Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 69
Текст из файла (страница 69)
ГГусть поверхность раздела подвергается бесконечно малому смещению. В каждой точке несмешенной поверхности проведем нормаль к ней. Отрезок нормали, заключенный между ее пересечениями с несмещенной и смещенной поверхностями, обозначим посредством бь. Тогда объем каждого элемента пространства, заключенного между поверхностями, есть б~с(Г, где НГ— элемент поверхности. Пусть р, и рз — давления в первой и второй средах и будем считать бь положительным, если смешение поверхности раздела производится, скажем, в сторону второй среды. Тогда работа, которую надо произвести для описанного изменения объема, равна повеихностные явз!енни 334 !ГЛ. ч!П длины с(1! и Жз на поверхности, проведенные в плоскостях ее главных сечений, получают при бесконечно малом смещении повеРхности пРиРащениЯ„Равные соответственно — г(11 и — с(1т (Ж! йй йй ~!1 гт и Жз надо рассматривать как элементы дуги окружностей с радиусами Д1 и Яз).
Поэтому элемент поверхности с(1 = Г(1111!а будет равен после смещения (11(1+ф)11з(1+Щ) 11! 11з(1+ф+Щ), т. е. изменится на величину Ь !.в, + й,)"!. (61,2) Подставляя полученные выражения в (61,1) и приравнивая нулю, получим условие равновесия в виде ~ бЬ ((р1 — р,) — а ( — + — ) ~ с(1 = О. Это условие должно выполняться при произвольном бесконечно малом смешении поверхности, т. е. при произвольном 6~.
По- этому необходимо, чтобы стоящее под интегралом в скобках выражение тождественно обращалось в нуль, т. е. "(г+т)' (61,3) Это и есть формула (формула Лапласа), определяющая поверхностное давление'). Мы видим, что если )41 и 1сз положительны, то рг ) рз. Это значит, что из двух тел давление больше в том, поверхность которого выпукла. Если Я1=)сз= по, т. е.
поверхность раздела плоская, то давления в обоих телах, как и должно было быть, одинаковы. Применим формулу (61,3) для исследования механического равновесия соприкасающихся тел. Предположим, что ни на поверхность раздела, ни на сами тела не действуют никакие внешние силы.
Тогда вдоль каждого из тел давление постоянно. Имея в виду формулу (61,3), мы можем поэтому написать условие равновесия в виде ! 1 — + — = сопз1 й! й! (61,4) !) Изложенный вывод отличается от данного в Ч, $ !56, ио существу, лишь тем, что здесь рассматривается поверхность раздела произвольной формы, а не только сферической. Отсюда видно„что полное изменение площади поверхности раздела есть эоэмэлх лхплхсх Эзэ 5 зп и, во-вторых, энергия во внешнем поле (поле тяжести), равная др ~ г и'У. Таким образом, условие равновесия можно написать в виде а ~ И! + др ~ г Ы У = пп'п.
(61,7) Таким образом, сумма обратных радиусов кривизны должна быть постоянной вдоль всей свободной поверхности раздела. Если вся поверхность свободна, то условие (60,4) означает, что поверхность должна иметь шарообразную форму (например, поверхность маленькой капли, влиянием силы тяжести на которую можно пренебречь). Если же поверхность закреплена вдоль какой-нибудь линии (например, у жидкой пленки на твердой рамке), то ее форма является более сложной.
В применении к равновесию тонких пленок жидкости, закрепленных на твердой рамке, в условии (61,4) справа должен стоять нуль. Действительно, сумма 1/)г!+1/)гз должна быть одинаковой вдоль всей свободной поверхности пленки и в то же время на двух своих сторонах она должна иметь противоположный знак, поскольку если одна сторона выпукла, то другая вогнута с теми же радиусами кривизны, которые, однако„должны считаться теперь отрицательными. Отсюда следует, что условие равновесия тонкой пленки есть — + — = О.
! ! (61,5) д~ и~ Рассмотрим теперь условие равновесия на поверхности тела, находящегося в поле тяжести, Предположим для простоты, что второй средой является просто атмосфера, давление которой на протяжении размеров тела можно считать постоянным. В качестве самого тела рассмотрим несжимаемую жидкость. Тогда имеем р~ —— сопя(, а давление р! в жидкости равно согласно (3,2) р! = сопз! — ряг (координата г отсчитывается вертикально вверх).
Таким образом, условие равновесия приобретает вид — + — + — з = сопз1 ! ! а~ (61,6) М, й, а Надо, впрочем, отметить, что для определения равновесной формы поверхности жидкости в конкретных случаях обычно бывает удобным пользоваться условием равновесия не в виде (61,6), а непосредственно решая вариационную задачу о минимуме полной свободной энергии. Внутренняя свободная энергия жидкости зависит только от объема, по не от формы поверхности. От формы зависит, во-первых, поверхностная свободная энергия ~ ап'1 ФОРМУЛА ЛАПЛАСА ззт Сравнив это выражение с (61,2), получаем: ! ! д'~ д'ь (61,!1) Это и есть искомая формула, определяющая сумму обратных радиусов кривизны слабо изогнутой поверхности.
