Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 63
Текст из файла (страница 63)
В предельном случае достаточно малой теплопроводности тела можно пренебречь ею вовсе и температуру каждой точки поверхности тела считать просто равной температуре жидкости в той же точке, получающейся в результате решения уравнения (55,1) с граничным условием дТ/ба=0, т. е. условием исчезновения потока тепла через поверхность тела. В обратном предельном случае достаточно большой теплопроводности тела можно приближенно потребовать одинаковости температуры во всех точках его поверхности; производная дТ/дп прн этом, вообще говоря, не обращается в нуль на всей поверхности и следует требовать исчезновения лишь полного потока тепла через всю поверхность тела (т.
е. интеграла от дТ/да по этой поверхности). В обоих этих предельных случаях коэффициент теплопроводности тела не входит явно в решение задачи; ниже мы будем предполагать, что имеем дело с одним из них. В уравнения (55,1) и (53„3) входят постоянные параметры т, У и ер и, кроме того, в их решение войдут размеры тела 1 н скорость У набегающего потока. (Разность же температур Т, — Т, не является теперь произвольным параметром, а должна сама быть определена в результате решения уравнений.) Из этих параметров можно составить две независимые безразмерные комбинации, в качестве которых выберем й и Р.
Тогда можно утверждать, что искомая разность Т, — То равна какой-либо величине с размерностью температуры (в качестве таковой выберем (Тх/сс), умноженной на функцию от й и Р: Т, — То= — 1(Р, Р). (55,2) Легко определить вид этой функции в случае очень малых чисел Рейиольдса, т. е. достаточно малых скоростей (1. Тогда член ЕЧТ в (55,1) мал по сравнению с ~ЬТ, так что уравнение (55,! ) упрощается; тнплопроводность в жидкости !гл.
и Збй (55,4) Сравнив оба выражения, приходим к результату гге т, — т,= — ((Р). е— Таким образом, н в этом случае функция / оказывается не зависящей от Я; зависимость же ее от Р остается неопределенной. (55,5) Задачи 1. Определить распределение температуры в жидкости, совершающей пуазейлевское течение по трубе кругового сечег1ия, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Тч. Р е шеи не. В ниличдрических координатах с осью е по оси трубы имеем ое=о=йа(1 — (д ) 1, где о — средняя скорость течения.
Подстановка в (бб,З) приводит к уравне- нию 1 а т «ТХ 1бдт — г гт йг аг и' Решение этого уравнения, конечное при г = О и удовлетворяющее условию т=те прис й, есть т — Тч- б' — ~1 — ( — ') 1. обеих сторон уравнения (55,3) дает к (т, — т 1 чгте Р срм Таким образом, приходим к результату, что при малых 1с це Т, — Те = сопи! Р—, ср ' где сопи! — численная постоянная, зависящая от формы тела. Отметим, что разность температур оказывается пропорциональ- ной квадрату скорости У. Некоторые общие заключения о виде функции ЦР, Я) в (55,2) можно сделать и в обратном предельном случае больших К, когда скорость н температура меняются только в узком по- граничном слое.
Пусть 6 н 6' — расстояния, на которых меняют- ся соответственно скорость и температура; 6 и 6' отличаются друг от друга множителем, зависящим от Р. Количество тепла, выделяемое в пограничном слое в единицу времени благодаря вязкости, дается интегралом (!6,3). Отнесенное к единице пло- щади поверхности тела, оно равно по порядку величины чр(У/6)тб = трУт/6. С другой стороны, это тепло должно быть равно теплу, теряемому телом н равному потоку ат то Ч = — и — Кс ап Р б 805 НАГРЕВАНЗ!Е ТЕЛА В ДВИЖУШЕ4ЛСЯ ЖИДКОСТИ 2, Определить разность температур между твердым шаром и обтекающей его жидкостью при малых числах Рейиольдса; теплопроводиость шара предполагается большой.
