Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Далее, отодвигая плоскость х =ха достаточно далеко вперед от тела, будем иметь на ней очень малые значения скорости у, так что интегралом от р(п'„— и'„— о',)/2 по этой плоскости можно пренебречь. Наконец, при обтекании хорошо обте. каемого крыла скорость и, вне следа мала по сравнению с и„ и и,. Поэтому в интеграле по плоскости х=хз можно пренебречь пз по сравнению с пз+ п',. Таким образом, получим: Р„= Р ~~ (пз+ п",) г()уг(х, (47,3) ') Формула (47,3) может создать впечатление, что порядок величины скоростей о„, о, вообще не убывает с расстоянием х. Это действительно так до тех пор, пока толщина следа мала по сравнению с его шириной, что н предполагалось при выводе Формулы (47,3).
На очень больших расстояниях позади крыла след в конце концов расширится настолько, чго его сечение станет примерно круговым. Формула (47,3) здесь уже неприменима, а о„, о, будут быстро убывать с увеличением расстояния, где интегрирование производится по плоскости х = сопп(, расположенной на большом расстоянии позади тела, причем сечение следа исключается из области интегрирования'). Вычисленное таким образом сопротивление хорошо обтекаемого крыла можно выразить через ту же циркуляцию скорости ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ 1ГЛ.
1У значение ф, а в квадратных скобках стоит заданный скачок про- изводной от ф по направлению нормали к контуру'). В нашем случае контуром интегрирования является отрезок осн г, так что для значений функции ф(у, г) на оси г можно написать: тр(0, г)= — ~~( — ) — ( — Ц!п(г — г'!гзг— — — )п ! г — г ! 1хг . 1" НГ(з') г l (7,. Ргапг)11, 1918). Длина размаха крыла обозначена здесь посредством 1, 1, а начало отсчета г выбрано на одном из его концов. Если увеличить все размеры по оси г в некоторое число оаз (при неизменных Г), то интеграл (47,4) не изменится а).
Это показывает, что полное индуктивное сопротивление крыла не изменяется по порядку величины прн увеличении его размаха. Другими словами, индуктивное сопротивление, отнесенное к единице длины крыла, падает с увеличением этой длинна). В противоположность сопротивлению полная подъемная сила Ра — — — р(7 ~ Г 1тг (47,5) ') Эта формула определяет в двухмерной теории потенциала потенциал, создаваемый заряженным плоским контуром с плотностью заряда, равной ') Во избежание недоразумений отметим, что тот факт, что при изменении единиц измерения длины стоящий под знаком интеграла логарифм увеличивается на постоянную, несуществен.
Действительно, интеграл, отличающийся от написанного тем, что в ием вместо 1п(з — а'! стоит сопз1, все рав- ( ЛГ ио равен нулю, так как ) — г(я=Г(=О (на краях следа Г обращается 3 лк в нуль). з) В пределе, при стремлении размаха к беснонечности, отаесеиное к единице длины индуктивное сопротивление обращается в нуль. В действительности при этом остается небольшое сопротивление, определяющееся расходом жидкости (т. е. интегралом ~ ~ о» г(у оа) в следе, которым мы пренебрегли при выводе формулы (47,3); это сопротивление включает в себя кан сопротивление трения, так н остающуюся часть сопротивления, связанного с днсси. нацией в следе.
Наконец, подставляя зто в Рю получим окончательно для индуктивного сопротивления следующую формулу: Р = — ~ ~ —, !П(г — г 111гг)г (47,4) р 1 Р г(Г (х) г(Г (з ) » 4п З З г(х г(з' оо инлуктипное соппотиплении растет примерно пропорционально размаху крыла, а отнесенная к единице длины — остается постоянной.
Для фактического вычисления интегралов (47,4) и (47,6) удобен следующий метод. Вместо координаты х вводим новую переменную 8 согласно х= — (1 — созО), 0(0(и. (47,6) з ! Здесь выполнено условие Г = 0 на концах крыла, т. е. при я=О, 1 или 0 =0, л. Подставив это выражение в формулу (47,5) и производя интегрирование (учитывая при этом взаимную ортогональность функций з)п О и з1п пе с и чь! ), получим: Таким образом, подъемная сила зависит только от первого коэффициента в разложении (47,?). Для коэффициента подъемной силы (46,2) имеем: Сз —— НХА„ (47,8) где введено отношение А = )/)„размаха крыла к его ширине.
Для вычисления сопротивления перепишем формулу (47,4), произведя в ней однократное интегрирование по частям; г с а о (47,9) Стоящий здесь интеграл по сГе' должен быть взят, как легко видеть, в смысле его главного значения. Элементарное вычисление с подстановкой (47,7)') приводит к следующей формуле для ') При иитегрирозаиии по с)г' яриходнтся брать интеграл (глазное значение) соз лВ' „ , и з!п пВ в' — е ®В мне о При интегрироиаиии же по оз пользуемся тем, что вм вле-~~ Гл/2 при л = (и, при лчьгл, Распределение же циркуляции задается в виде тригонометрического ряда Г = — 2И 2„А„з1п пе. (47,7) ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ [ГЛ. Ю коэффициента индуктивного сопротивления: С„=Й)с ~ лАп (47,19) Коэффициент сопротивления крыла мы определяем как (47,11) относя его, как и коэффициент подъемной силы, к площади кры- ла в плане.
