Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Таким образом, получаем закон распределения температуры в виде (54,4) (Л. Д. Ландау, 1944). Эмпирическое значение постоянной 11 в этом выражении: р — 0,9. Значение функции 1 для воздуха: 1(0,7) ев 1,5. С помощью формулы (54,4) можно рассчитать теплопередачу при турбулентном течении по трубе, при обтекании плоской пластинки и т. и. Мы не станем останавливаться здесь на этом. Турбулентные пульсации температуры Говоря выше о температуре турбулентной жидкости, мы подразумевали, конечно, ее усредненное по времени значение. Истинная же температура испытывает в каждой точке пространства крайне нерегулярное изменение со временем, подобное пульсациям скорости.
Будем считать, что существенное изменение средней температуры происходит на тех же расстояниях 1 (основной масштаб турбулентности), на которых меняется средняя скорость движения. К мелкомасштабным (масштабы Х ~ 1) пульсациям температуры можно применить те же общие представления и соображения подобия, которые были уже использованы при рассмотрении локальных свойств турбулентности в $ 33. При этом будем считать, что число Р— 1 (в противном случае может оказаться необходимым введение двух внутренних масштабов, определенных по Р и по т). Тогда инерционный интервал масштабов является в то же время конвективньГм, — выравнивание температур в нем происходит путем механического перемешивания различно нагретых «жидких частиц» без участия истинной теплопроводности; свойства температурных пульсаций в этом интервале не зависят и от крупномасштабного движения.
Определим зависимость разностей температур ТА от расстояний Х в инерционном интервале (А.М. Обухов, 1949). Теплопроводностная диссипация энергии (в единице объема)' дается выражением н(РТ)'1Т (ср. (49,6) или ниже (79,1)). Разделив его на рс„получим величину, у(ЧТ)')Т =— цуТ, определяющую скорость диссипативного понижения температуры; предполагая турбулентные колебания температуры относительно малыми, можно заменить Т в знаменателе постоянной средней температурой. Введенная таким образом величина ~р представляет собой еще один (наряду с е) параметр, определяющий теплопгоиодиость В жидкости 1гл.
у локальные свойства турбулентности в неравномерно нагретой жидкости. Следуя изложенному в $33 способу (см. текст после (33,1) ), выражаем ор через величины, характеризуюшие пульсации масштаба )о: сР Хтурбк (Тз/Х) . Подставив сюда Ктурб Л Утурб Ь )опао ОЬ (Е)О) (согласно (33,2) и (33,6)), получим искомый результат: ть — р -ьзЛ™. (54,5) Таким образом, для ), » )ьо пульсации температуры, как и пульсации скорости, пропорциональны Л'/з. На расстояниях же )1 ( до температура сглаживается путем истинной теплопроводности. На масштабах Х С<)ое температура меняется плавно. По тем же соображениям, что и для скорости (ср. (33,19) ), разности Ть здесь пропорциональны ).. Задачи 1.
Определить предельный закон зависимости числа Нуссельта от числа Прандтля в ламинарном пограничном слое прн больших значениях Р и больших Й. Решение. При больших Р расстояние 6', иа котором происходит изменение температуры, мало по сравнению с толщнаой Ь слоя, в котором происходит падение скорости и (6' может быть названо толщиной температурного пограивчиого слоя). Порядок величины 6' может быть получен оценкой членов уравнения (54,1). На расстоянии от д = О до р 6' температура испытывает изменение порядка полной разности Т, — То температур жидкости и твердого тела, а скорость о на том же расстоянии испытывает изменение порядка (/6'/б (полное изменение порядка (/ скорость испыть.вает иа расстоянии 6). Поэтому при у Ь' члены уравнения (54,1) порядка величины д'Т Т, — То дТ Ь' То — То Х . Х й "з дно Ь' дх Ь Сравнение обоих выражений дает 6'з — ХЬ//(/.
Подставляя 6 1/Ч/К, получаем: Ь Ь' 91/зрнз Риз ' Таким образом, при больших Р толщина температурного пограничного слоя убывает по сравнению с толщиной скоростного пограничного слоя обратно пропорционально кубическому корню из Р, Поток тепла дТ Т1 — То д -н — «н —, др Ь' тепЛОНЕРЕПАЧА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 391 и окончательно находим предельный закон тсплопередачи г)1 Ы сопз1 К~1зРч~. 2. Определить предельный вид функции 1(Р) в логарифмическом законе распределения температуры (54,4) при больших значениях Р.
Решен ие Согласно сказанному в 5 42 поперечная скорость в вязком подслое порядка величины оч(у/уо)г, а масштаб турбулентного движеиия— порядка улуг. Турбулентная температуропроводность, следовательно, Хтура огуг ( ) ч ( ) (лгы воспользовались здесь соотношением (42,5)); )(гура сравнивается по порядку величины с обычным коэффициентом у на расстояниях уг уюР ггг.
