Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Следующими после написанных в (59,5) членов, которые можно образовать из производных от скалярных величин !з и Т, были бы члены с производными третьего порядка: дгаб Л!г н ягаб ЛТ; этн члены заведомо малы по сравнению с уже учтенными в отношении (1/7-)' Но выражения для потоков могут содержать в себе также и члены с производными скорости. С помощью производных первого порядка, дсч/дхм можно образовать лишь тензориые величины; это — вязкий тензор напряжений, входящий в состав тензора плотности потока импульса. Величины же векторного характера можно составить из производных второго порядка. Так, в векторе плотности диффузионного потока появятся члены !' = рХ,Лу+ р) ~!г <1!у 'у.
(59,18) Требование, чтобы эти члены были малы по сравнению с уже фигурирующими в формулах (59,!! — !2), приводит к дополнительным условиям применимости последних. Так, для того чтобы имело смысл оставлять в (59,11) член с Чр и в то же время опускать члены (59, !6), должно выполняться условие — — )> Л вЂ”, и р —.т гг р у ' где р, — р1 — характерный перепад давлений на длине Т., а Ц— характерный перепад скорости (в этой оценке положено Ц 1— 9 эн коэеаициинты диеохзии и тввмодиоечзии З29 см.
задачу). Согласно кинетической теории, 1) и Х выражаются через характеристики теплового движения молекул газа. Уже из соображений размерности очевидно, что Х/х) — 1!'ог, где о,— средняя тепловая скорость молекул. Учтя также, что давление газа р ро', приходим к условию '! Рз — Р!ЪРРТУ Ь. (59,19) Это условие отнюдь не выполняется автоматически, Напротив, в важном случае стационарных течений с малыми числами Рейнольдса в диффузионном потоке члены с Чр и с Лч оказываются одинакового порядка величины (Ю.
М. Каган, 1962). Действительно, для такого движения градиент давления связан с производными скорости уравнением (20,1) 1 — Чр=чЛч Р (59,20) (прииимаем, что при движении газа его можно считать несжимаемым). Кинематическая вязкость оценивается как ч ог! и потому из этого уравнения находим: пи ! Рт — Р1 Рот(г ŠŠ— вместо неравенства в (59,19). Поскольку Лч прямо выражается через Чр согласно (20,1), то необходимость одновременного учета членов с Чр и Лч означает, что бародиффузионный коэф.
фициевт йа заменяется «эффективным» коэффициентом ( а)»ФФ а 0' РХ~ Обратим внимание на то, что этот коэффициент оказывается в результате кинетической величиной, а не чисто термодинамической, каковой является согласно (59,10) коэффициент й . Задача Определить коэффициент бародиффузии для смеси двух идеальных газов. Р ею еи и е. Для удельного объема имеем: )гТ )г — (л~+ лз) Р (обозиачеиия — см. примечание иа стр.
321), а химические потеициалы имеют вид (см. Ч $93) Р~ й(р, Т)+Т!п % + лз ' г1 — с от 'ад — — (льз — лг~) с (1 — с) ~ — + — 1. ига гл1 Числа оь аз выражаются через коицеитрацию газа ! согласио л,лт, = с, лзтз 1 — с. Вычисзеиие по формуле (39,10) дает днФэгзия !гл, чФ (60,1) Определим средний квадрат расстояния, на которое частица удалится от исходной точки в течение времени й Имеем: гз = ~ г'в(г, !)дг. о Вычисление с помощью (60,1) дает г'= Я!й (60,3) Таким образом, среднее расстояние, проходимое частицей в течение некоторого интервала времени, пропорционально квадратному корню из этого времени.
Коэффициент диффузии взвешенных в жидкости частиц может быть вычислен по их так называемой подвижности, Предположим, что на эти частицы действует некоторая постоянная внешняя сила 1 (например, сила тяжести). В стационарном состоянии сила, действующая на каждую частицу, должна уравновешиваться силой сопротивления, испытываемой движущейся частицей со стороны жидкости.
