Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В рассматриваемом приближении можно положить просто — =О, др ду ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЯ Граничные условия к зтим уравнениям требуют обращения в нуль скорости на стенке; о =и„=О при у=О. (39,7) Прн удалении от стенки продольная скорость должна асимптотически приближаться к скорости основного потока: и»= (!(х) при у-био (постановка же отдельного условия для о„на бесконечности не требуется). Можно легко показать, что уравнения (39,5 — 6) (выведенные для обтекания плоской степки) остаются справедливыми и в более общем случае двухмерного обтекания тела (поперечное обтекание бесконечно длинного цилиндра произвольного сечения). При атом х есть расстояние, отсчитываемое по длине линии контура поперечного сечения тела от некоторой его точки, а у— расстояние от поверхности тела (по нормали к ней).
Пусть Уе — характеристическая скорость данной задачи (на-' пример, скорость на бесконечности натекающего на тело потока жидкости). Введем вместо координат х, у и скоростей о„ о» безразмерные переменные х', у', и„', и„' согласно определениям: !у и,и„' х =!х' у ==, и„=У о„' о„==" (39,9) „ф' к ок' к „Я (и соответственно полагаем У = УоУ ), где К = —. Тогда уравгг,! У пения (39,5 — 6) принимают вид дик, д»„д~е„, д0 до до„ о,' — ', + о' — ", — —,", = У' —,, —; + — ", = О, (39,10) дк' " ду' ду' дк' дк' ду' Эти уравнения (а также и граничные условия к ним) не содержат вязкости, Это значит, что их решения не зависят от числа Рейнольдса. Таким образом, мы приходим к важному результату: при изменении числа Рейнольдса вся картина движения в пограничном слое подвергается лишь подобному преобразованию, прн котором продольные расстояния и скорости остаются.
неизменными, а поперечные меняются обратно пропорционально корню из К. Далее, можно утверждать, что получаю!циеся в результате решения уравнений (39,10) безразмерные скорости о'„, о„', как не зависящие от й, должны быть порядка величины единицы. Ив формул (39,9) можно, следовательно, заключить, что о„° У,/ ~/Ц, (39,11) т. е. отношение поперечной скорости к продольной обратно пропорционально А/К То же самое относится к толщине ло- погялничныи слои игл. м граничного слоя б: в безразмерных координатах х', у' толщина б' ж 1, а в реальных координатах х, у: б 1/ ъ/%. (39,12) Применим уравнения пограничного слои к обтеканию плоской полубесконечной пластинки плоско-параллельным потоком жидкости (Н. В1аз(из, 1908).
Пусть пластинка совпадает с полу- плоскостью хг, соответствующей х ) 0 (так что передним краем пластинки является линия х=О). Скорость основного потока в этом случае постоянна: (! = сопз1. Уравнения (39,5 — 6) принимают внд: д"» д»» д "» д" » д»у и — '+ и — "= ч — ', — "+ — "=О. (39!3) "д»» ду ду' ' д» ду В решениях уравнений Прандтля величины и»/(! и п„(11Ут) и' могут быть, как мы видели, функциями только ог х'=х/1 и у'=у((1/1т) Пз. Но в задаче о полубесконечной пластинке нет никаких характерных параметров длины 1. Поэтому и»/(1 может зависеть только от такой комбинации х' и у', которая не содержала бы 1; таковой является у' ./О ч/Р 'Ч»» ' дФ д$ и = — ° и ду ' У д» (39, 14) Указанным выше свойствам функций о„(х,у) и п»(х,д) отвечает функция тока вида ф=~/хы~l)($), я=у ~1/ — „.