Решение. Выбираем сферические координаты г, О, Яз с началом в центре шара н полярной осью вдоль направления скорости и натекающего потока Вычисляя компоненты теизора доз/дхз + доз(дхз с помощью формул (15,20) и формулы (20,9) для скорости жидкости, обтекающей шар, получаем уравнение (53,3) в виде Й4 6))з 2(14 )14 — А —, (соз' О (3 — — -1- — ) + — „~, где А= — и'— 9 Р 4 ср Р(щем Т(г, О) в виде Т вЂ” 1 (Г) соз О+ я (г) и получаем после отделения частей, зависящей и ие зависящей от О, два уравнения для ( и йч Г 3))з 6))4 2)14 х гз(44+ 2Г(' — 61'= — А ( —, — — 4+ — ) 4 Г Г Г )14 гзям+ 2ГЕ'+ 2(= — А —.
гз Из первого получаем / зйзз )14 1 )зз 5 с~ пз ,'=А( — + — — )+ 'х 4гз гз 12 гз г' гз (член вида сопз1 г' опускаем как ие исчезающий иа бесконечности), после чего второе приводит к решеншо А ГЗ гсз 1 )44 1 тат сзтз сзгз е=- — ( — — + — — + — — ) — — + — '+.. 2 ~2 г' 3 г4 18 г' ) Зг' Постоянные сз, сз, сз определяются из условий Гду Т=сопз) и 1 — г'з1пОДО=О при г )1, 3 дг что зквивалеитно требоваинзо (()() =О, й'Д)+ — '('(й) =О; па бесконечности должно быть Т = Тз Находим: 5 2 с, = — — А, сз — А, сз=Тз. 3 ' 3 Для разности температур шара (Тз = Т(41) ) и жидкости (Тз) получаем: 5 и' Тз — Тз — Р—. 8 ср Заметим, что найденное распределение температуры оказывается удовлетворяющим и условию дТ(дг = 0 при г = )44, т.
е. ('()1) = й'(444) О. Позтому оио является одновременно и решением той же задачи в случае малой теплопроводиости шара. 306 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ЖИДКОСТИ 1гл. Р ф 56. Свободная коивекция (эре) (56,1) где р = — р 1(друдТ) — тегялературный коэффициент расширения жидкости ') . В давлении же р =ро+ р' величина ре не будет постоянной. Это — давление, соответствующее механическому равновесию при постоянных (равных Те и ре) температуре и плот. ности. Оно меняется с высотой согласно гидростатическому 1) Будем полагать, что р Р О. Мы видели в $3, что если в находящейся в поле тяжести жидкости имеет место механическое равновесие, то распределение температуры в ней должно зависеть только от высоты г: Т= Т(з). Если же распределение температуры не удовлетворяет этому требованию, являясь в общем случае функцией всех трех координат, то механическое равновесие в жидкости невозможно.
Больше того, даже если Т = Т(г), то механическое равновесие все же может оказаться невозможным, если вертикальный градиент температуры направлен вниз и по абсолютной величине превышает определенное предельное значение Ц 4). Отсутствие механического равновесия приводит к возникновению в жидкости внутренних течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная температура. Такое возникающее в поле тяжести движение называют свободной конвекцией. Выведем уравнения, описывающие конвекцию.
Мы будем рассматривать жидкость как несжимаемую. Это значит, что давление предполагается достаточно мало меняющимся вдоль жидкости, так что изменением плотности под влиянием изменения давления можно пренебречь. Например, в атмосфере, где давление меняется с высотой, это значит, что мы не будем рассматривать слишком высоких ее столбов, в которых изменение плотности с высотой становится существенным, Что же касается изменения плотности благодаря неравномерной нагретости жид. кости, то этим изменением, конечно, нельзя пренебречь, Именно оно приводит к появлению сил, вызывающих конвекционное движение. Напишем переменную температуру в виде Т = То+ Т', где Т, есть некоторое постоянное среднее значение, от которого отсчитывается неравномерность температуры Т'.
Будем предполагать, что Т' мало по сравнению с Т,. Плотность жидкости тоже напишем в виде р = ро+ р' с постоянным р,. Ввиду малости изменения температуры Т' мало также и вызываемое нм изменение плотности р', причем можно написать: СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ уравнению ра = розг + сопз1 = — рода + сопз1, (56,2) где 6 — характерная разность температур. Начнем с преобразования уравнения Навье — Стокса, которое при наличии. поля тяжести имеет вид — +(вЧ)»= — — +тбв+ й. дт Чр дг получающийся добавлением к правой стороне (15,7) действующей на единицу массы силы и. Подставим сюда р =ро+ р', р = ро+ и'.