Поскольку йчгг очень быстро растет с У, то ясно, что основное изменение температуры в вязком подслое происходит на расстояниях от стенки порядка уг н его можно считать пропорциональным уь т. е. имеющим порядок ве. личины — — — Р'. УУ1 УУг У зВ и кР ' рсрп, !ы Сравнивая с формулой (54,4), находам, что функция 1(Р) будет иметь вид 1 (Р) = сопз! Р где сопз( — численная постоянная.
3. Вывести соотношение, связывающее локальные корреляционные функции В„= Цтг — Т,)г), В„,=(( м — о)(Т,— Тг)г) в неравномерно нагретом турбулентном потоке (А. Ь(. Валом, 1949). Решен не. Все вычисления аналогичны выводам в $34. Наряду с функциями Вгг и Вггг вводим вспомогательные функции Ьгг = (Тгуг), Ьггт = (пггТгуг), и для облегчения рассуждений рассматриваем турбулентность как полностью однородную и изотропиую. Имеем тогда: Вгт = 2<Та) — 2Ьгг, Вггг = 4Ьиг (1) (средние значения (ииТгТг) = — (оггТгТг).
а средине значения вида (п11Тзу обращаются в нуль в силу иесжимаемости жидкости — ср. вывод (34,13)). С помощью уравнений дТ вЂ” + (чЧ) Т у АТ, б!чч О д! ') Для реальных значений коэффициента теплопроводностн различных веществ число Прандтля не достигает тех больших значений, для которых мог бы иметь место этот предельный закон. Такие законы, однако, могут быть применены к конвективной диффузии, описывающейся теми же уравнениями, что и конвектнвная теплопередача, причем роль температуры играет концентрация растворенного вещества, роль теплового потока — поток этого вещества, а диффузионное число Враидтля определяется как Рр = «(Р, где 0 — коэффициент диффузии. Так, для растворов в воде и сходных жидкостях число Рр достигает зкачений порядка 1(Р, а для растворов в очень вязких растворителях — 1О' н более. твплопроводность В жидкости !ГЛ.
Ч вычисляем производную д д — Ь вЂ” 2 — Ь тт+йхб Ь г. дС ТТ дк Н ! т 12) В силу тех же язотропии н однородности, функции Ьсгг имеют вил Ьсгг л,Ь гг, (3) где введена величина р- — — — (тз) 1 д 2 дС (совпадающая с введенной в тексте). Поскольку локальную турбулентность можно считать стационарной, производной дВггсдС пренебрегаем. Интегрируя оставшееся равенство по г, получим яскомое соотношение (аналогичное (34,21): пдтт 4  — 2Х вЂ” — — гф. гтт дг З С4) При г ~ Лз член, содержащий Ю мал, а согласно (543) функция В,г сот"с'.
Тогда нз (4) имеем; 4 В м — — гф. гтт На расстояниях же г К Лс имеем В„ос ге, а членом В,гг можно пренебречь; тогда 1 Вгг Яс — г ф, 3 й 55. Нагреванне тела в движущейся жидкости Термометр, погруженный в неподвижную жидкость, показывает температуру, равную температуре жндкостн. Если же жндкость движется, то термометр покажет температуру несколько более высокую. Это обусловливается нагреванием благодаря внутреннему трению тормозящейся у поверхности термометра жидкости. Общую задачу можно сформулировать следующяя образом. Тело произвольной формы погружается в движущуюся жядкость; по истечении достаточного промежутка времени установятся некоторое тепловое равновесие н требуется определить возникающую прн этом разность температур Т, =То между нямя. (где и — единичный вектор в направлении г = гз — г1), а Ь.гг н Ьгг зависят только от г, С учетом (1) и (3), уравнение (2) принимает зид дВт1 1 — 2ф — — б(и(пв )- х авт дС 2 гтт 1 д Х д /здВть ут ~~ йгз дг гтг Ы дг ~ дг )' Ф эн НАГРЕВАНИЕ ТЕЛА В ДВИЖУШЕИСЯ ЖИДКОСТИ 303 гдо до, Ах ХйТ- — — ' — + — '.
Ес 1 дх дх (55,3) Температура и скорость испытывают заметное изменение на протяжении расстояний порядка размеров ! тела. Поэтому оценка Решение этой задачи определяется уравнением (50,2), в котором, однако, теперь уже нельзя пренебречь членом, содержащим вязкость, как зто было сделано в (53,1); именно этот член определяет интересующий нас здесь эффект. Таким образом, для установившегося состояния имеем уравнение ~ до~ дох ~х чЧТ=у,ЬТ+ — ( — ~+ — ~) . Ес 1,дхх дх ) ' К нему должны быть присоединены уравнения движения (53,3) самой жидкосги и, строго говоря, еще н уравнение теплопроводности внутри твердого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
