Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Приведем в качестве примера значения Р при 20'С для ряда веществ: воздух....... 0,733 вода........ 6,76 спирт....... 16,6 глнцгрни...... 7260 ртуть .. °.... 0,044 Подобно тому как было сделано в $19, мы можем теперь заключить, что в стационарном конвекционном потоке (заданного типа) распределение температуры и скорости имеет внд =7'( —, ц, Р), — =$ ( —, ц).
(53,5) Безразмерная функция, определяющая распределение температуры, зависит как от параметров от обоих чисел м и Р; распределение же скоростей — только от числа К, поскольку оно определяется уравнениями (53,3), в которые теплопроводность не входит вовсе. Два конвекционных потока подобны, если нх числа Рейнольдса и Прандтля одинаковы.
Теплопередачу между твердыми телами и жидкостью характеризуют обычно так называемым коэффициентом теплопередачи а, определяемым как отношение и = (53,6) где а — плотность потока тепла через поверхность тела, а Т,— — Тз †характерн разность температур твердого тела и жидкости, Если распределение температуры в жидкости известно, то коэффициент теплопередачи легко определить, вычисляя плотность потока тепла д = — хдТ/дп на границе жидкости (производная берется по нормали к поверхности тела).
Коэффициент теплопередачи является размерной величиной. В качестве безразмерной величины, характеризующей теплопередачу, пользуются числом Нуссельга Х = а(/х. (53,7)' Из соображений подобия следует, что для каждого данного типа конвекционного движения число Нуссельта является определенной функцией только от чисел Рейнольдса и Прандтля: )Ц = ~(й, Р). (53,8) Эта функция приобретает тривиальный вид при конвекции с достаточно малыми числами Рейнольдса. Малым м соответ- ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 293 стзуют малые скорости движения. Поэтому в первом приближении в уравнении (53,2) можно пренебречь членом, содержащим скорость, так что распределение температуры определяетсяуразнением (АТ= О, т.
е. обычным уравнением стационарной тепло. проводности в неподвижной среде. Коэффициент теплопередачи не может, очевидно, зависеть теперь ни от скорости, ни от вязкости жидкости и потому должно быть просто (т) = СОПЗ(, (53,9) причем при вычислении этой постоянной можно рассматривать жидкость как неподвижную. Задача Определить распределение температуры в жидкости, совершающей пуазейлевское течение по трубе кругового сечения, температура стенки которой меняется вдоль длины трубы по линейному закону.
Решение. Условия течения одинаковы во всех сечениях трубьг, и распределение температуры можно искать в виде Т Аа+!(г), где Ат — температура стенки (выбраны цилиндрические координаты с осью и по осн трубы). Для скорости имеем согласно (17,9) ое о 26(! — — ), л*> где б — средняя скорость. Подставляя зто в (33,2), находим уравнение — — (г — ) — [1 — ( — ) ~. ешение этого уравнения, не имеющее особенностей прн г О и удовлетвояницее условию ( = О при г = )с, есть дАЯ'[3 (г )т 1 (г)41 Плотность потока тепла дТ! 1 Ч = и — ~ = — рсрб)(А.
дг (г Л 2 Она не зависит от теплопроводиостн. й 54. Теплопередача в пограничном слое Распределение температуры в жидкости при очень больших числах Рейнольдса обнаруживает особенности, аналогичные тем, которыми обладает и само распределение скоростей. Очень большие значения !с эквивалентны очень малой вязкости. Но поскольку число Р =и/)( не бывает очень малым, то вместе с и должен рассматриваться как малый и коэффициент температуропроводности у. Это соответствует тому, что прн достаточно больших скоростях движения жидкость может приближенно рассматриваться как идеальная, — в идеальной жидкости здв ггл. ч ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ должны отсутствовать как процессы внутреннего трения, так и процессы теплопроводности.
Такое рассмотрение, однако, опять будет неприменимо в пристеночном слое жидкости, поскольку при нем не будут выполняться иа поверхности тела ни граничное условие прилипаиия, ни условие одинаковости температур жидкости и тела. В результате в пограничном слое происходит наряду с быстрым падением скорости также и быстрое изменение температуры жидкости до значения, равного температуре поверхности твердого тела. Пограничный слой характеризуется наличием в нем больших градиентов как скорости, так и температуры. Что касается распределения температуры в основном объеме жидкости, то легко видеть, что при обтекании нагретого тела (при больших )х) нагревание жидкости будет происходить практически только в области следа, между тем как вне следа температура жидкости не изменится.
Действительно, при очень больших ут процессы теплопроводности в основном потоке не играют практически никакой роли. Поэтому температура изменится только в тех местах пространства, в которые попадает при своем движении нагретая в пограничном слое жидкость. Но мы знаем (см. 3 35), что из пограничного слоя линии тока выходят в область основного потока только за линией отрыва, где оии попадают в область турбулентного следа.
Из области >ке следа линии тока в окружающее пространство уже не выходят. Таким образом, текущая мимо поверхности нагретого тела в пограничном слое жидкость попадает целиком в область следа, в котором и остается. Мы видим, что тепло оказывается распределенным в тех же областях, в которых имеется отличная от нуля завихренность. Внутри самой турбулентной области происходит интенсивный теплообмеи, обусловленный сильным перемешиваннем жидкости, которое характерно для всякого турбулентного движения, Такой механизм теплопередачи можно назвать турбулентной температуропроводностью и характеризовать соответствующим коэффициентом у,уре, подобно тому как мы ввели понятие о коэффициенте турбулентной вязкости н,уре (3 ЗЗ).