При не слишком больших скоростях сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости. Написав ее в виде ч)Ь, где Ь вЂ” постоянная, и приравнивая внешней силе 1, получим: = Ь1, (60,4) т, е. скорость, приобретаемая частицей под влиянием внешней (60,2) й 60. Диффузия взвешенных в жидкости частиц Под влиянием молекулярного движения в жидкости взвешенные в ней частицы совершают беспорядочное броуновское движение. Пусть в начальный момент времени в некоторой точке (начале координат) находится одна такая частица. Ее дальнейшее движение можно рассматривать как диффузию, причем роль концентрации играет вероятность нахождения частицы в том или ином элементе объема жидкости. Соответственно для определения этой вероятности можно воспользоваться решением (59,17) уравнения диффузии.
Возможность такого рассмотрения связана с тем, что при диффузии в слабых растворах (т. е. при с « 1, когда только и применимо уравнение диффузии в форме (59,16) ) частицы растворенного вещества практически не взаимодействуют друг с другом, и потому можно рассматривать движение каждой частицы независимо от других. Пусть ш(г, !)Ыг есть вероятность нахождения частицы в момент времени Г на расстоянии между г и г+ Ыг от исходной точки. Полагая в (59,17) М/р = 1 и умножая на элемент объема 4пгзг(г шарового слоя, получим: 1 ш(г, !) Й'= — е '~" г'г(г.
з,,/поз!з диоохэия взвешенных в жидкости частиц ЗЗ! силы, пропорциональна этой силе. Постоянная Ь называетсялодвижкостью и может быть, в принципе, вычислена с помощью гидродинамических уравнений. Так, для частиц, имеющих форму шариков (радиуса К), сила сопротивления равна бит))со (см. (20,14) ), а потому подвижность (60,5) Для частиц не шарообразной формы сила сопротивления зависит от направления движения; она может быть написана в виде аыоы где а,ь — симметрический тензор (см. (20,15) ).
При вычислении подвижности надо произвести усреднение по всем ориентациям частицы; если аь ат, аа — главные значения симметрического тензора аы, то мы получим: (60,6) Подвижность Ь связана с коэффициентом диффузии й простым соотношением. Для его вывода напишем диффузионный поток 1, который содержит наряду с обычным членом — р0Чс, связанным с градиентом концентрации (температуру предполагаем постоянной), также и член, связанный со скоростью, приобретаемой частицей под влиянием внешних сил.
Этот последний член равен рсч = рсЫ. Таким образом '): 1 = — р0Чс+ рсЫ. (60,7) Перепишем это выражение в виде 1 = — (л 1Ь ) ЧР+ РсЫ, где р теперь †химическ потенциал взвешенных частиц (играющих роль растворенного вещества). Зависимость этого потенциала от концентрации (в слабом растворе) дается выражением !ь = Т !п с + тз (р, Т) (см. Ч 5 87), так что ! = — г Ч!ь+ рсЫ.
р!тс В состоянии термодинамического равновесия диффузия отсутствует и поток! должен обращаться в нуль. С другой стороны, при наличии внешнего поля условие равновесия требует постоянства вдоль раствора суммы !ь+ У, где У вЂ” потенциальная энергия взвешенной частицы в этом поле. Тогда Ч!ь = — Ч(l = — 1 и из равенства! = 0 получим (60,8); 0 Здесь с может быть определено как число навешенных частиц а едн. нане массы жнлкостн, а! — как плотность потока числа атнх частно. ГЛАВА Ч!! ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ф 61.
Формула Лапласа ) ( — р1 + рз) бь с(Г Полная работа 6)с смещения поверхности получится путем прибавления сюда еше работы, связанной с изменением площади самой этой поверхности. Эта часть работы пропорциональна, как известно, изменению 61 площади поверхности а равна абГ, где а — поверхностное натяжение. Таким образом, полная работа равна б)с= — ~ (р, — р,)б~дГ+ абГ, (61,!) Условие термодинамического равновесия определяется, как известно, обрашением 6)с в нуль. Пусть далее т(1 и т(з — главные радиусы кривизны в данной точке поверхности; мы будем считать Д, и )Гз положительными, если они направлены внутрь первой среды.
Тогда элементы В этой главе мы изучим явления, происходящие вблизи поверхности раздела между двумя сплошными средами (в действительности, конечно, соприкасающиеся тела разделены узким переходным слоем, который вследствие его весьма малой толщины можно рассматривать как поверхность). Если поверхность раздела двух сред искривлена, то вблизи нее давления в обеих средах различны. Для определения этой разности давлений (называемой поверхностным давлением) напишем условие термодинамического равновесия обоих тел друг с другом с учетом свойств поверхности их раздела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
