Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Уравнения принимают внд дв дв дв — = — =О, Ьрп= — Жт+ —, Ь,т о дх ду дг ' (число Ж = 2[)А)7р/)(ж )7 — радиус трубы), Из первых двух уравнений сле- дует, что дв/да = сопз(, а исключив из остальных уравнений т, получим 52" 2 На стенках трубы (г 1) должны удовлетворяться условие о = 0 н усло- вие т= О (в случае а) или дт/дг=О (в случае б). Крорге того, должен быть равен нулю полный поток жидкости через поперечное сечение трубы. Уравнение ил!ест решения вида соз пф,Х, (зг), соз иф.1, (йг), где 1, 1,— функции Бесселя вещественного и мнимого аргумента, а й'=Я; г, ф — полярные координаты в плоскости сечения трубы. Моменту возникно- вения конвекции отвечает то решение, которому соответствует наименьшее значение Я.
Оказывается, что таковым является решение с л = 1г о ор соз гр [1, (лг) 1, (й) — 1, (Угг) У, (й)), т = — Р соз ф [Хр (йг) Хг (Ур) + 1, (йг) 1, (й)[ я из (причем градиент дв/дз = 0). Описываемое этими формулами движение антнсимметрично относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось трубы н делящей полость на две части; в одной из них жидкости опускается, а в другой поднимается. Написанное решение удовлетворяет условию о = 0 при г = 1.
В случае а условие т = 0 прииодкт к уравнению Хр(й) = 0; его наименьший корень дает критическое число Я„р —— Урр = 216. В случае б условие дт/дг 0 приводит к уравчению Хр (й) Хр (Д) 2 — +— Хр (в) 1,(й) в ' Наименьший корень этого уравнения дает Я,р — 68. 2. Сформулировать вариационный принцив для задачи о собственных зна. чениях Я, определяемых уравнениями (57,12). Р е шеи ие. Прядаднм уравнениям (57,12) болсе симметричный вид, введя вместо т новую функцию т Ч/Ят, т.е. снова изменив единицу измерения температуры. Тогда: Чуйтп=Чв — Ьг, 1/Жвз= — Ьт, дгкч =О. Поступая, как при выводе (57,7), получим Ч/Я =1/з/, где 1= — З) [(го!ч)'+ (Чт)'[д(г, ЬГ= 11 пят ау 1 2 з (интеграл Ж положителен, в чем легко убедиться, приведя его к виду Я !'з ~ (Чт)'ду).
Вариациониый принцип формулируется, как требование экстремальности 1 при дополнительных условиях д!чч 0 и !У = 1. Минимальное значение 1 определяет наименьшее собственное значензе ч/Ж. р) уравнения имеют также решения, периодические вдоль осн з, содержащие множитель ехр(йз). Все они, однако, приводят к более высоким значениям Я,р. Обратим внимание иа то, что рассматриваемое решение с й = 0 удовлетворяет также и точным (нелинеарнзованным) уравнениям (57,10) ввиду тождественного обращения в нуль нелинейных членов (чЧ)ч и рЧг. гллвл у~ ДИффУЗИя 5 58. Уравнения гидродннамики для жидкой смеси Во всем предыдущем изложении предполагалось, что жидкость полностью однородна по своему составу.
Если же мы имеем дело со смесью жидкостей или газов, состав которой меняется вдоль ее объема, то уравнения гидродинамики существенно изменяются. Мы ограничимся рассмотрением смесей с двумя только компонентами. Состав смеси мы будем описывать концентрацией с, определяемой как отношение массы одного из входящих в состав смеси веществ к полной массе жидкости в данном элементе объема. С течением времени распределение концентрации в жидкости, вообще говоря, меняется. Изменение концентрации происходит двумя путями.
Во-первых, при макроскопическом движении жидкости каждый данный ее участок передвигается как целое с неизменным составом. Этим путем осуществляется чисто механическое перемешнвание жидкости; хотя состав каждого передвигающегося участка жидкости не меняется, но в каждой данной неподвижной точке пространства концентрация находящейся в этом месте жидкости будет со временем меняться.
Если отвлечься от могущих одновременно иметь место процессов теплопроводности и внутреннего трения, то такое изменение концентрации является термодинамически обратимым процессом и не ведет к диссипацни энергии. Во-вторых, изменение состава может происходить путем молекулярного переноса веществ смеси из одного участка жидкости в другой. Выравнивание концентрации путем такого непосредственного изменения состава каждого из участков жидкости называют диффузией.
Диффузия является процессом необратимым и представляет собой наряду с теплопроводностью и вязкостью один из источников диссипацни энергии в жидкой смеси. Будем обозначать посредством р полную плотность жидкости. Уравнение непрерывности для полной массы жидкости сохраняет прежний вид — + Йчч О. (68,1) Оно означает, что полная масса жидкости в некотором объеме может измениться только путем втекания или вытекання жид- диоочзия )гл. ьч кости из этого объема. Следует подчеркнуть, что, строго говоря, для жидкой смеси самое понятие скорости должно быть определено заново.
