Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В предыдущем параграфе было показано, что картина движения в пограничном слое остается при изменении числа Рейиольдса подобной самой себе, причем, в частности, масштабы по координате к остаются неизменными. Отсюда следует, что значение х» координаты х, при котором обращается в нуль производная (до,/ду) 1„о, не меняется при изменении й. Таким образом, мы приходим к существенному выводу, что положение точки отрыва на поверхности обтекаемого тела не зависит от числа Рейнольдса (до тех пор, разумеется, пока пограничный слой остается ламииариым; см. об этом 5 45).
Выясним еще, какими свойствами обладает распределение давления р(х) вблизи точки отрыва. При у = 0 левая сторона уравнения (40,6) обращается в нуль вместе с о, и о„и остается д'». ! 1 Ир (40,10) ду' 1» а р дх' Отсюда видно, что знак Ир/Ых совпадает со знаком д»о,/ду»~„ До тех пор, пока (до,/ду) (»=» ) О, о знаке второй производной ничего нельзя сказать. Но поскольку при удалении о~ стенки о положительно и растет (в области до точки отрыва), то в самой точке х= хо, где до /ду= О, должно во всяком случае быть д'о„/ду'~ „а ) О.
Отсюда заключаем, что О (40,11) т. е. вблизи точки отрыва жидкость движется от более низкого давления к более высокому. Градиент давления связан с градиентом скорости У(х) вне пограничного слоя соотношением ! др аи — — = — У вЂ”. р дх !!х' поГРАннчныи слОЙ 236 Поскольку положительное направление оси х совпадает с направлением основного потока, то 0 > О, и мы заключаем, что (40,12) т. е. вблизи точки отрыва скорость У падает в направлении течения. Из полученных результатов можно вывести заключение о том, что при обтекании тела в том или ином месте его поверхности должен произойти отрыв.
Действительно, на заднем, как и на переднем, конце тела имеется точка, в которой при потенциальном обтекании идеальной жидкостью скорость жидкости обращалась бы в нуль (критическая точка). Поэтому, начиная с некоторого значения х, скорость У(х) должна была бы начать падать, обращаясь в конце концов в нуль. С другой стороны, ясно, что текущая вдоль поверхности тела жидкость тормозится тем сильнее, чем ближе к стенке находится рассматриваемый ее слой (т.е. чем меньше у). Поэтому, раньше чем обратилась бы в нуль скорость 0(х) на инешней границе пограничного слоя, должна была бы обратиться в нуль скорость в непосредственной близости от стенки.
Математически это, очевидно, означает, что производная до~/ду во всяком случае должна была бы обратиться в нуль (а поэтому отрыв не может не возникнуть) при некотором х, меньшем, чем то его значение, при котором было бы У(х)= О. В случае обтекания тел произвольной формы все вычисления могут быть произведены совершенно аналогичным образом и приводят к результату, что на линии отрыва обращаются в нуль производные до,/ду, до,/ду от обеих касательных к поверхности тела компонент скорости о, н о, (ось р по-прежнему направлена по нормали к рассматриваемому участку поверхности тела). Приведем простое рассуждение, которое показывает необходимость возникновения отрыва в случаях, когда в отсутствии отрыва в обтекающем тело потоке жидкости имелось бы достаточно быстрое возрастание давления (и соответственно этому падение скорости (/) в направлении течения.
Пусть на малом расстоянии Ьх = х, — х, давление р испытывает достаточно большое увеличение от значения р~ до рз(рэ.з р~). На том же расстоянии Лх скорость У жидкости вне пограничного слоя падает от исходного значения (/~ до значительно меньшего значения Ум определяемого уравнением Бернулли: 21 ! (э р(Рз Р~) 1 1 Поскольку р не зависит от у, то увеличение давления рз — р1 одинаково на всех расстояниях от стенки. При достаточно большом градиенте давления др/дх (рз — р~)/Ьх в уравнении дви- ДВИЖЕНИЕ ВВЛИЗИ ЛИНИИ ОТРЫВА йзу жеиия (40,6) может быть опущен член едзп,/дрз, содержащий вязкость (если только, разумеется, у ие слишком мало).
