Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 44
Текст из файла (страница 44)
При не слишком малых углах одна из скоростей оказывается значительно больше другой — именно, большей является скорость «основного» потока, в направлении которого расположена турбулентная область (поток от А к О). Так, при обтекании прямого угла скорость '! Здесь и в других случаях ниже имеются в виду экспериментальные данные о распределении.скоростей в поперечном сечении турбулентной струи, обработанные с помощью расчетов по полуэмпирическим теориян турбулентчости (см.
примечаане иа с. 214!. 1гл. Н! ТУРБУЛЕНТНОСТЬ г1в потока вдоль плоскости АО в 30 раз больше скорости потока от В к О. Отметим еще, что разность давлений жидкости по обе стороны турбулентной области очень мала. Так, при обтекании прямого угла оказывается р, — р, = О,ООзри»н где О~ — скорость набегающего потока (от А к О), р1 — давление в верхнем (вдоль АО), а р» — в нижнем (вдоль ВО) потоках жидкости.
В предельном случае равного нулю обтекаемого угла мы имеем дело просто с краем пластинки, вдоль обеих сторон которой течет жидкость. Угол раствора а, + а» турбулентной области при этом тоже обращается в нуль„т. е. турбулентная область исчезает; скорости же потоков по обеим сторонам пластинки становятся одинаковыми. При увеличении же угла АОВ наступает момент, когда плоскость ВО касается нижней границы турбулентной области; угол АОВ является при этом уже тупым. При дальнейшем увеличении угла АОВ область турбулентности будет оставаться ограниченной с одной стороны поверхностью твердой стенки.
По существу, мы имеем при этом дело просто с явлением отрыва, с линией отрыва вдоль края угла. Угол раствора турбулентной области остается все время конечным. В качестве следующего примера рассмотрим задачу о бьющей из конца тонкой трубки турбулентной струе, распространяющейся в неограниченном пространстве, заполненном той же жидкостью (задача о ламинарном движении в такой «затопленной» струе была решена в 3 23). На больших по сравнению с размерами отверстия трубы расстояниях (о которых только и будет идти речь) струя аксиально симметрична вне зависимости от конкретной формы отверстия.
Определим форму области турбулентного движения в струе. Выберем ось струи в качестве оси х, а радиус области турбулентности обозначим посредством )г; требуется определить зависимость 11 от х (х отсчитывается от точки выхода струи). Как и в предыдущем примере, эту зависимость легко определить непосредственно из соображений размерности, На расстояниях, больших по сравнению с размерами отверстия трубы, конкретная форма и размеры отверстия не могут играть роли для формы струи. Поэтому в нашем распоряжении нет никаких характеристических параметров с размерностью длины, Отсюда опять следует, что )г должно быть пропорционально х: )1 =13'а х, (36,2) где численная постоянная 1па одинакова для всех струй. Таким образом, турбулентная область представляет собой конус; экспе- ТУРБУЛЕНТНАЯ СТРУЯ 213 римент дает для угла раствора 2сх этого конуса значение около 25' (рис.
25)'). Движение в струе происходит в основном вдоль ее оси. Ввиду отсутствия каких-либо параметров размерности длины или скорости, которые могли бы характеризовать движение в струе'), распределение продольной (средней по времени) скорости их в ней должно иметь вид иг,*) чг гг( ' ). (363г:::хгде г — расстояние от оси струи, а /'l' ие — скорость на оси. Другими Рис. 25 и- ~/ — — „, (36,4) г) Формула (36,2) лает )2 = О при х = О, т.е. отсчет координаты х ведется от точки, которая была бы выходной для струн, бьющей нз точечного источника.
Эта точка может ие совпадать с реальным положением выходного отверстия, отстоя от него (назад) на рзсстоянне того же порядка величины, которое требуется для установления закона (36,2). Интересуясь асамптотнческнм законом прн больших к, зтнм отличием можно пренебречь. ') Напомним лашннй раз, что речь идет о развитой турбулсягностн в струе н потому вязкость не должна входить в рассматриваемые формулы. словами, профили скорости в раз личных сечениях струи отличаются только масштабами измерения расстояния и скорости (в этой связи говорят об авголгодельноеги структуры струи).
Функция 1($) (равная 1 при 5=0) быстро убывает с увеличением ее аргумента. Она становится равной 1/2 уже при 2=0,4, а на границе турбулентной области достигает значения -0,01. Что касается поперечной скорости, то ова сохраняет вдоль сечения турбулентной области примерно одинаковый порядок величины и на границе области равна около — 0,025ио, будучи направлена здесь внутрь струи. За счет этой поперечной скорости и осуществляется втекание жидкости в турбулентную область. Движение вне турбулентной области можно определить теоретически (см.
