Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В результате получается: к (ЧТ)' ч дг дэ 2 дэ + ~ т (61чч)эг(У (496) Первый член представляет собой увеличение энтропии благодаря теплопроводности, а остальные два — увеличение энтропии, обусловленное внутренним трением. Энтропия может только возрастать, т. е. сумма (49,6) должна быть положительна. С другой стороны, в каждом из членов этой суммы подынтегральное выражение может быть отлично от нуля даже при равенстве нулю двух других интегралов. Поэтому каждый из этих интегралов должен быть всегда положителен. Отсюда следует наряду с известной уже нам положительностью к и ц также и положительность второго коэффициента вязкости ~. При выводе формулы (49,1) молчаливо подразумевалось, что поток тепла зависит только от градиента температуры и пе зависит от градиента давления.
Это предположение, априори не очевидное, может быть оправдано теперь следующим образом. Если бы в 9 входил член, пропорциональный Чр, то в выражении (49,6) для изменения энтропии прибавился бы еще член, содержащий под интегралом произведение Чр ЧТ. Поскольку это последнее может быть как положительным, так и отрицательным, то и производная от энтропии по времени не была бы существенно положительной, что невозможно. Наконец, необходимо уточнить изложенные выше рассуждения еще и в следующем отношении. Строго говоря, в термодинамически неравновесной системе, каковой является жидкость при наличии в ней градиентов скорости и температуры, обычные определения термодинамических величин теряют смысл и должны быть уточнены.
Подразумевавшиеся нами здесь определения заключаются прежде всего в том, что р, е и ч определяются по- прежнему: р и рз есть масса и внутренняя энергия, заключеи- овщвв кгхвнзииз пзгзносл тзплх 27з $ 491 ные в единице объема, а ч есть импульс единицы массы жидкости. Остальные же термодинамические величины определяются затем как те функции от р и е, которыми они явля4отся в состоянии теплового равновесия. При этом, однако, энтропия з = з(е, р) уже не будет истинной термодинамической энтропией: интеграл ~ рз44У не будет, строго говоря, той величиной, которая должна возрастать со временем.
Тем не менее, легко видеть, что при малых градиентах скорости и температуры в принятом нами здесь приближении з совпадает с истинной энтропией, Действительно, при наличии градиентов в энтропии появляются, вообще говоря, связанные с ними дополнительные (по отношению к з(р, е)) члены.
На изложенных выше результатах, однако, могли бы сказаться лишь линейные по градиентам члены (напри;лер, член, пропорциональный скаляру 4)(ч г), Такие члены неизбежно могли бы принимать как положительные, так и отрицательные значения. Между тем они должны быть существенно отрицательными, так как равновесное значение з = = з(р, з) является максимальным возможным. Поэтому разложение энтропии по степеням малых градиентов может содержать (помимо нулевого члена) лишь члены начиная со второго порядка. Аналогичные замечания должны были быть по существу сделаны уже в $ 15 (ср. примечание на стр.
66), так как уже наличие градиента скорости является термодинамической неравновесностью. Именно, под давлением р, которое входит в выражение для тензора плотности потока импульса в вязкой жидкости, следует понимать ту функцию р = р(е, р), которой она является в состоянии теплового равновесия. При этом р не будет уже, строго говоря, давлением в обычном смысле слова, т. е, не будет совпадать с нормальной силой, действующей на элемент поверхности.
В отличие от того, что было сказано выше об энтропии, здесь различие проявляется уже в величинах первого порядка по малому градиенту: мы видели, что в нормальной компоненте силы появляется наряду с р еще и член, пропорциональный йч ч (в несжимаемой жидкости этот член отсутствует и там разница появляется лишь в членах более высокого порядка). Таким образом, три коэффициента гь (, и, фигурирующие в системе уравнений движения вязкой теплопроводящей жидкости, полностью определяют гидродинамические свойства жидкости в рассматриваемом, всегда применяемом приближении (т.
е. при пренебрежении производными высших порядков по координатам от скорости, температуры и т. и.), Введение в уравнения каких-либо дополнительных членов (например, введение в плотность потока массы членов, пропорциональных градиентам плотности или температуры) лишено физического смысла и означало !гл. и теплопповодность в жидкости бы в лучшем случае лишь изменение определения основных величин; в частности, скорость не совпадала бы с импульсом единицы массы жидкости ').
