Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Перейдем к задачам с другого рода граничными условиями, тоже допускающими решение уравнения теплопроводности в общем виде. Рассмотрим среду, ограниченную плоскостью х = О, через которую извне подводится поток тепла, являющийся за- твплопговодность в жидкости (гл. ч удовлетворяет и производная дТ/дх. С другой стороны, дифференцируя по х выражение (52,10), получим: с — сс дТ(х, С) ~ хе(т) ~ кс ехр с дх ) 2 (зХ)ссс (С вЂ” т)зи ( 4Х (С вЂ” с) ) Это есть функция, удовлетворяющая уравнению теплопроводности, причем с)(1) есть (согласно (52,9)) ее же значение прн х = О; очевидно, что она и дает искомое решение задачи с усло- дТ виями (52,12). Написав Т(х,() вместо — сс — и Тс(с) вместо дх с)(1), получаем таким образом: с дТ Для потока тепла сТ = — сс — через граничную поверхность дх х = О получаем после короткого преобразования: сТ (с) и ( дгс (т) дт чих (52,14) Эта формула представляет собой обращение интегрального соотношения (52,11) .
Очень просто решается важная задача, в которой на граничной поверхности х = О температура задается в течение всего времени в виде периодической функции: Т= Тое сссс при х О Ясно, что распределение температуры во всем пространстве будет зависеть от времени посредством того же множителя е-сис. Поскольку одномерное уравнение теплопроводноств формально совпадает с уравнением (24,3), определяющим движение вязкой жидкости над колеблющейся плоскостью, то по аналогии с формулой (24,5) мы можем сразу написать искомое распределение температуры в виде Т=Тссехр( — х л — ехр сх л — — ссай).
(52,15) Мы видим, что колебания температуры на граничной поверхности распространяются от нее в виде быстро затухающих в глубь среды тепловых волн. Другой тип задач теории теплопроводности представляют задачи о скорости выравнивания температуры неравномерно нагретых конечных тел, поверхность которых поддерживается при йш) теплопроводность В ОГРдниченнои сРеде 291 заданных условиях. Следуя общим методам, ищем решения уравнения теплопроводностн вида Т=Т„(г)е с постоянными )се. Для функций Т„получаем уравнение ХАТ = — ХвТп. (62,16) Это уравнение прт заданных граничных условиях имеет отличные от нуля решения лишь при определенных )с„составляющих набор его собственных значений.
Все эти значения вещественны и положительны, а соответствующие функции Т,(х, у, з)' составляют полную систему взаимно ортогональных функций. Пусть распределение температуры в начальный момент времени дается функцией Те(х, у, з). Разлагая ее по системе функций Тьс То(г) = ~х' с„Т„(г) в получим искомое решение поставленной задачи в виде Т (г, 1) = ~ с„Т„(г) е ~в'. (62,17) и Скорость выравнивания температуры определяется, очевидно, в основном тем членом этой суммы, который соответствует наименьшему из 2,„ пусть это будет )(и Время выравнивания температуры можно определить как т = 1/)1.
Задачи 1. Определить распределение температуры вокруг сферической поверхности (радиуса Я), температура которой есть заданная функция времени Те(1). Р е ш е и и е. Уравнение теплопроводности для центрально-симметрического распределения температуры в сферических координатах есть дТ Х де(гТ) дг г дгг Подстановкой Т(г, 1) = Р(г, 1)/г оно приводится к уравнению дР дгР Х д1 дг' типа одномерного уравнения теплопроводиости.
Поэтому искомое решение можно написать прямо иа основании (52,13) в виде Т (г, 1) = л(-)() 1 т() ( (-л) ) пг згг ехр 2г ('тХ) ~ (1 — т) х 4Х (1 — т) 3 2. То же, если температура сферической поверхности есть Т,е Ре ше ни е. Аналогично (52,15), получим; Т = Тее — ехр ~ — (1 — 0 (г — )1) Ч 1 — ~. -ген )с гм ) г 2Х 292 теплопроаолность В жидкОсти [ГЛ. Ч (начало координат — в одной нз вершин куба), причем 1 а' 'т =— З тт, ЯХ В случае же б) имеем Т, соз — (или такая же функция от р или з)', а причем т = аа/птХ.