задачу 1). Зависимость скорости в струе от расстояния к можно определить, исходя из следующих простых соображений. Полный поток импульса в струе через сферическую поверхность (с центром в точке выхода струи) должен оставаться неизменным при изменении ее радиуса. Плотность потока импульса в струе -риз, где и — порядок величины некоторой средней скорости в струе. Площадь той части поперечного сечения струи, в которой скорость заметно отлична от нуля, порядка величины 1(х. Поэтому полный поток импульса Р— рих)гх, Подставив сюда (36,2), по- лучим 214 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 1гл. ш т. е. скорость падает обратно пропорционально расстоянию от точки выхода струи. Количество (масса) жидкости Я, протекающей в единицу времени через поперечное сечение турбулентной области струи— порядка величины произведения ри)гз.
Подставив сюда (36,2) и (36,4), найдем, что Я = сонэ) х (если две переменные величины, меняющиеся в широких пределах всегда одного порядка величины, то они вообще пропорциональны друг другу; поэтому мы пишем формулу со знаком равенства). Коэффициент пропорциональности здесь удобно выразить не через поток импульса Р, а через количество жидкости (,го, выбрасываемой в единицу времени из трубки. На расстояниях порядка величины линейных размеров отверстия трубки а должно быть ),) — ) )э.
Отсюда следует, что сопз1 — 1;)о/а, так что можно написать Я=Ю вЂ”".. (36,5) где р — численный коэффициент, зависящий только от формы отверстия. Так, для круглого отверстия с радиусом а эмпирическое значение р = 1,5. Таким образом, расход жидкости через сечение турбулентной области возрастает с расстоянием х,— жидкость втягивается в турбулентную область '). Движение в каждом участке длины струи характеризуется иЯ числом Рейнольдса для этого участка, определяемым как Но в силу (36,2) и (36,4) произведение итт остается постоянным вдоль струи, так что число Рейнольдса одинаково для всех участков струи. В качестве этого числа может быть выбрано отношение Яо/ран.
Входящая сюда постоянная Яо/а является тем единственным параметром, который определяет все движения в струе. При увеличении «мощности» струи 1,)о (при заданной величине а отверстия) достигается в конце концов некоторое критическое значение числа Рейнольдса, после которого движение делается турбулентным одновременно вдоль всей длины струи а). ') Полный же поток жидкости через всю бесконечную плосиостгь проведенную поперек струи, бесконечен — струя, бьющая в неограниченное пространство, увлекает с собой бесконечное количество жидкости.
') ххля более подробного расчета различных случаев .турбулентного дви. жеиия обычно пользуются различными «полуэмпнрическими» теориями, основанными на определенных предположениях о зависимости коэффициента турбулентной вязкости от градиента средней скорости. Так, в теории Прандтля полагается (для плоского течения) причем зависимость 1 (гак называемой «длины пути перемешивания») от координат выбирается в соответствии с соображениями подобии; для свободных турбулентных струй, например, полагаетси 1 сх, где с-эмпирическая ТУРБУЛЕНТНАЯ СТРУЯ Задачи !.
Определить среднее движение жидкости в струе вне турбулентной области. Решен ие. Выбираем сферические координаты .", О, ~р с полярной осью вдоль оси струи и началом координат в точке ее выхода. В силу акснальиой симметрии струн компонента и средней скорости отсутствует, а и„, и, яа ляются функциями только от г н О, Те же соображения, что и в задаче о ламииариой струе в $23, показывают, что пм и должны иметь вид / (0) Р (0) и —, и в Вне турбулентной области движение жидкости нотеициально, т.е.
го1 и = О, откуда ди, д — ' — — (гн ) О. д8 дг в ди ! 2/г" Но ги не зависит от г, поэтому — г — — =О, откуда Р=сопз1 ма е д8 г 2(0 ~ — Ь, т. е. Ь н (1) г г' Из уравнения непрерывности 2 — — (гзи )+ . — (5(п0и ) О гэ дг г гз)пО дО е получаем теперь: с 1 — Ь О 51п 8 Постоянная интегрирования должна быть положена равной — Ь, чтобы ско- рость ие обращалась в бесконечность при О = и (что касается обращения / в бесконечность при О = О, то оно несущественно, поскольку рассматриваемое здесь решение относится только к пространству вне турбулентной области, а направление 0 = О лежит внутри нее). Таким образом, Ь 1+со50 Ь 0 и =— — — с18 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