(39,15) Тогда 1 ($), (39,16) 2 ~/ » /и Уже без количественного определения функции (($) можно сделать следующий существенный вывод. Основной характеристикой движения в пограничном слое является распределение в нем продольной скорости о» (поскольку оу мала). Эта скорость возрастает от нуля на поверхности пластинки до определенной доли (! прн определенном значении $. Поэтому можно заключить, что толщина пограничного слоя на обтекаемой пла- Что же касается п„, то здесь функцией от у'/т/х~ должно быть произведение о„ Ч/х'. Чтобы сразу учесть связь между п и и„, выражаемую уравнением непрерывности, введем функцию тока ф согласно определению (10,9): ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ стинке (определенная как значение у, на котором о,/с7 достигает определенного значения — 1) — порядка величины 6- 1/хну.
(39,!7) Таким образом, толщина пограничного слоя возрастает пропорционально корню из расстояния от края пластинки, Подставив (39,16) в первое из уравнений (39,13) получим уравнение для функции !($): 1!" + 2Г'" = О. (39,18) Граничные же условия (39,7 — 8) запишутся в виде 1(0) = Г (0) = О, !'(ОО) = 1 (39,19) (распределение скоростей, очевидно, симметрично относительно плоскости у = 0; поэтому достаточно рассмотреть сторону у ) О). Уравнение (39,!8) должно решаться численными методами. График получающейся таким образом функции ~'(Ц изображен на г! йоо д 1 2 3 Ф з РИС 27 рис.
27. Мы видим, что ~'($) весьма быстро стремится к своему предельному значению — к единице. Предельный вид самой функции !Д) прн малых $: ! ($) = — а$'+ О ($'), а = 0,332; (39,20) членов с КА н $' в этом разложении не может быть„в чем легко убедиться из уравнения (39,18). Предельный же внд функции при больших $." ! (5) = $ — р„!) = 1,72, (39,21) причем погрешность этого выражения, как можно показать, экспоненциально мала. Сила трения, действующая на единицу площади поверхности пластинки, равна ол„=т~ — „' ~ = т)( — ) 7" (О) сгл. Пг ПОГРАННЧНЫИ СЛОИ ИЛИ пля 0,332 чу— (39,22) Если пластинка имеет длину 1 (вдоль оси х), то полная действующая на нее сила трения (отнесенная к единице длины вдоль края пластинки) равна с Р 2 ~ и, г(х = 1,328 т~йр1(уа о (39,23) В качестве точно определенной характеристики толщиныпограничного слоя можно ввести так называемую голи(мну вытеснения 6" согласно определению Уб'= ~ (У вЂ” ья)г(у.
о (39,26) Подставив сюда О из (39,!6), пишем: (ят '=М'У: 1 (! -Г)а= Ч У." В-~()),, о и с учетом предельного выражения (39,21): 6'-6 ~,~+ =1.72 ~/ — "„" . (39„27) Выражение в правой стороне определения (39,26) есть «дефицит» расхода жидкости в пограничном слое по сравнению с тем, что было бы в однородном потоке со скоростью К Поэтому мож- г! Приближение пограничного слоя неприменимо у переднего края пла. стиики где б~ ~х. Это обстоятельство, однако, несунгествеино при вычислении полно!Г силы г" ввиду быстрой скодимоети нитеграиа иа нижнем пределе.
(множитель 2 учитывает наличие двух сторон пластинки)'). Отметим, что сила трения оказывается пропорциональной полуторной степени скорости натекающего потока. Формула (39,23) применима, конечно, только для длинных пластинок, для которых число К = И/т достаточно велико. Вместо силы обычно вводят коэффициент сопротивления как безразмерное отношение (39,24) Согласно (39,23) эта величина при ламинарном обтекании пластинки обратно пропорциональна корню из числа Рейнольдса: С = 1,328К (39,25) ЛАМККАРКЫИ ПОГРАКНЧНЫИ СЛОИ % м! но сказать, что б' есть расстояние, на которое обтекающий поток оттесняется наружу от пластинки из-за замедления жидкости в пограничном слое.
