Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 51
Текст из файла (страница 51)
ниже). Таким образом, значение градиента скорости Ыи/с(у на каждом расстоянии от стенки должно определяться постоянными параметрами р, и и, разумеется, самим расстоянием у. Единственной комбинацией требуемой размерности, которую можно составить из р, о и у, является (и/р) пз/у. Поэтому должно быть (42,1) ду му ' где введена удобная для дальнейшего величина и, (с размерностью скорости) согласно определению и = ро,, (42,2) а и — числовая постоянная (постоянная Кармана).
Значение и не может быть вычислено теоретически и должно быть определено из эксперимента. Оно оказывается равным ') я=0,4. (42,3) ') Излагаемые в 4$42 — 44 результаты пряяадлеисат Т. Клрмаау (19301 я Л. Праидглю (1932). з) Это зиачеиие (п зиачевие епге одной постояивой в. формуле (4цй) явке) получено яз результатов измерений профиля скороств вблизи степов труб в примоугольиых каналов я в пограипчвом слое ва плосквх степках. логАРАФмичяскии пРОФиль скОРОстеп Интегрируя соотношение (42,1), получим: и= — „' (1пу+е), (42,4) где е — постоянная интегрирования. Для определения этой по.
стоянной нельзя воспользоваться обычными граничными условиямн на поверхности стенки: прн у=О первый член в (42,4) обращается в бесконечность. Причина этого заключается в том, что написанное выражение становится в действительности неприменимым на очень малых расстояниях от стенки, поскольку при очень малых у влияние вязкости делается существенным н им нельзя пренебрегать. Условия на бесконечности тоже отсутствуют: при у =ОО выражение (42,4) тоже делается бесконечным. Это связано с тем, что в поставленных нами идеализированных условиях задачи фигурирует бесконечная поверхность стенки, влияние которой простирается поэтому и иа бесконечно большие расстояния.
Прежде чем определить постоянную е, укажем предварительно на следующую существенную особенность рассматриваемого движения: оно не имеет никаких характерных постоянных параметров длины, которые могли бы определить масштаб турбулентного движения, как это имеет место в обычных случаях. Поэтому основной масштаб турбулентности определяется самим расстоянием у: турбулентное движение на расстоянии у от стенки имеет основной масштаб порядка величины у. Что же касается пульсационной скорости турбулентного движения, то она — порядка величины о„. Это тоже следует непосредственно из соображений размерности, поскольку о„ вЂ” единственная величина с размерностью скорости, которую можно составить из имеющихся в нашем распоряжении величин О, р, у. Подчеркнем, что в то время как средняя скорость падает с уменьшением у, порядок величины пульсационной скорости оказывается одинаковым на всех расстояниях от стенки.
Этот результат находится в согласии с общим правилом, что порядок величины пульсационной скорости определяется изменением Ли средней скорости ($ ЗЗ). В рассматриваемом случае нет характерных длин 1, на которых можно было бы брать вэменение средней скорости; Ьи должно быть теперь разумным образом определено, как изменение и при изменении расстояния у на величину порядка его самого. Но при таком изменении у скорость и меняется согласно (42,4) как раз на величину порядка о„. На достаточно малых расстояниях от стенки начинает играть роль вязкость жидкости; обозначим порядок величины этих расстояний посредством ум Определить уэ можно следующим образом.
Масштаб турбулентного движения на этих расстояниях— порядка ум а скорость — порядка о„. Поэтому число Рейнольдса, характеризующее движение иа расстояниях ум есть Й -~ ПОГРАИИЧНЫИ СЛОЙ !Гл. !у узи„/ч. Вязкость начинает играть роль при К ° 1. Отсюда находим, что уз у/пег (42,5) откуда а пз и= — у= — 'р. рт (42,6) Таким образом, непосредственно к стенке прилегает тонкая прослойка жидкости, в которой средняя скорость меняется по линейному закону. Величина скорости во всей этой прослойке мала — она меняется от нуля на самой стенке до значений рч при у уе. Эту прослойку называют вязким подслоехг. Никакой сколько-нибудь резкой границы между вязким подслоем и остальным потоком, конечно, нет; в этом смысле понятие о вязком подслое имеет лишь качественный характер Подчеркнем, что и в нем движение жидкости турбулентно '), В дальнейшем движением в вязком подслое мы не будем интересоваться вовсе.
Наличие его надо учесть только соответствующим выбором постоянной интегрирования в (42,4): она должна быть выбрана так, чтобы было и — оч на расстояниях у уз. Для этого надо положить с= — )пус, так что и = — !и —. з, рп, м т (42,7) Эта формула определяет (при ограниченных у) распределение скоростей в турбулентном потоке, текущем вдоль твердой стенки, Такое распределение называгот логарифмическим профилем скоростей х). В формуле (42,7) под знаком логарифма должен был бы на самом деле стоять еще некоторый числовой коэффициент. В написанном виде она имеет, как говорят, лишь логарифмическую точность Это значит, что аргумент логарифма предпола- г) В этом смысле все еще нногда прнменяемое название члампнэрного полслова не адекватно.
Сходство с ламннарным дввженнем заключается только в том, что средняя скорость распределена пз такому же закону, по которому была бы распределена истинная скорость прв ламннзрном двнжевнн в тех же условиях. Пульсацнонное движение в вязком подслое обнаружнаает своеобразные особенностн, не нмеющне еще адекватной теоретической ентерпретацня. ') Изложенный простой вывод логарифмического профнля дак Л. Д. Лала)ар (1944). чем н определяется интересующее нас расстояние. На расстояниях у ~ уз движение жидкости определяется обычным вязким трением.