При равновесии трех соприкасающихся друг с другом фаз их поверхности раздела устанавливаются таким образом, чтобы была равна нулю равнодействующая трех сил поверхностного натяжения, действующих на общую линию соприкосновения трех сред. Это условие приводит к тому, что поверхности раздела должны пересекаться друг с другом под углами (так называемые краевые углы), определяющимися значениями поверхностного натяжения. Наконец, остановимся на вопросе о граничных условиях, которые должны соблюдаться на границе двух движущихся жидкостей при учете сил поверхностного натяжения.
Если поверхностное натяжение не учитывается, то на границе двух жидкостей имеем: пА (О!УА! — о"!!А!) = О, что выражает равенство сил трения, действующих на поверхности обеих жидкостей. При учете поверхностного натяжения надо написать в правой части этого условия дополнительную силу, определяемую по величине формулой Лапласа и направленную по нормали к поверхности: п О'.л — п оп'= а ~ — + — ) и / 1 ! АЫ Аы (61,12) Иначе можно написать это уравнение в виде (р, — р,) п, = (О'!!А1 — О'!!А!) и, + а ( —. + — ) пг (61, И) Если обе жидкости можно считать идеальными, то вязкие напряжения О,'А исчезают, и мы получаем вновь простое уравнение (61,3). Условие (61,13), однако, еще не является наиболее общим.
Дело в том, что коэффициент поверхностного натяжения а может оказаться не постоянным вдоль поверхности (например, в результате непостоянства температуры), Тогда наряду с нормальной силой (исчезающей в случае плоской поверхности) появляется некоторая дополнительная сила, направленная тангенциально к поверхности. Аналогично тому как при неравномерном давлении появляется объемная сила, равная (на единицу объема) — Чр здесь имеем для тангенциальной силы 1ьдействующей на единицу площади поверхности раздела, 1! = итаба. Мы пишем здесь градиент со знаком плюс перед ним, а не со знаком ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ (гл.
У!$ ~Р, — Р— а( 1 + 1 )1а,=(о"г!зз — о'1!ай) и + — (61,14) (единичный вектор нормали и направлен внутрь первой жидкости). Отметим, что это условие может быть выполнено только у вязкой жидкости. Действительно, у идеальной жидкости о,'„ = 0; тогда левая сторона равенства (61,14) будет представлять собой вектор, направленный по нормали, а правая — вектор, направленный по касательной к поверхности. Но такое равенство невозможно (за исключением, разумеется, тривиального случая, когда этн величины равны нулю каждая в отдельности). Задачи 1. Определить форму жидкой пленки, края которой закреплены иа двух рамках, имеющих форму окружностей, центры которых лежат иа обшей пря- мои, перпендикулярной к их плоскостям (разрез пленки изображен иа рис.
4!). Решение. Задача сводится к отысканию поверхности минимальной плошади, образованной вращением вокруг прямой г = О кривой г г(г), имеющей концы в двух заданных точках А и В. Площадь поверхности вращения есть 1=2н ~ Р(г,г')дх, Р=г(!+г') Рис. 41 где дачи о минимуме такого г' — = с(г/дг, Первый интеграл уравнения Эйлера за.
интеграла (с выражением Р, ие содержащим и) есть , дг Р г — т = сопз! дг В данном случае это дает; г= с~ (1+ г'т)!/з, откуда находим после интегрирования а — с, г=с,сЬ с~ таким образом, искомая поверхность является поверхностью, образованной вращением цепной линии (так называемый катевоид). Постоянные с, и сз должны быть определены так, чтобы кривая г(х) проходила через заданные точки А и В.
Прн этом сз зависит просто от выбора начала координат иа оси х. Для постоянной же с, получаются два значения, из которых должно быть выбрано большее (меньшее не соответствует минимуму интеграла). При увеличении расстояния й между рамками при некотором определенном его значении наступает момент, когда уравнение, определяющее постояи- минус, как в силе — Чр, в связи с тем, что силы поверхностного натяжения стремятся уменьшить плошадь поверхности, между тем как силы давления стремятся увеличить объем тела. Прибавляя эту силу к правой стороне равенства (61,13), получим граничное условие 330 ФОРМУЛА ЛАПЛАСА й эЦ ную сь перестает иметь вещественные кореи. При ббльших расстояниях устойчивой является только форма, соответствующая двум пленкам, натяну.
тым на каждую иэ двух рамок. Так, для двух рамок одинакового радиуса /г катеноидная форма становится невозможной при расстоянии Ь между рамками, равном й = 1,ЗЗ к. 2. Определить форму поверхности жидкости, находящейся в поле тяжести и соприкасающейся с одной стороны с вертикальной плоской стенкой. Краевой угол, образуемый жидкостью при соприкосновении с веществом стенки, равен 0 (рис. 42).
Решение. Выбираем оси координат указанным на рис. 42 образом. Плоскость х = О есть плоскость стенки, а г = О есть плоскость поверхности жидкости вдали от стенки. Радиусы кривизны поверхности г = г(х): (1+г') Л /1т -— г' так что уравнение (61,6) приобретает вид 2г г" сопзг а' (1 +,э)щэ Рис. 42 '(а — капиллярная постоянная). При х = со должно быть э О, 1//гэ = О; поэтому сопз1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
