х, д, г) = — То (х, у, г). Из равенства (52,2) следует, что Т,(0, у, г)= — То(0, у,г)= О, т.
е. требуемое граничное условие (52,1) автоматически выполнено в начальный момент времени, и из симметргк условий задачи очевидно, что оно будет выполнено и во всякий другой момент времени. Таким образом, задача свелась к решению уравнения (50,4) в неограниченной среде с начальной функцией Т,(х, д, г), удовлетворяющей (52,2), и без какого бы то ни было граничного условия. Поэтому мы можем воспользоваться общей формулой (51,2) .
Разобьем в (51,2) область интегрирования по Ых' на две части: от — о до 0 и от 0 до оо, и воспользуемся соотношением (52,2). Мы получим тогда: М Т(г, 1)= „, ~~ ~ То(г') ехр~ — ~ " ~Х о Х (ехр ( 4 ~ ехр( — 4 Цдх Ну о(г . (52,3) Эта формула полностью решает поставленную задачу, опреде- ляя температуру во всей среде.
теплОпРОВОдность В ОГРАниченнои сРеде 287 % еп Если начальное распределение температуры зависит только от х, то формула (52,3) принимает вид В качестве примера рассмотрим случай, когда в начальный момент везде, кроме х = О, температура равна заданной постоянной величине, которую, не ограничивая общности, можно положить равной — 1; температура же на плоскости х = О все время равна нулю Соответствующее решение получается непосредственно подстановкой Те(х) = — 1 в (52,4).
Разобьем интеграл в (52,4) на два интеграла н в каждом из них произведем замену переменных типа Тогда мы получим для Т(х, 1) следующее выражение; Т(х, 1) = — ~ег1( — ) — ег1( Л, где функция ег(х определяется как к ег1 х = = ~ е-и и'$ 2 ч/и (52,5) и называется интегралом ошибок (заметим, что ег1(СО) = 1).
Поскольку ег1( — х) = — ег1 (х), то мы получаем окончательно: (52,6) На рис. 40 изображен график функции ег1 $. С течением времени распределение температуры по пространству все более сглаживается. Это сглаживание происходит таким образом, что каждое заданное значение температуры перемещается вправо пропорционально ч~У. Последний результат, впрочем, заранее очевиден. Действительно, рассматриваемая задача определяется всего одним параметром — начальной разностью температур Те граничной плоскости и остального пространства (положенной выше условно равной единице). Из имеющихся в нашем распоряжении параметров Т, и т и переменных х и 1 можно составить Т(х, Г) =,, ~ Те(х')~ехр(— о — ехр ( — ~] г(х'. (52,4) )гл.
н твплопговодность в жидкости всего одну безразмерную комбинацию х/ч/9; поэтому ясно, что искомое распределение температуры должно определяться функцией вида Т= Тс) (х/~/)У). Рассмотрим теперь случай, когда граничная поверхности среды теплоизолирована. Другими словами, иа плоскости х=О йв а д,4 д,а ),г Рд а,д Рис. 40 тепловой поток должен отсутствовать, т. е. должно быть дТ/дх= О. Таким образом, имеем теперь следующие граничные и начальные условия: — =0 при х=О; Т=Тс(х, у> а) при о=О, х) О. (52>7) дТ Для нахождения решения поступим аналогично тому, как мы делали в предыдущем случае.
Именно, опять представим себе среду неограниченной в обе стороны от плоскости х = О. Распределение же температуры в начальный момент времени представим себе теперь симметричным относительно плоскости х = О. Другими словами, функцию Тс(х, у, г) предположим теперь четной по переменной х: Тс( — х, у, а) = Т, (х, у, а). (52,8) Тогда дТо (х, у, х) дТо ( — х, у, х) дх дх и при х = 0 будет дТс/дх=О. Из симметрии очевидно, что это условие автоматически будет выполнено и во все последующие моменты времени. Повторив произведенные выше вычисления, но используя при этом (52,8) вместо (52,2), найдем, что общее решение поставленной задачи дается формулами, отличающимися от (52,3) или (52,4) лишь тем, что вместо разности двух членов в квадратных скобках стоит их сумма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