Тогда можно и для оценки изменения скорости и в пограиичнвм слое воспользоваться уравнением Бернулли, написав -(и' — изг) =. — -(рз — р) или сравнивая с предыдущим равенством: Вз ПЗ (уз (гз) Но скоРость пг в погРаиичиом слое меньше скоРости основного потока; можно выбрать такое у, для которого О', < (гз, — Уз. Скорость оз оказывается, таким образом, мнимой, что свидетельствует об отсутствии физически осмысленных решений уравнений Праидтля. В действительности, иа участке Ьх должен возникнуть отрыв, в результате которого слишком большой градиент давления уменьшается.
Интересным случаем возникновения отрыва является обтекание угла, образованного двумя пересекающимися твердыми поверхностями. При ламинарном потенциальном обтекании выпуклого угла (рис. 3) скорость жидкости иа крае угла обратилась бы в бесконечность (см. задачу б $ 10), возрастая вдоль потока, подходящего к краю, и убывая в потоке, уходящем от него. В действительности, быстрое падение скорости (и соответственно возрастание давления) за краем угла приводит к возникновению отрыва, причем линией отрыва является линия края угла. В результате возникает картина движения, рассмотренная в 5 35.
При ламинарном же течении внутри вогнутого угла (рис. 4) скорость жидкости обращается на краю угла в нуль. Падение скорости (и возрастание давления) имеет здесь место в потоке, подходящем к краю угла. Оно приводит, вообще говоря, к возникновению отрыва, причем линия отрыва расположена вверх по течению от края угла, Задача Определять нанменьшнй порядок увелнчення давлення ар, которое делжно иметь место (в основном потоке) на расстояннн Ья, для того чтобы пронзошел отрыв. Р е ш е н н е. Пусть у есть такое расстояние от новерзностн тела, на кото ром, с одной стороны.
уже можно прнменнть уравненне Нернуллн, а с другой сторояы, такое, что квадрат оз(р) скорости о в пограннчном слое здесь меньше нзменення )Ь(/з) квадрата скорости (Г вне етого слоя. йля о(р) можно написать по порядку велнчнны: ло у е(р) — р- — р з(р Ь (где Ь (М/й)ыз — шнрнна пограничного слоя, 1 — размеры тела). Прнравннвая порядки велнчнны обоих членов в правой стороне уравнения (4О,Ь), ПОГРАКИЧНЫВ СЛОВ 1ГЛ. ГЧ получаем: 1 Ьр в(у) чУ вЂ” — ч р а р* бр Из условия же о' (АУТ( зал/р иаходим Узрз/бз Ьр/р. Исключив р из обоих получевиых соотиошевий, ваходим окоичатеяьио." ар рУ' ( — ) Ьх $41.
Устойчивость движения в ламинарном пограничном слое Ламинарное движение в пограничном слое, как и всякое другое ламинарное течение, при достаточно больших числах Рейнольдса становится в той или иной степени неустойчивым. Характер потери устойчивости в пограничном слое аналогичен потере устойчивости при течении по трубе Ц 28). Число Рейнольдса для течения в пограничном слое меняется вдоль поверхности обтекаемого тела. Так, при обтекании пластинки можно определить число Рейнольдса как гч = (/х/ч, где х — расстояние от переднего края пластинки, (/ — скорость жидкости вне пограничного слоя.
Более характерным для пограничного слоя, однако, является такое определение, в котором роль размеров играет какая-либо длина, непосредственно характеризующая толщину слоя; в качестве таковой можно выбрать толщину вытеснения, определенную согласно (39,26): хсз — „— — 1,72 )/Я„ (числовой коэффициент относится к пограничному слою на пло« ской поверхности). Ввиду сравнительной медленности изменения толщины слоя с расстоянием, и малости поперечной скорости жидкости в нем, при исследовании устойчивости течения в небольшом участке пограничного слоя можно рассматривать плоско-параллельное течение с неизменным вдоль оси х профилем '). Тогда с матема- г) При таком рассмотреиии остается, коиечво, в егорове вопрос о влиянии, которое может иметь ва устойчивость пограввчвого слоя прививка обтекаемой поиерхиости.
