Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Приравняв это выражение — Йт и = х КТ, получим как раз уравнение (50,4). Необходимо отметить, что применимость уравнения тепло. проводности (50,4) к жидкостям практически сильно ограничена. Дело в том, что в жидкостях, реально находящихся в поле тяжести, уже малый градиент температуры приводит в большинстве случаев к возникновению заметного движения (так называемая конвекция; см. з 56). Поэтому реально можно иметь дело с неравномерным распределением температуры в неподвижной жидкости, разве только, если градиент температуры направлен противоположно силе тяжести или же если жидкость очень вязкая.
Тем не менее, изучение уравнения теплопроводности в форме (50,4) весьма существенно, так как уравнением такого вида описываются процессы теплопроводности в твердых телах, Имея это в виду, мы займемся здесь и в Ц 5!, 52 более подробным его исследованием, Если распределение температуры в неравномерно нагретой неподвижной среде поддерживается (посредством некоторых внешних источников тепла) постоянным во времени, то уравнение теплопроводности принимает вид ЛТ= О.
(50,5) Таким образом, стационарное распределение температуры в неподвнгкной среде описывается уравнением Лапласа. В более обп,ем случае, когда коэффициент х нельзя считать постоянным, вместо (50,5) имеем уравнение бпг(х77') = О. (50,6)' Если в жидкости имеются посторонние исто гникн тепла, то к уравнению теплопроводности должен быть добавлен соответствующий дополнительный член (таким источником тепла может, например, являться нагревание электрическим током). Пусть Я есть количество тепла, выделяемое этими источниками в единице объема жидкости в единицу времени; Я является, вообще говоря, функцией от координат и от времени.
Тогда условие баланса тепла, т. е. уравнение теплопроводности, напишется в виде рср — = х КТ + Я. дТ (50,7) Напишем граничные условия для уравнения теплопроводности, которые должны иметь место на границе двух сред. Прежде всего, на границе должны быть равными температуры обеих сред: Т,=т, (50,6) Кроме того, поток тепла, выходящего из одной среды, должен быть равен потоку, входящему во вторую среду. Выбирая систему координат, в которой данный участок границы покоится, можно написать это условие в виде н, ЧТ, Я=И,ЧТоЛ для каждого элемента о(1 поверхности раздела. Написав ЧТИ дт Д1 где дТ/дп — производная от Т по направлению нормали к поверхности, получим граничное условие в виде дТ~ дто н,— =но дп ' дп (50,9) Если на поверхности раздела имеются посторонние источники тепла, выделяющие количество тепла ям> на единице площади в единицу времени, то вместо условия (50,9) надо написать; н н — ям1 дт~ дто ди - дп (50,10) В физических задачах о распределении температуры при наличии источников тепла интенсивность последних обычно сама задается в виде функции температуры.
Если функция ст(Т) достаточно быстро возрастает с увеличением Т, то установление стационарного распределения температуры в теле, границы которого поддерживаются при заданных условиях (например, при заданной температуре), может оказаться невозможным. Теплоотвод через внешнюю поверхность тела пропорционален некоторому среднему значению разности температур Т вЂ” То тела и внешней среды вне зависимости от закона тепловыделения внутри тела. Ясно, что если последнее достаточно быстро возрастаег с температурой, то теплоотвод может оказаться недостаточным для осуществления равновесного состояния. В этих условиях может возникнуть тепловой взрыв: если скорости экзотермической реакции горения достаточно быстро возрастают с температурой, то при невозможности стационарного распределения возникают быстрое нестационариое разогревание вещества и ускорение реакции (И.
Н. Семенов, !923). Скорость (а с ней и интенсивность выделения тепла) взрывных реакций горения зависит от температуры в основном пропорционально множителю ехр( — (У/Т) с большой энергией активации У. Для исследования условий возникновения теплового взрыва следует рассматривать ход реакции при сравнительно незначительном разогревании вещества и соответственно этому разложить 1 т — т, о З оо1 теплопРОВОдиость а несжимхемои жидкОсти 279 теплопповодность в жидкости !гл.
н где Т,— внешняя температура. Таким образом, задача сводится к исследованию уравнения теплопроводностн с объемной ннтенснвностью псточннков тепла вида (;) =Яеехр(а(Т вЂ” То)) (50,! 1) (Д. А, Франк-Кпменецкий, 1939), — см. задачу 1. Задачи 1. В слое яещестэе между двумя пзряллельными плоскостями распределены источники тепла с объемной янтенснеиостью (50,!!). Граничные плоскости поддерживаются при постоянной температуре. Найти условие, опреде. ляющее возможность устеноэлепян стационарного распределения темйерэтуры (Д.