С точностью до малых первого порядка имеем: ЧР Чро о ЧР Чро г Ро о Ро или, подставляя (56,1) и (56,2): — =~+ — +ат р Р Ро Подставляя это выражение в уравнение Навье-Стокса и опуская индекс у ро, получаем окончательно: д + (ВЧ) и = — Ч вЂ” + т гзи — (1КТ'. до (56,4) В уравнении теплопроводности (50,2) член, содержащий вязкость, прн свободной конвекцнн, как можно показать, мал по сравнению с другими членами уравнения и потому может быть опущен.
Таким образом, получаем: дт + ч Чт'=тбт'. дг (56,5) Уравнения (56,4) и (56,5) вместе с уравнением непрерывности б)чт=0 представляют собой полную систему уравнений, опи- сывающих свободную конвекцию (А. ОЬегЬесй, 1879; Х. Воизз(- чезд, !903), где координата е отсчитывается вертикально вверх. В столбе жидкости высотой Ь гидростатический перепад давления составляет ройй.
Этот перепад приводит к изменению плотности на -рдй/сг, где с — скорость звука (см. ниже (64,4) ). Согласно условию, это изменение должно быть пренебрежимо, причем не только по сравнению с самой плотностью, но и по сравнению с ее тепловым изменением (56,1). Другими словами, должно удовлетворяться неравенство йй/сг «66, (56,3) теплоппоподность В жидкости 308 1гл. у Для стационарного двнження уравнення конвекцнн принимают внд (чг/) ч= — и — — й(!Т'+ УЛУ, ч и Т' = Х гзт б! ч ч = О. (56,6) (56,7) (56,8) В эту систему пяти уравнений, определяющих неизвестные функции ч, р'/р, Т', входят трн параметра: у, у н пй.
Кроме того, в нх решение входят характерная длина й н характерная разность температур 8. Характерная скорость теперь отсутствует, поскольку никакого вынужденного посторонними прнчннами движения нет, н все течение жидкости обусловливается ее неравномерной нагретостью. Из этих величин можно составить две независимые безразмерные комбинации (напомним, что температуре надо нрн этом приписывать особую размерность— см. $53) В качестве ннх обычно выбирают число Прандтля Р =у/т н число Ралея '): Я= —.
~Вел' УХ (56,9) Число Прандтля зависит только от свойств самого вещества жидкости; основной же характеристикой конвекцнн как таковой является числа Рэлея. Закон подобия для свободной конвекцнн гласит ч= — 1( — „, Я, Р), Т=87( —,, Я, Р). (56,10) Задачи 1. Привести к решению обыкновенных дифференциальных уравнений задачу об определении числа Нуссельта при свободной конвеюзни у плоской вертикальной стенки. Предполагается, что скорость н разности температур заметно отличны от нуля лишь в топком пограничном слое у поверхности стен.
кн (Е. РоШЬаигеп, 1921). ') В литературе используется также число Грассгогра: П ° Нйойг)уз йй!Р. Два течении подобны, если нх числа Я н Р одинаковы. Тепло- передачу прн конвекцнн в поле тяжести характеризуют числом Нуссельта, по-прежнему определенным согласно (53,7). Оно является теперь функцией только от Я н Р. Конвектнвное движение может быть как ламннарным, так н турбулентньгм. Наступление турбулентности определяется числом Рэлея — конвекцня становится турбулентной прн очень больших значениях Я.
своводная конвнкыия де„ до, — "+ — "=О дх ду с граничными условиямн о, = »„ = О, Т = Тг прн у = О; е =О, Т Та при у=ее (Т, — температура стенки, Та — температура жидкости вдали от степин). Этн уравнения могут быть преобразованы в обыкновенные дифференциальные уравнения введением в качестве иезавнсямой переменной величины 5 с! — „, с= У УВ (Т вЂ” та) Ьз (2) (4ХЬз)'!4 ' (Ь вЂ” высота степин). Полагаем: ох = з!т С чух Ч~' Я), Т вЂ” Те (Т1 — Те) 0 (й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