Задача Определить мивимальное значение индуктивного сопротивления, которое может быть достигнуто при заданных подъемной силе и размахе крыла 1. з Решение. Иэ формул (47,8) и (47,10) ясно, что минимальное значение С, прн заданном С„(т.е. заданном Аг) достигается, если равны нулю все А, с и чь 1. При этом с — с. ! люя к)г К Распределение же циркуляции по размаху крыла дается формулой à — — 01 С Ч/г(1 — г) . 4 м! г в (2) Если длина размаха достаточно велика, то движение жидкости вокруг каждога сечения крыла приближенно соответствует плоскому обтеканию беско.
нечка длинного крыла с таким профилем сечения. В этом случае можно утвер. ждать, что распределение (2) циркуляции осуществляется при эллиптической в плане (в плоскости х, г) форме крыла с полуосями 1,12 и 1)2. ф 48. Подъймная сила тонкого крыла Задача о вычислении подъемной силы крыла сводится по теореме Жуковского к задаче о вычислении циркуляции Г. Эта задача может быть решена в общем виде для хорошо обтекаемого э' тонкого крыла бесконечного размаха, с постоянным вдоль размаха профилем сечения (излагаех мый ниже метод решения принадлежит М.
В. Келдьсигу и Л. О. Седову, 1939). Пусть и = Ь!(х) и у = Рис. 87 =ья(х) — уравнения нижней н верхней частей контура сечения (рис. 37). Мы предполагаем, что этот профиль тонкий, слабо изогнутый и наклонен к направлению обтекания (осн х) под малым углом атаки; другими словами, ПОЛЪВМНАЯ СИЛА ТОНКОГО КРЫЛА 2ат % 48! Для решения поставленной задачи прежде всего представим искомое поле скоростей о(х, у) в виде суммы т = о++ Р- двух распределений, обладающих следующими свойствами симметрии: о„(х, — у)=о, (х, у), о„(х, — у)= — о„(.к, у), (48,3) о+ (х, — у) = — о+ (х, у), о~ (х, — у) = о+ (х, у). Эти свойства (для каждого из распределений Р— и Р+ в отдельности) не противоречат уравнениям непрерывности и потенциальности, и ввиду линейности задачи эти распределения можно искать независимо друг от друга.
Соответственно представится в виде суммы го' = го+ + ш также и комплексная скорость, причем граничные условия на отрезке (О, а) для обоих членов суммы гласят; 1гп ' 1„, + = 1ш ш+ 1„, „= — 2 (ь', + ~'), 1ш ~' (Р,+, = — 1ш ~' 1„, а = 2 (г,', — ~',). (48,4) Функция ш' может быть определена с помощью формулы Коши: д м ($) Ь малы как сами Ьь ьм так и производные Ьп ~,', т. е. нормаль к контуру направлена везде почти параллельно оси у. При этих условиях можно считать возмущение тг скорости жидкости, вызываемое присутствием крыла, везде (кроме лишь малой области вблизи передней закругленной кромки крыла) малым по сравнению со скоростью натекания К Граничное условие на поверхности крыла гласит оР/О = ~' при у = Ь.
В силу сделанных предположений можно потребовать его выполнения не при у= ~, а при у=О. Тогда на отрезке оси абсцисс от х= О до х= = 1, = — а должно быть: о„=Уь,'(х) при у- +О, о =Уь',(х) при у- — О. (48,1) Имея в виду применить методы теории функций комплексного переменного„вводим комплексную скорость г(гг/Ж = =о,— (о„(ср. 5 10), представляющую собой аналитическую функцию переменной г=х+(у, В данном случае на отрезке (О, а) оси абсцисс эта функция должна удовлетворять условию ГГГР 1ш — „= — УЬ,'(х) при у — Р+ О, (48,2) !гп — „= — Е/ь',(х) при у-+ — О. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ~ГЛ.
ИС где интегрирование производится в плоскости комплексного переменного $ по окружности Ь малого радиуса с центром в точке я= з (рис. 38), Контур Ь можно заменить окружностью С' бесконечно большого радиуса и обходимым по часовой стрелке контуром С; последний может быть стянут к дважды пробегаемому отрезку (О, а). Интеграл по С' обращается в нуль, так кака'(г) исчезает на бесконечности. Интеграл же по С дает следуюшее выражение: а и р ~,'(й)-~',а са д$. (48,5) 2лз й — с О При этом мы воспользовались предельными значениями (48,4) мнимой части са на отрезке (О, а) и тем, что согласно условиям симметрии (48,3) Рас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