А Франк-Камензцкий, 1939) '). Решен не. Уравнение стеционериой теплопрояодиости и денном случае глесит: — --)е1- ! ггТ от-т ехр р с граничными условиями Т = Тр при т = 0 и к 21 (21 — ширина слоя). Вяодим безразмерные переменные т =* и(Т вЂ” Тр) и $ к11; тогда т'+ке О, к (1рп1' Интегрируя это урээнеине (умножнэ его кэ 2т') один рез, найдем; т" 2к (еъ — ет), где те в постояииэя. Последняя прелстэпляет собой, очеэидио, мексимзльиое знечеиие т, которое ввиду сямметрии ээдэчи должно достигаться посередине слоя, т.е. при с !. Поэтому еторичиое интегрирояеиие с учетом услояня т = 0 прн $ 0 дает 1 тр 1 Г а'т — р ай ю1, 112)р 3 .1/етр — ет е Произнедя ннгегрнропение, получим е т"тАгсЬе™ рч ч1 2' Определяемая этим рэяеистэом функция к(тр) ямеет максимум )р ) р прн определенном знэчеинн тр трап если )р ~ Х„, то удоэлетяоряющегогряинчным условиям решения ие сущестэуетт).
Численные знечеиня: к„= 0,33, т,„= 1,2 Р). 2. В неподвижную жидкость, э которой поддерживается постоянный греднент температуры, погружен шер. Определить позиикеющее стационарное рэспределение температуры э жидкости и шаре. ') Подробное язложеине относящихся сюда эопросон см. э кинге: франкКамемецкий Л. А диффузии и теплопередэчэ я химической кннетнке. — М.р Наука, 1967. ') Из двух корней урзэнення (1) прн к ( Хрр устойчивому рэспределенню температуры соответствует лишь меньший. ') Аналогичные знзчения длн сферической области (с ее радиусом я кэчестне длины 1) равны крр 3,32, т„р — — 1А7, е для беснонечиого цилиндре к,р 2,00 трю = 136. й бп теплопРОнОднОсть В неОГРАниченнОН сРеде йв! Р е ш е н и е.
Распределение температуры определяется во всем простраястве уравнением оТ = О с граничными условиями дТ1 дТ1 Т1 Тт, м1 — ит— дг дг при г )т (Й вЂ” радиус шара; величины с индексами 1 и 2 относятся соответственно к шару и жидкости) и условием РТ А иа бесконечности (А— заданный градиент температуры). В силу симметрии условий задачи А есть единственный вектор, которйм должно определятьсн искомое решение, такими решениями уравнения Лапласа являются сопя( Аг и сопя!А!г(1/г). Замечая, кроме того, что решение должно оставаться конечным в центре шара, ищем температуры Т1 н Тт в виде Г Т, с1Аг, Т, стА — + Аг; га постоянные с1 и с, определяются нз условий при г = )(, и в результате находим: и 51. Теплопроводность в неограниченной среде Рассмотрим теплопроводность в неограниченной неподвижной среде.
Наиболее общей постановкой задачи является следующая. В начальный момент времени ! = 0 задано распределение температуры во всем пространстве: Т=Т,(г) при 1=0, где то(г) — заданная функция координат. требуется Определить распределение температуры во все последующие моменты времени.
Разложим искомую функцию Т(г, !) в интеграл Фурье по координатам: Т(г, !)= ~ Т»(!)е1 ( „,, Т,(!)= ~ Т(г, !)е '»'срх. (61,1) Для каждой фурье-компоненты температуры, Т»е'"', уравнение (50,4) дает: ат» — + 'мтуТ» = О, откуда находим зависимость Т» от времени: Т» = Тз1,е шх1. Поскольку при ! =0 должно быть Т = Т,(г), то ясно, что Так представляет собой коэффициенты фурье-разложения функции То: То» = ~ Тз (г') е-'"е сРх'. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Э ЖИДКОСТИ !ГЛ. Р Таким образом, находим: Из! Т ~ Т (г ) а — а тзаз <з-ззз з.з О (Эл)з .
Интеграл по з!зл разбивается на произведение трех одинаковых интегралов вида ~ е- '4' соз Я ззв = ( — ) а а"", 3 где 5 — одна из компонент вектора й (аналогичный интеграл с з!п вместо соз исчезает в силу нечетности функции з)п). В ре- зультате получаем окончательно следующее выражение: з з, Т(г, !) = .„.„1 Тз(Г) ехр1 — ~ сззл'. (51,2) 4х! з Т(х, !) =, (з Тз(х') ехр à — ~ г(х'.
(51,3) Ф Пусть при 1=0 температура равна нулю во всем пространстве, за исключением одной точки (начала координат), в которой она принимает бесконечно большое значение, ио так, что полное количество тепла, пропорциональное интегралу ~ Т,(г) з(зх, остается конечным. Такое распределение можно представить б-функцией: Тз(г) = сопз( 6(г). (51,4) Интегрирование в формуле (51,2) сводится тогда просто к замене г' нулем, в результате чего получается: Т(г, !)=сопз1 зз е Чзхз 8 (их!) д С течением времени температура в точке г= О падает как (-з/з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