4. То же для шара радиуса й, Р е ш е н и е. Наименьшему значению Х соответствует центрально-симмет- ричное решение уравнения (52,16) з1п йг Т1 г причем в случае а) й = и//2, так что 1 /[т с=в хй хп В случае же б) й определяется как наименьший корень уравнения [НИ й/[, откуда йй = 4,493, так что т = 0,050 Ят/Х. $ 53. Закон подобия для теплопередачи Процессы теплопередачи в жидкости осложняются по сравнению с теплопередачей в твердых телах возможностью движения жидкости.
Погруженное в движущуюся жидкость нагретое тело охлаждается значительно быстрее, чем в неподвижной жидкости, где теплопередача происходит только с помощью процессов теплопроводности. 0 движении неравномерно нагретой жидкости говорят как о конвенции, Будем предполагать, что имеющиеся в жидкости разности температур достаточно малы для того, чтобы ее физические свойства можно было считать не зависящими от температуры.
С другой стороны, зти разности будут предполагаться настолько большими, чтобы по сравнению с ними можно было пренебречь изменениями температуры, обусловленными выделением тепла, связанным с диссипацией знергии путем внутреннего трения (см. $55). Тогда в уравнении (50,2) может быть опушен член, содержащий вязкость, так что остается — + тгтут=х/зт, дТ д/ (53,!) где Х = н/рс — температуропроводность. Это уравнение вместе с уравнением Навье-Стокса и уравнением непрерывности пол- 3. Определить время выравнивания температуры для куба (с дливой ребра а), поверхность которого: а) поддерживается при заданной температуре Т О, б) теплоизолироваиа, Решение. В случае а) наименьшему значению Х соответствует следующее решение уравнения (52,1б): нх пр лз Т, з!п — з!п — з[п— а а а зАкОн подовия для теплОпеРедАчи постыл описывает конвекцню в рассматриваемых условиях. Ниже мы будем рассматривать стационарное конвективное движение ').
Тогда все производные по времени выпадают, н мы получаем следующую систему основных уравнений: ъ' т/Т = Х ЛТ, (ЕР)ч= — 7 ~ +чйч, б)чч=б, Р (53,2) (53,3) Из ннх можно составить две независимые безразмерные комбинации. В качестве таковых мы выберем число Рейнольдса К = = (Л/ч и число П)тандгля, определяемое как отношение Р= /х.
(53,4) Всякая другая безразмерная величина может быть выражена че- рез )с и Рв). ° ) Для того чтобы конвекция могла быть стационарной, необходимое строго говоря, чтобы в соприкасающихся с жидкостью твердых телах находились источники тепла, поддерживающие их при постоянной температуре.
') Иногда пользуются числом Пекле (Рес)а~), определяемым как У)/)Ь Оно сводится к произведению йР. В эту систему, в которой неизвестными функциями являются р, Т и р/р, входят всего два постоянных параметра: ч и )г. Кроме того, решение этих уравнений зависит, через посредство граничных условий, еще от некоторого характерного параметра длины 1, скорости 0 и характерной разности температур Т, — То.
Первые два определяют, как всегда, размеры фигурирующих в задаче твердых тел и скорость основного потока жидкости, а третий — разность температур между жидкостью и твердыми телами. При составлении безразмерных величин из имеющихся в нашем распоряжении параметров возникает вопрос о том, какую размерность следует приписать температуре. Для этого замечаем, что температура определяется уравнением (53,2), являющимся линейным и однородным по Т.
Поэтому температура может быть умножена без нарушения уравнений на произвольный постоянный множитель. Другими словами, единицы для измерения температуры могут быть выбраны произвольным образом. Возможность такого преобразования температуры может быть учтена формально посредством приписывания ей некоторой особой размерности, которая бы не входила в размерности остальных величин. Таковой является как раз размерность градуса— единицы, в которой температура обычно и измеряется.
Таким образом, конвекция характеризуется в рассматриваемых условиях пятью параметррми со следующими размерностями: ]ч] = [х] = см /с, Щ = см/с, ()] = см, (Тз — То] град. тяплопроводиость в жидкости игл. ч Что касается числа Прандтля, то оно представляет собой просто некоторую материальную константу вещества и не зависит от свойств самого потока, У газов это число†всегда порядка единицы, Значения же Р для различных жидкостей лежат в более широком интервале. У очень вязких жидкостей Р может достигать очень больших значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
