Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 64
Текст из файла (страница 64)
(3) Ь~~ Тогда последнее из уравнений (1) дает: тС|!4 '»= (4хй)Н4 (а'Р а первые два дают уравнения для функций ф($) и 8($): ю'"+ Зрф" — й~р'~+ 8=0, 8" + Зри8' О. (4) Из (3 — 4) следует, что толщина пограничного слоя б (хйз)С)г!'. Условие применимости решения, б ~ Ь, выполняется при достаточно больших иначе. пнях С. Полный поток тепла (отнесенный к единице плошади стенки) 1 Г дТ1 4к г С ч!!4 — — — д = — — 0' (О; Р) (т, — т,) ( — ) Ьа ду(» е 3 'ч4Ьх о Число Нуссельта й( = 1(Р) С'гь, где функция !(Р) определяется решением уравнений (4).
2. Горячая турбулеитнзя затопленная струя газа изгибается под илнянием поля тяжести; требуется определить ее форму (Г. Н. Абрамович, 1938). Решение. Пусть Т' — некоторое среднее (по сечению струи) значение разности температур в струе и в окружающем газе, и — некоторое среднее значение скорости газа в струе, а ! — расстояние вдоль струн от точки ее вмхода (! предполагается большим по сравнению с размерамн выходного отверстия струн). Условие постоянства потока тепла !4 вдоль стРуи гласитг 'м' усат'пКз = сопя(, Р еще а ие.
Выбираем начало координат иа нижнем краю стенки, ось х — вертикально в ее плоскости, а ось у — перпендикулярно стенке. В погра- ничном слое давление не меняется вдоль оси у (ср. 5 39) и потому везде равно гидростатическому давлению ра(х), так что р' = О. С обычяой длв пограничного слоя точностью уравнения (56,6 — 8) принимают вид дох дсх дгех .— +о» вЂ” =, +уВ(т-тс), дх ду ду' дТ дТ д'Т (1) е„— + о — )( —,, " дх " ду ду' ' 3!О тнплопроводиость в жидкости !гл. ч а поскольку радиус турбулентной струи пропорционален 1 (ср. 6 36), то Т'иР Сопз1 Я (1) рср '(заметим, что без учета поля тяжести исс1/! — см.
(36,3) — и из (1) следует, что Т' се !!1), Вектор потока импульса через поперечное сечение струн пропорционален ри%эп риизп (п — единичный вектор вдоль направления струи). Его горизонтальная составляющая постоянна вдоль струи: ИЧэ соз О сопят !2) Поэтому имеем: — (!'и' з!п О) Ы ОаО д! рсри ' !3) Ввиду (2) отсюда следует соп51 I '~/соз О, д(36 Ж откупа окончательно з сопз1 ° 1' НО «оз О)ьгз (4) (Оь определяет направление струи в точке ее выхода). В частности, если иа всем протяжении струн изменение угла О незначительно, то (4) дает Π— О,= 1 ° Р. Это значит, что струя имеет форму кубической параболы, в которой откло. пенне и от прямоугольной траектории й = сопя! ° Р.
3. От неподвижного горячего тела поднимается вверх турбулентная (число Рэлея велико) струя нагретого газа. Определить закон изменения скорости и температуры струн с высотой (Я. Б. Зельдович, 1937). Решение. Как и в предыдущем случае, радиус струн пропорционален расстоянию от источника, я аналогично (1) имеем: Т и2э = соп51, а вместо (3) Ы сопя! — (22И ) =— дя и (2 — высота пад телом, предполагающаяся большой по сравнению с его раз. мерами). Интегрируя последнее уравнение, найдем: и сл 2 а дли температуры соответственно 7 — з/3 (Π— угол между и и горизонталью), а изменение вертикальной компоненты определяется действующей иа струю подъемной силой.
Последняя пропорциональна рйт'Б й- рйт ! й т ° з ))31) 1 ср и' ЗП конпективняя неустойчивость 4. То же для ламинарной свободной восходящей конвективной струн (Я. Б. Зельдович, 1937). Р е ш е н и е. Наряду с соотношением Т'ир.' сопя(, выражающим постоянство потока тепла, имеем соотношение иЦя ти)мт ЯТ вытекающее иа уравнения (66,6).
Иэ этих соотношений находим следующие законы изменения радиуса, скорости н температуры струи с высотой; )с со 'т/я, и сопят, Т со 1/я, Заметим, что число Я т )(а чуя растет с высотой; поэтому на некоторой высоте струя становится турбу- лентной. й 57. Конвективная неустойчивость'неподвижной жидкости Если в заданной конфигурации жидкости и твердых стенок постепенно увеличивать число Рэлея, то наступит момент, когда состояние покоя жидкости становится неустойчивым по отношению к сколь угодно малым возмущениям '). В результате возникает конвекция, причем переход от режима чистой теплопроводности в неподвижной жидкости к конвективному режиму совершается непрерывным образом.