С этим оттеснением связано и то обстоятельство, что поперечная скорость п„ в пограничном слое стремится при у-Роо не к нулю, а к конечному значению .„=-, ~ — [3~ -Л,„=-,~/ — „-О,йб ~' —,. (39,23) Полученные выше количественные формулы относятся, конечно, только к обтеканию пластинки. Качественные же резуль'таты (такие как (39,11 — !2)) справедливы и для обтеканиятела произвольной формй, прн этом под ! надо понимать размеры тела в направлении обтекания. Упомянем особо еще о двух случаях пограничного слоя, Если плоский диск (большого радиуса) вращается вокруг оси, Иерпендикулярной его плоскости, то для оценки толщины пограничного слоя надо подставить в (39,!7) Их вместо (7 (И— угловая скорость вращения).
Тогда находим: б (т/И) '~', (39,29) Мы видим, что толщину пограничного слоя можно считать постоянной вдоль поверхности диска (в согласии с полученным в $ 23 точным решением этой задачи). Что касается действующего на диск момента сил трения, то расчет с помощью уравнений пограничного слоя приводит, конечно, к формуле (23,4), поскольку эта формула является вообще точной и потому относится к ламинарному движению при любых К. Наконец, остановимся на вопросе о ламинарном пограничном слое, возникающем на стенках трубы вблизи места входа жидкости в нее. Жидкость вступает в трубу обычно с распределением скоростей, почти постоянным по всему поперечному сечению, н падение скорости происходит только в пограничном слое. По мере удаления от входа начинают тормозиться слои жидкости все ближе к оси трубы, Поскольку количество протекающей жидкости должно оставаться постоянным, то наряду с уменьшением диаметра внутренней части течения (с почти постоянным профилем скоростей) происходит одновременное его ускорение.
Так продолжается до тех пор, пока асимптотнчески пе устанавливается пуазейлевское распределение скоростей, которое, таким образом, имеет место только на достаточно большом расстоянии от входа трубы. Легко определить порядок величины длины ! этого так называемого начального участка течения.
Он определяется тем, что на расстоянии! от входа толщина пограничного слоя делается порядка величины радиуса а трубы, так что пограничный слой как бы заполняет собой все ее сечение. (гл. Пг ПОГРАННЧНЫЯ СЛОН Полагая в (39,17) х ( н б — а, получим: ! — и и/ — ай. (39,30) Таким образом, длина начального участка пропорциональна числу Рейнольдса '). акиачн тоже инвариаитном относительно укаэанного преобразования. Иэ уравнения непрерывности (39,6) находим, что 1, Ц, после чего иэ [39,5) получаем ддя функпнн ((3) уравнение: — !" 1 — !з. О (1) Г аничные условия (39,8) означают, что должно быть ((О) О, !(оо) 1.
ервый интеграл уравнения (1) есть ! 1 — — + сопз1. рта, !з 20 3 Поскольку при 5-~-оз функпня ! стремнтсн к едннние, то мы видим, что н !' стремится к определенному пределу, н ясно, что этот предел может быть только нулем. Определяя отсюда сопИ, находим — !" = — — (! — 1) з (! + 2).
рта , 1 2О 3 (2) ~) В этой книге не излагается значительно более сложная и менее наглядная теория пограничного слоя в сжимаемой жидкости. Сжнмаемость должна учитываться прн скоростях, сравнимых со скоростью звука (или превышающих ее), Ввиду возникающего прн этом сильного разогрева газа н обтекаемого тела оказывается необходимым рассматривать уравнения движения в пограничном слое совместно с уравнением теплонередачи в нем.
Может оказаться также необходимым учет температурной зависимости коэффнпнентов вязкости и теплопроводиости газа. 1. Определить толщину пограничного слоя вблизи критической точки (см. $10) иа обтекаемом жидкостью теле. Решение. Вблизи точки остановки скорость жидкости (вие погранич- ного слоя) является линейной функпней расстоянии х от этой точки, так что (! = сопз1 х. Оценка членов уравнений (39,5 — 6) приводит к выражению 6 (ч(сопз1)мз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