Написав уравнение непрерывности в виде (58,1), мы тем самым определили скорость в соответствии с прежним определением как полный импульс единицы массы жидкости. Не меняется также и уравнение Навье-Стокса (15,5). Выведем теперь остальные гидродинамические уравнении для смесей. При отсутствии диффузии состав каждого данного элемента жидкости оставался бы неизменным при его передвижении. Это г(с значит, что полная производная — была бы равна нулю, т. е.
к! имело бы место уравнение дс дс — = — + ч =(). ! д! Это уравнение можно написать, используя (58,1), как + г(!ч(чрс) =(), д(рс) т. е, в виде уравнения непрерывности для одного из веществ в смеси (рс есть масса одного из веществ смеси в единице объема). Написанное в интегральном виде д ~ рог((г= — !~)рс Л д оно означает, что изменение количества данного вещества в некотором объеме равно количеству этого вещества, переносимому движущейся жидкостью через поверхность объема. При наличии диффузии наряду с потоком чрс данного вещества вместе со всей жидкостью имеется еще и другой поток, который приводит к переносу веществ в смеси даже при отсутствии движения жидкости в целом.
Пусть ! есть плотность этого диффузионного потока, т. е. количество рассматриваемого вещества, переносимого путем диффузии в единицу времени через единицу поверхности' ). Тогда для изменения количества этого вещества в некотором объеме имеем: д! ~ рсг()г= — $ рсчЛ вЂ” $1Л, д нли в дифференциальном виде д (рс) д! = — с(!ч (Рсч) — Йч 1. (58,2) ') Сумма плотностей потоков обоих вешеств должна быть равна рч. Поэтому если плотность потока одного на ннх есть рчс+(, то другого: рт (1 — с) — !. й за) УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ ЖИДКОЙ СМЕСИ З21 С помощью (58,1) это уравнение непрерывности для одного из веществ в смеси можно написать в виде р ( — '+ УЧс) = — б)У 1, (58,3) Для вывода еще одного уравнения повторим произведенный в 5 49 вывод, учитывая, что термодинамические величины жидкости являются теперь функциями также и от концентрации.
При вычислении (в $49) производной 4( — ',"'+рн) где р — соответствующим образом определенный химический поде тенциал смеси '). Соответственно этому в производнуюр — вой- дГ дс дет теперь дополнительный членрр —. Написав второе из тердг ' модинамических соотношений в виде с(р = рс(ш — рТг(з — р)гг1с, мы видим, что в член — у Чр войдет дополнительный член рру Чс. Таким образом, к выражению (49,3) надо прибавить рр ( —, + УЧс) . ') Из термодинамики известно (см. Ъ', 4 85), что для смеси двух веществ: де Тда — рд*г'+ РоГо~ + Иэном где п„из — числа частиц обоих веществ н 1 г смеси, а Ро Рз — химяческие потенциалы этих веществ.
Числа п~ и лз удовлетворяют соотношению п,т, + озгл, = 1, где то нм — массы частиц обоего рода. Если ввести в качестве переменной концентрацию с = л,гль то мы получим: сГе = Т да — р Л'+ ( — — — ) Ыс. г Р~ Нз Х \,т~ тз! Сравнивая с приведенным в тексте соотношением, мы видим, что химический потенциал м, которым мы пользуемся, связан с обычными потенциаламн рз и Рг посредством в = Р~!ю~ — Рэ)та. с помощью уравнений движения нам приходилось, в частности, дв преобразовывать члены р — и — УЧр.
Это преобразование тедг перь изменяется в связи с тем, что термодинамические соотно- шения для энергии и тепловой функции содержат дополнитель- ный член с дифференциалом концентрации: с(е = Т с(з + —, Нр + )з г(с, Р' г( ш = Т гЬ + — с(р+ )г с(с, 1 Р 322 [гл. ш ДИФФУЗИЯ Поэтому к выражению (49,3) надо добавить рр (дс/д! + Урс) = — !т б!ч 1. В результате получим: б!ч~тр( — + ш) — (-')+ а1+ рТ( — ';, + «з) — о'„—,„"' + б!ч и — р б!т!.
(58,4) Вместо — и уТ мы пишем теперь некоторый поток тепла и, который может зависеть не только от градиента температуры, но и от градиента концентрации (см. следующий параграф). Сумму двух последних членов с правой стороны равенства напишем в виде б!ч 9 — !з б!ч 1 = б!У(п — !и!)+ '1 Ур. Выражение р ( — + ш) — (то')+ и, стоящее под знаком б!ч в (58,4), есть, по определению 9, полный поток энергии в жидкости. Первый член есть обратимый поток энергии, связанный просто с перемещением жидкости как целого, а сумма — (чп')+ 9 есть необратимый поток.
При отсутствии макроскопического движения вязкий поток (тп') исчезает и тепловой поток есть просто с!. Уравнение закона сохранения энергии гласит; — ~ — + рз) = — б!ч ~рт ( — + ш) — (то') + п1. (58,5) Вычитая его почленио из (58,4), получим искомое уравнение Рт( ш +чрз~=п,ьз — — б!ч(й — Р1) — !%'!У, (58,6) Гда ди, обобщающее выведенное ранее уравнение (49,4), Мы получили, таким образом, полную систему гидродинамических уравнений для жидких смесей. Число уравнений в этой системе на единицу больше, чем в случае чистой жидкости, соответственно тому, что имеется еще одна неизвестная функция— концентрация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