$ бй. Теплопроводиость в несжимаемой жидкости Общее уравнение теплопроводности в форме (49,4) или (49,5) может быть в различных случаях значительно упрощено. Если скорость движения жидкости мала по сравнению со скоростью звука, то возникающие в результате движения изменения давления настолько малы, что вызываемым нми изменением плотности (и других термодинамическнх величин) можно пренебречь.
Однако неравномерно нагретая жидкость не является все же при этом вполне несжимаемой в том смысле, как это понималось выше. Дело в том, что плотность меняется еще и под влиянием изменения температуры; этим изменением плотности, вообще говоря, нельзя пренебречь, и потому даже при достаточно малых скоростях плотность неравномерно нагретой жидкости все же нельзя считать постоянной.
При определении производных от термодинамических величин в этом случае надо, следовательно, считать постоянным давление, а не плотность. Так, имеем: и поскольку Т( — ~ есть теплоемкость ся при постоянном дав/ дз 1 'ч дТ гя ленин, то дз дТ Т вЂ” =с —, ТЧз==с 7Т. дс Ядт' ') В худшем же случае введение таких членов может вообще нарушить соблюдение необходимых законов сохранения. Следует иметь в виду, что при любом определении величин плотность потока массы ) во всяком случае должна совпадать с импульсом единицы объема жидкости. Действительно, плотность потока ) определяется уравнением непрерывности — +дгт) 0; др дс умножая его на г и интегрирун по всему занятому жидкостью объему, получим: а поскольку интеграл ~ ргдУ определяет положение центра янерцин данной массы жидкости, то ясно, что интеграл ) ) ЫУ есть ее импульс.
Уравнение (49,4) принимает вид абдт др, Рср~ д + чЧТ~=Йч(иЧТ)+а',ь д '. (50,1) Для того чтобы в уравнениях движения неравномерно нагретой жидкости можно было считать плотность постоянной, необходимо (помимо малости отношения скорости жидкости н скорости звука), чтобы имеющиеся в жидкости разности температур были достаточно малы; подчеркнем, что здесь речь идет именно об абсолютных значениях разностей температур, а не о градиенте температуры. Тогда жидкость можно считать несжимаемой в том же смысле, кан это подразумевалось раньше; в частности, уравнение непрерывности будет выглядеть просто нак 41чч=0. Считая разности температур малыми, мы будем пренебрегать также и температурным изменением величии гь и, с„ дрс т.
е. будем считать их постоянными. Написав член а',„— к в том виде, нак это сделано в (49,5), мы получим в результате уравнение переноса тепла в несжимаемой жидкости в следующем сравнительно простом виде: дг ч Где др — +ч от= хит + — ~ — '+ — ~, дэ кр 1дк„дк ) ' р (50.2) где ч = П/р — кинематичесная вязкость, а вместо и введена тем- перагуропроводпосгь 2=МРс, (50,3) В особенности просто выглядит уравнение переноса тепла в неподвижной жидкости, где перенос энергии обязан целиком теплопроводности. Опуская в (50,2) члены, содержащие скорость, получаем просто — =ХАТ.
дТ д! (50,4) Это уравнение называется в математической физике уравнением геплопроводности или уравнением Фурье. Оно может быть выведено, разумеется, и гораздо более простым образом, без помощи общего уравнения переноса тепла в движущейся жидкости, Согласно закону сохранения энергии количество тепла, поглощающееся в некотором объеме в единицу времени, должно быть равно полному потоку тепла, втекающего в этот объем через ограничивающую его поверхность. Кан мы знаем, такой закон сохранения может быть выражен в виде уравнения непрерывности для количества тепла. Это уравнение получается приравниванием количества тепла, поглощающегося в единице объема жидкости в единицу времени, дивергенции плотности потока э ав теплопроводность в несжимаемая жидкости 277 твплопговодность в жидкости !гл гг дТ тепла, взятой с обратным знаком. Первое из них равно рср —, здесь должна быть взята теплоемкость ср, так как вдоль неподвижной жидкости давление должно быть, разумеется, постоянным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