По порядку величины коэффициент турбулентной тенператиропроводности определяется такой же формулой, как и чууре (33,2): т,уре (Ьи. Таким образом, процессы теплопередачи в ламинарном и турбулентном потоках являются принципиально различнымн. В предельном случае сколь угодно малых вязкости и теплоцроводности в ламинарном потоке процессы теплопередачи вообще отсутствуют и температура жидкости в каждом месте пространства не меняется. Напротив, в турбулентно движущейся жидкости в том же предельном случае теплопередача происходит и приводит ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 29т к быстрому выравниванию температуры в различных участках потока.
Рассмотрим сначала теплопередачу в ламинарном пограничном слое. Уравнения движения (39,13) сохраняют свой вид. Аналогичное упрощение должно быть произведено теперь и для уравнения (53,2). Написанное в раскрытом виде это уравнение имеет вид (все величины не зависят от координаты з): В правой его части можно пренебречь производной д'Т/дх' по сравнению с дАТ/ду', так что остается ат ат а т (54,1) Из сравнения этого уравнения с первым из уравнений (39,13) ясно, что если число Прандтля — порядка единицы, то порядок величины б толщины слоя, в котором происходит падение скорости о и изменение температуры Т, будет по-прежнему определяться полученными в $ 39 формулами, т. е.
будет обратно пропорционален 1/К. Поток тепла дт т1 — то д= — и — „и дп Поэтому мы приходим к результату, что д, а вместе с ним и число Нуссельта, прямо пропорционально т/К. Зависимость же Х от Р остается неопределенной. Таким образом, получаем: )4= 1/К~(Р). (54,2) Отсюда, в частности, следует, что коэффициент теплопередачи а обратно пропорционален корню из размеров 1 тела, Перейдем теперь к теплопередаче в турбулентном пограничном слое.
При этом удобно, как и в 9 42, рассмотреть бесконечный плоскопараллельный турбулентный поток, текущий вдоль бесконечной плоской поверхности. Поперечный градиент температуры ОТ/Г(у в таком потоке может быть определен из таких же соображений размерности, какие были использованы для нахождения градиента скорости г(и/Г(у. Обозначим посредством у плотность потока тепла вдоль оси у, вызванного наличием градиента температуры.
Этот поток является такой же постоянной (не зависящей от у) величиной, какой является поток импульса О, и наряду с ним может рассматриваться как заданный параметр, определяющий свойства потока. Кроме того, мы имеем теперь в качестве параметров плотность р н теплоемкость с„единицы массы жидкости. Вместо О введем в качестве параметра величину О,; д и ЕР Обладают размерностями соответственно эрг/с см' г/с' и эрг/г град = см'/с'град. Что касается ~гл, и тпплопроводность в жидкости 298 коэффициентов вязкости и теплопроводности, то они при достаточно больших ц не могут входить в с(Т/с(у явно. В силу упоминавшейся уже в $53 однородности уравнений по температуре можно изменить температуру в любое число раз без того, чтобы нарушить уравнения.
Но при изменении температуры должен во столько же раз измениться и поток тепла. Поэтому д и Т должны быть пропорциональны друг другу. Но из д, а„, р, ср и д можно составить всего только одну величину, которая имеет размерность град/см и в то же время пропорциональна д. Такой величиной является фрсрп,у. Поэтому должно быть дт ду ) рсрме„у где р есть числовая постоянная, которая должна быть опреде- лена экспериментально'). Отсюда имеем: (54,3) Т = (1 „(1п у+ с). Таким образом, температура, как и скорость, распределена по логарифмическому закону. Входящая сюда постоянная интегрирования с, как и прн выводе (42,7), должна быть определена из условий в вязком подслое, Полная разность между температурой жидкости в данной точке и температурой стенки (которую мы принимаем условно за нуль) складывается из падения температуры в турбулентном слое и ее падения в вязком подслое.
Логарифмическим законом (54,3) определяется только первое из них. Поэтому, если написать (54,3) в виде Т= (1 ~, ((п У +сопи(), введя под знаком логарифма множителем толщину уб, то сопз( (умножениая иа множитель, стоящий перед скобкой) должна представлять собой изменение температуры в вязком подслое. Это изменение зависит, конечно, и от коэффициентов т и Х. Поскольку сопа1 есть величина безразмерная, то она должна иметь вид некоторой функции от числа Р, являющегося единственной безразмерной комбинацией, которую можно составить из имеющихсЯ в нашем РаспоРЯжении величин т, Х, Р, а„ср '1 Здесь и — постоянная Кармана, входящая в логарифмический профиль скоростей (42,4). При таком определении р есть отношение 8 т„,е/Х,ее, где т,утб и Хтурб — коэффициенты в соотношениях дг ди Ч РсрХтурб о Рттурб ду ' ду ' теплопеРЕДАчА В ПОГРАничнОМ СЛОЕ (что касается потока тепла д, то он не может входить в сопз1, поскольку Т должно быть пропорционально в, а в входит уже в множитель перед скобкой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
