Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Пусть при возмущении элемент жидкости смещается, например, наверх. Попав в окружение менее нагретой жидкости, он будет охлаждаться за счет теплопроводности, оставаясь все же более нагретым, чем окружающая среда. Поэтому действующая на него сила плавучести будет направлена вверх и элемент будет продолжать движение в том же направлении — затухающее или ускоряющееся в зависимости от соотношения между градиентом температуры и диссипативными коэффициентами.
В обоих случаях ввиду отсутствия «возвращающей силы» колебания не возникают. Отметим, что прн наличии свободной поверхности возвращающая сила возникает за счет поверхностного натяжения, стремящегося сгладить деформированную поверхность; при учете этой силы сделанные утверждения уже не справедливы. [гл. ч типлопроводность в жидкости 314 где 7 и Ф обозначают интегралы 1 = ~ [(го1 ч)з + Я (17т)з — 2Ятпа] с(У, Ф = ~ (уз + ЯРтз) г()г (57,8) (функции у и т предполагаются вещественными). Как известно, задача о собственных значениях самосопряженных линейных дифференциальных операторов допускает вариационную формулировку, основанную именно на выражении вида (57,7 — 8).
Рассматривая 7 и Ф как функционалы по отношении к функциям ч и т, потребуем экстремальности 7 при дополнительных условиях с))у ч = 0 и Ф = 1; последнее играет роль «условия нормировки». По общим правилам вариационного исчисления, составляем вариационное уравнение 57+ убй( — ~2твб(с)1ур)г(7=0, (57,9) где константа у и функция гп(г) играют роль лагранжевых неопределенных множителей. Вычислив входящие сюда вариации (пронзведя при этом интегрирования по частям с учетом граничных условий (57,5)) и приравнивая нулю выражения при независимых вариациях бч и бт, действительно получим уравнения (57,2 — 3). Значение 7, вычисленное по поставленной таким образом вариационной задаче, определяет согласно (57,7) наименьшее значение — у= — 71, т.
е. инкремент наиболее быстро усиливающихся (или декремеит наименее быстро убывающих— в зависимости от знака у) возмущений. По смыслу его вывода, критическое значение Яка определяет границу устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям. Но для задачи о конвективной устойчивости неподвижной жидкости оказывается, что это число является в тоже время границей устойчивости по отношению к любым конечным возмущениям '). Другими словами, при Я ( Яхр не существует никаких незатухающих со временем решений уравнений движения, за исключением состояния покоя. Покажем это (В.
С. Сорокин, 1954). Для конечных возмущений уравнения движения должны быть написаны в виде дт — = — 17гп+ бр+ Ятп — (уЧ) у, Р— т — — бт+ р, — Ртлрт, (57,10) дт дт отличающемся от (57,2 — 3) нелинейными членами. Проделаем с этими уравнениями в точности те же операции, которые были произведены выше с уравнениями (57,2 — 3) при выводе соотно- ') Говоря о возмущениях коиечиой иитеисивяости, мы имеем здесь в виду возмущения, для которых в уравнениях 156,4 — 5) нельзя пренебрегать пеляиейяыми членаьпь ио в то же время по-прежиему удовлетворяютси условия, поставленные при выводе зтих уравнений.
КОНВЕКТИВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ шений (57,5) и (57,7). Ввиду равенства ОВчч=О, нелинейные члены сводятся к полным дивергенциям: ч(»р) ч — б1ч ( — ч1, г(чт7) т — б1ч ( — ч1 и при интегрировании выпадают. Поэтому мы получим в результате соотношение 1 и'йà — — = — У 3 и'1 отличающееся от равенства 71т'= — У (57,7) лишь тем, что вместо произведения у7Т' теперь стоит производная по времени. В силу сформулированного выше вариационного принципа, для любых функций ч и т будет — 7 (у~У.
Поэтому .- 2у,Ф(1), о1ч (11 откуда А7 (1) к- М (0) евт т. (57,11) Но в подкритической (Я < Я„р) области все полученные по линейной теории инкременты, в том числе наибольший из них чь отрицательны. Поэтому из (57,1! ) следует, что 7т'(1) — ь О при 1-э со, а ввиду существенной положительности подынтегрального выражения в М стремятся к нулю также и сами функции ч и т. Вернемся к вопросу о вычислении Я„р. Поскольку все собственные значения ип вещественны, то равенство у =0 при Я = Я,р означает, что и пт = О, Значение Якв определяется тогда как наименьшее из собственных значений параметра Я в системе уравнений Лч — 171п + Я тп = О, (57,12) Лт = — п„с(1чч = 0 (эта задача тоже допускает вариациониую формулировку — см, задачу 2). Обратим внимание на то, что ни сами уравнения (57,12), ни граничные условия к ним не содержат числа Р.