Поэтому зависимость числа Нуссельта от Я при этом переходе не испытывает скачка, а лишь излом. Теоретическое определение критического значения Яяр должно производиться по схеме, уже объясненной в $ 25. Повторим ее здесь применительно к данному случаю. Представим Т' и р' в виде =То+я~ Р =Ре+рш. (57;1) где Т' и р' относятся к неподвижной жидкости, а т и тп — воза о, мущение. Т' н р' удовлетворяют уравнениям и'Т, 'др,' ТАТ' = —, = 0, — = рй()Т',, Из первого имеем 7 = — Аг, где А — постоянная; в интересуюе щем нас случае подогрева жидкости снизу эта постоянная А)0, В уравнениях (56А — 5) малыми величинами являются у (не- возмущенная скорость отсутствует), т и тп, Опустив квадратнч- ') Не смешивать эту неустойчивость с конвектнвной неустойчивостью, о которой шла речь в $28! ТВПЛОПРОВОДИОСТЬ В ЖИДКОСТИ З19 1ГЛ.
Ч ные члены и рассматривая возмущения, зависящие от времени как е-™, получим уравнения: — гюч = — тгго+ чгхч — ~тй, — (шт — Ао,=ХАТ, с))чч= О. Целесообразно записать эти уравнения в безразмерном виде, введя следующие единицы измерения всех фигурирующих в них величин: для длины, частоты, скорости, давления и температуры это будут соответственно й, и/йа, и/й, рча/ЬЯ и Айч/)1. Ниже в этом параграфе (а также в задачах к нему) все буквы обозначают соответствующие безразмерные величины. Уравнения принимают вид: — ивч = — т1го + Лч+ Ятп, — )твтР=ЛТ+ о„ с))чч =О (57,2) (57,3) (57,4) ч=О, (57,5) Уравнения (57,2 — 4) с граничными условиями (57,5) определяют спектр собственных частот ш. При Я ( Я„р их мнимые части у — = 1тю ( О и возмущения затухают.
Значение Я,р определяется моментом, когда (по мере увеличения Я) впервые появляется собственное значение частоты с у ) О; при Я = Я„ значение у проходит через нуль. Задача о конвективной неустойчивости неподвижной жидкости обладает той спецификой, что все собственные значения 1ш вещественны, так что возмущения затухают или усиливаются монотонно, без колебаний.
Соответственно, и возникающее в результате неустойчивости неподвижной жидкости устойчивое движение стационарно. Покажем это для жидкости, заполняющей замкнутую полость, с граничными условиями (57,5) на се стенках '). ') Мы рассматриваем простейшие грани шые условия, отиечающие идеально теплопроводящим стенкам.
При конечной теплопроводности стенок к системе уравнений должно было бы быть добавлено еще и уравнение распространения тепла в стенке. Мы не рассматриваем также случаев, когда ксидкость имеет свободную поверхность. В таких случаях, строго говоря, должна была бы учитываться деформация поверхности в результате возмущения, и появляющиеся при этом силы поверхностного натяжения. т) В этом выводе н дальнейшей формулировке варнационного принципа мы следуем В. С. Сорокину (1953).
(и — единичный вектор в направлении оси г, — вертикально вверх). Здесь ясно выступают безразмерные параметры Я и Р. Если граничащие с жидкостью твердые поверхности поддерживаются при постоянных температурах, то на них должны выполняться условия') КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ з)з Умножим уравнения (57,2) н (57,3) соответственно на о' н т' и проинтегрируем их по объему полости. Проинтегрировав чле- ны ч*Ы н т'Лт по частям ') и заметив, что интегралы по поверх- ности полости обращаются в нуль в силу граничных условий, получим: — сю ~! ч )г сй' = ~ ( — ! го с ч сг + Я го,') сй', (57,6) — сюР ~ / т (г с()г = ~ ( — ( ~т )г + т'о ) с(У Вычитая из этих равенств их комплексно-сопряженные, находимс — с (ю+ а ) ~ ! ч )г с()г = Я~ (то, — т о ) сй', ,)Р~).
)г(сг ~( „, о) )г Наконец, умножив второе равенство на Я и сложив с первым, получим: ссе ю ~ (( ч )г + ЯР ~ г )г) с()г = О. В виду существенной положительности интеграла, отсюда следует искомый результат ссею = О'). Отметим, что при А ( О (жидкость подогревается сверху), чему формально отвечает Я - О, интеграл мог бы обращаться в нуль и сю могло бы быть комплексным. Вернемся к равенствам (57,6). Умножив теперь второе на Я н сложив с первым, получим'для инкремента у = — сю следующее выражение: — у=У/У, (57,7) ') С использованием равенств ч'ач — ч' гот гос ч =снч(ч'тот ч) — ) го) чР, т*аз = гпч(т'Рг) — ) 17т)с, ч Лш =сич [юч). ') С математической точки зрения, изложенный вывод сводится к доказательству самосопряженности системы уравнений (57, 2 — 4). С физической точки зрении, происхождение этого результата можно пОяснить следующими сообрагкениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