Имеется также и определеииая иепослеховательвость, связанная с делаемыми превебрежеивями, /(ехо в том, что единственными плоско-параллельиыми течениями (с профилем скорости, зависящим только от одной коордииаты), удовлетворяющими ураииевию Иавье — Стокса, являютсв течения с ливейиым (17,1) и параболическим (17„4) префвлямв (в то время как урзивевве Эйлеря удовлетворяется плоско-параллельиым течением с произвольным профилем). Позтому рассматриваемое в теории устойчвиости пограпичвого слоя осиовиое течеиве ие валяется, строго говоря, решением уравпеввй дивжевии. кстоичивость движения тической точки зрения задача будет аналогична задаче об устойчивости течения между двумя параллельными плоскостямн (о которой шла речь в $29). Разница состоит лишь в форме профиля скоростей: вместо симметричного профиля с 0 = 0 на обеих границах здесь имеется несимметричный профиль, в котором скорость меняется от нуля иа поверхности тела до заданного значения У вЂ” скорости потока вне пограничного слоя.
Такое исследование приводит к следующим результатам (Яр. То(1- лиса, 1929; Н. Бсй((сй((пц, 1933; С. С. 1лп, 1945). Форма нейтральной кривой иа диаграмме ор, К (см. 8 28) зависит от формы профиля скоростей в пограничном слое. Если профиль скоростей ие имеет точки перегиба (скорость пх монотонно возрастает, причем кривая вк = ор(у) везде выпуклая; рнс 28, а), то граница устойчивости имеет форму, вполне аналогичную той„ которая характеризует устойчивость течения в трубе: имеется некоторое минимальное значение (с = )скр, при котором появляются усиливающиеся возмущения, а при К-~-оо обе ветви кривой асимптотически приближаются к оси абсцисс (рис: 29, а).
Для профиля скоростей, имеющего место в пограничном слое на плоской пластинке, вычисление дает для критического значения числа Рейнольдса значение ') Ко „р м 420. Профиль скоростей типа рнс. 28,а не может иметь места, если скорость жидкости вне пограничного слоя уменьшается вниз по течению; в этом случае профиль скоростей непременно должен иметь точку перегиба. Действительно, рассмотрим неболыиой участок поверхности стенки, который можно считать плоским, и пусть х есть опять продольная координата вдоль направления течения, а у — расстояние от стенки, Из соотношения (40,10) аоо„1 ~ ар аи — = — — = — У— дуР 1р о р дх дх видно, что если У падает вниз по течению (дУ/дх О), то вблизи поверхности довр т.
е. кривая о = о (у) — вогнутая. При увеличении же у скорость о должна асимптотически приближаться к конечному пределу К Уже из геометрических соображений ясно, что для этого кривая должна стать выпуклой, а потому имеет где-то точку перегиба (рис. 28,б). При наличии точки перегиба в профиле скоростей форма кривой границы устойчивости несколько меняется. Именно, обе >) При На-+со иа ветвях 1 и П нейтральной кривой ер обрашается в нуль соответственно как КО н Ка . Точке й * Крр отвечает частота -1Л -цо ш р 0,15 и/бч. а волновое число А,р Оррб/бч, [ГЛ.
ГУ ПОГРАНИЧНЫИ СЛОЙ ветви кривой имеют прн К вЂ” «сс различные аснмптоты: одна ветвь по-прежнему аснмптотнческн приближается к осн абсцисс, В на другой м стремится к конечному, отличному от нуля пределу (рнс. 29,6). Кроме того, наличие точки перегиба сильно поннжает значение К„.
То обстоятельство, что число Рейнольдса возрастает вдоль пограничного слоя, придает своеобразный характер поведению Возмущений нрн нх сносе вниз по течению. Рассмотрим обтеканне плоской пластинки н предположим, что в некотором а) б) ьз Рис. 29 Рис. 28 месте пограничного слоя производится возмущение с заданной частотой м. Его распространению вниз по течению соответствует на диаграмме рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