Поэтому и определяемое ими критическое число Рзлея для заданной конфигурации жидкости и твердых стенок не зависит от вещества жидкости. Наиболее простой и в то же время теоретически важной является задача ') об устойчивости слоя жидкости между двумя неограниченными горизонтальными плоскостями, из которых ') Впервые поставленная экспериментально Бенором (И. Вепаг, 1900) н рассматривавшаяся теоретнческв Ралеем (йар1е1КЗ, !916). )гл. и ТГПЛОПРОВОДИОСТЬ В ЖИДКОСТИ З)В верхняя поддерживается при более низкой температуре, чем нижняя. Для этой задачи удобно привести систему (57,12) к одному уравнению ').
Применив к первому уравнению операцию го1 го1= =Чг))ч — Гл, взяв затем его г-компоненту и воспользовавшись двумя другими уравнениями, получим: (57,13) (где Лэ = дз/дхз+ дэ/дуэ — двухмерный лапласиан). Граничные условия на обоих плоскостях: Т=О, О,=О, — *=О при г=О, 1 (последнее эквивалентно, ввиду уравнения непрерывности, условиям о» = о„ = О при всех х, у). Ввиду второго из уравнений (57,12) условия для о можно заменить условиями для высших производных от т: д«т дэт дт — =Π— — й' — =О. дз' ' дз' дз Ищем т в виде т=)(г)Ф(х, у), г)г=е"", (57,14) (где )г — вектор в плоскости х, у) и получаем для )(г) уравнение ( „'Р, — йэ) 1+ ЯАЧ=О.
Общее решение этого уравнения представляет собой линейную комбинацию функций с)г )гг и зЬ рг, где пэ ьт Янзьэгз ч»71 с тремя различными значениями корня. Коэффициенты этой комбинации определяются граничными условиями, приводящими к системе алгебраических уравнений, условие совместности которых дает трансцендентное уравнение, корни которого и определяют зависимости й =й„(Я), о=1, 2, ..., Обратные функции Я= Я„(й) имеют минимум при определенных значениях й; наименьший из этих минимУмов и Дает значение Я»ээ). Оно ') Вещественность ио Лля этой задачи была доказана Пелью и Саугееллом (А. Репеш, Гг, )г. Бои)лшеП, 1940).
») Детали вычислений можно найти в книге: Г. 3. Гершуни, Е. М. лчдловииллз, Конвектнэиая устойчивость несжимаемой жидкости, «Наука», 1979, л также в укаэанных иа с, 146 кингах С, Чалдрасеалоро в Дралала в Редда, конннктивнля нкхстоичиность 317 оказывается равным 1708, причем соответствующее значение волнового числа йяэ= 3,12 в единицах 1/Ь (и. УеЦгеуз, 1908). Таким образом, горизонтальный слой жидкости толшины й с направленным вниз градиентом температуры А становится неустойчивым при ') — ) '1 708.
п()яа» тх (57,15) При Я ) Якэ в жидкости возникает стационарное конвективное движение, периодическое в плоскосгн ху. Все пространство между плоскостями разделяется на прилегающие друг к другу одинаковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по замкнутым траекториям, ие переходя из одной ячейки в другую. Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них некоторую решетку, Значение й„ определяет периодичность, но не симметрию этой решетки; линеаризованные уравнения движения допускают в (57,14) любую функцию ф(х, у), удовлетворяющую уравнению (Лз — й') ф = О. Устранение этой неоднозначности в рамках линейной теории невозможно. По-видимому, должна осуществляться «двухмерная» структура движения, в которой на плоскости ху имеется лишь одномерная периодичность — система параллельных полос').
Задачи !. Найти крнтнчесхое число Рэлея для возникновения конвекцни в жидкости в вертикальной цилиндрической трубе, вдоль которой поддерживается постоянный градиент температуры; стенки трубы а) идеально теплопрово. дящие, нлн б) теплонзолнрующие (Г. А Остроумов, 1946). Решение. Ищем решение уравнений (67,2 — 4), в нотором конвентнвная скорость ч направлена везде по осн трубы (ось г), а зся картина движения постоянна вдоль этой оси, т.е.
велящим и, = о, т, дщ/дг зависят ') Прн заданном значения А зто условие во всиком случае выполняется прн достаточно большом Ь. Во избежание недоразумений следует напомнить, что речь идет здесь лишь о таких высотах Ь, прн которых несущественно изменение плотности жидкости под влиянием поля тяжестк Поэтому к высоким столбам жидкости этот критерий неприменим В таком случае следует применять критерий, полученный в й 4, нз которого видно, что конвекцня может отсутствовать прн любой высоте столба, если грахнеит температуры не слишком велик. з) Теоретические указания состоят в том, что в надкрнтнческой области вблизи Я,р лишь эта структура оказывается устойчивой по отношению к малым возмущениям; «трехмерные» же призматические структуры оказываются иеустойчнвымк Экспериментальные результаты существенно зависят от условий опыта (в том числе от формы н размеров боковых стенок сосуда) п ае однозначны.
Наблюдавшаяся в ряде случаев трехмернан гексагоизльная структура связана, по-видимому, с влиянием поверхностного натяжения на верхней свободной поверхности, и с температурной зависимостью вязкости жидкости (в изложенной теорнин вязкость т рассматривалась, конечно, как постоянная), !гл. ч тнплопиоводиость в жидкости 318 только от координат в плоскости сечения трубы ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