Распределение скоростей здесь может быть получено прямо из обычной формулы для вязкого трения: з)и а=рч —, г)р ' логлоиомичяскив поооиль скороствв 247 гается настолько большим, что и сам логарифм велик. Введение небольшого численного коэффициента под знаком логарифма в (42,7) эквивалентно прибавлению к написанному выражению дополнительного члена вида сопз1 о„ где сопз1 — число порядка единицы; в логарифмическом приближении таким членом пренебрегается по сравнению с членом, содержащим большой логарифм.
Фактически, однако, аргумент логарифма в рассматриваемых здесь и ниже формулах все же не очень велик, а потому и точность логарифмического приближения не высока. Точность этих формул можно повысить, вводя эмпирический численный множитель в'аргумент логарифма, или, что то же самое, прибавляя к логарифму эмпирическую постоянную. Так, более точная формула для профиля скоростей имеет вид: и = о.
(2,5 1и — "" + 5,1) = 2,5о. )п б" ' . (42,8) Отметим, что обе формулы (42,6) и (42,8) имеют вид: и = о,) ($), 9 = уо,/ч, (42,9) где /($) — универсальная функция. Это — прямое следствие того, что $ — единственная безразмерная комбинация, которую можно составить из имеющихся в нашем распоряжении параметров р, а, ч и переменной у. По этой причине такого рода зависимость должна иметь место на всех вообще расстояниях от стенки, в том числе в области, промежуточной между областями применимости формул (42,6) и (42,8). На рис.
31 приведен график функции /($) в полулогарифмическом (десятичном) масштабе. Сплошные линии / и 2 отвечают соответственно формулам (42,6) и (42,8); штриховая кривая — эмпирическая зависимость в промежуточной области (она простирается примерно от $ сы б до 9 ж 30). Легко определить диссипацию энергии в рассматриваемом турбулентном потоке. Величина о представляет собой среднее значение компоненты Пси тензора плотности потока импульса. Вие вязкого подслоя в П „можно опустить член с вязкостью, так что П,„= ро о„. Введя пульсационную скорость ч' и помня, что средняя скорость направлена по оси х, имеем о„ = и + о„', о„= о„'. Тогда ') о = р(о,о„) =* р(о',о'„) + ри (о„') = р (о,'о'). (42,10) Далее, плотность потока энергии в направлении оси у равна (р+ рое/2) ое (здесь тоже опущен вязкий член). Написав ') Теиьор потока импульса, переиосиыото турбулентными пульсациями, Вааывают теваороы рейнольдсоеыл нанряаеенпй; ето повятве было авелево Рейноаьдсом (О.
йерноЫе, )996). ПОГРАНИЧНЫЯ СЛОЯ 1ГЛ. Ог о2=(и+ о„')'+ о„"+ о,' и усреднив все выражение, получим (р'о'„) + о (о'„'о' + о'2+ о",о') + ри (о'„о'„). Здесь достаточно сохранить только последний член. Дело в том, что пульсационная скорость — порядка величины о, и потому И " Иа В2 ИФ 2Р Рис. 31 (с логарифмической точностью) мала по сравнению с и. Что касается давления, то его турбулентные пульсации р' ро.' и потому с той же точностью первый член в написанном выражении тоже может быть опущен. Таким образом, находим для среднеИ плотности потока знергнп: (9) = ри (о„'о'„) = ио. (42,11) По мере приближения к поверхности стенки этот поток уменьшается, что связано как раз с диссипацией энергии. Производная 2((21)/ду дает диссипацию в единице объема жидкости, а разделив ее на р, получим диссипацию в единице массы: Рз 1 о 222 = —.' = —.Н (42,12) До сих пор мы предполагали, что поверхность стенки достаточно гладкая.
Если же поверхность шероховата, то выведенные формулы могут несколько измениться. В качестве меры шерохо- тггвхлентнов течение в тгхвлх и= — !и —. У н И' (42,13) $ 43, Турбулентное течение в трубах Применим теперь полученные результаты к турбулентному течению жидкости по трубе. Вблизи стенок трубы (на расстояниях, малых по сравнению с ее радиусом а) ее поверхность можно приближенно рассматривать как плоскую и распределение скоростей должно описываться формулой (42,7) или (42,8), Однако ввиду медленного изменения функции 1пу можно с логарифмической точностью применить формулу (42,7) и к средней скорости У течения жидкости в трубе, написав в этой формуле вместо у радиус а трубы: У = — '1и — '.
«ИО н « (43, 1) Под скоростью 0 мы будем подразумевать количество (объем) жидкости, протекающей в 1 с через сечение трубы, деленное на площадь этого сечения: У = Я(рва'. Для того чтобы связать скорость У с поддерживающим течение перепадом давления Лр/1 (Лр — разность давлений на концах трубы с длиной 1), замечаем следующее. Действующая на все сечение потока жидкости в трубе движущая сила есть па'Ьр. Эта сила идет на преодоление трения о стенки. Поскольку отнесенная к единице площади стенки сила трения есть п=рв'„ ватости стенки можно выбрать порядок величины выступов ше-' роховатости, которые мы обозначим посредством ~(. Существенна сравнительная величина Ы и толщина подслоя уь Если толщина уз велика по сравнению с Н, то шероховатость вообще не существенна; это и подразумевается под достаточной гладкостью стенки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
