Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В силу изотропии, тензор Ьы, | должен выражаться через единичный тензор бм и компоненты единичного вектора и. Общий вид такого тензора, симметричного по первой паре индексов, есть Ьм, | =С(г) бмп|+ Р (г)(бнп„+ Ьмп|)+ Р (г) п|п,по (34,12) Дифференцируя его по координатам точки 2, получим в силу уравнения непрерывности д / дема — Ь|ы = | о|гож — 1 — О. Подстановка же сюда выражения (34,12) приводит, после простого вычисления, к двум уравнениям (г'(ЗС+2В+Р)]'=О, С'+ —,(С+0)=0.
Интегрирование первого дает ЗС+ 21г+ Р = —, г Но при г = 0 функции С, 11, Р должны обращаться в нуль, поэтому надо положить сопз(= О, так что ЗС+2Р+ Р=О. Из обоих полученных таким образом уравнений находим: 1) — С вЂ” — гС', Р = гС' — С. (34,13) Подстановка (34,13) в (34,!2) и затем в (34,11) приводит к выражению В|ы= — 2(гС'+ С) (Ь|ьп, + Ьнпь + Ьып|) + 6 (гС' — С) п,пыль Направив снова одну из координатных осей по направлению вектора и, получим для компонент тензора Вм|. Вггг = — 12С| Вг|| = 2 (С+ |С')| Вгг| = Вм| = 0 (34>14) 1гл.
2п ТУРБУЛЕНТНОСТЬ (34,15) Ниже нам понадобится также и выражение тензора Ьпч! через компоненты тензора В!м. С помощью (34,12 — 14) находим — — (гВ'„, — В„,) атплпг (34,16) 1 Соотношения (34,5) и (34,15) — следствия одного лишь уравнения непрерывности. Привлечение же динамического уравнения движения — уравнения Навье — Стокса — позволяет установить уравнение, связывающее друг с другом корреляционные тензоры Вм и Вм! (ТИ. Кагтап, Е.. Ноиаг!Ь, 1938; А, Н, Колмогоров, 1941).
Для этого вычисляем производную дб„/дг (напомним, что полностью однородное и изотропное турбулентное движение непременно затухает со временем). Выразив производные дап/ат и да22!дг с помощью уравнения Навье — Стокса, получим д д д '5! (ана22) = д„(анп2!п22) д„(ана22п2!) 1 д ! д — — — (рР22) (рэпа)+ УЛ!(Епеэг)+ УЛ2(п2!э22). (34,17) р дх!! р дх2» Корреляционная функция давления и скорости равна нулю: (р!У2) = О. (34,18) Действительно, в силу нзотропии эта функция должна была бы иметь вид ((г)п, С другой стороны, в силу уравнения непре- рывности Й!ч2 (!а!ч2) (р! 21!У! ч2) — О. Но единственным вектором вида )(г)п и с равной нулю дивергенцией является вектор сопз1п/г', такой вектор ие удовлетворяет условию конечности при г = О и потому должно быть сон 21 О.
Заменив теперь в (34,17) производные по хп и х„производными по — х, и хь получим уравнение д! Ьм= — д (Ьн 2+ бы !)+ 2ч ЛЬ,2. д д (34,19) Сюда надо подставить Ь22 и Ьм,! из (34,4) и (34,16). Производная по времени от кинетической энергии единицы массы Отсюда видно, что между отличными от нуля корреляционными функциями В,а н В„, имеется соотношение 1 д В2п а д (гВ )' кОРРеляциОнные Функции Скоростеи жидкости, (От)/2, есть не что иное, как диссипация энергии -е.
Поэтому д (оз) 2 — — = — — е. д/ 3 3 Простое, но довольно длинное вычисление приводит к следующему уравнению '): — — е — — — = — — (г В ) — — — !чг г1. (34 20) 2 1 дпгг ! д д ГедВггч 3 2 д/ Ог'дг "' г' дгч дг г' Величина В„как функция времени существенно меняется лишь за время, отвечающее основному масштабу турбулентности ( — 1/и). По отношению к локальной турбулентности основное движение может рассматриваться как стационарное (как это было уже отмечено в 5 33). Это значит-, что в применении к локальной турбулентности в левой стороне уравнения (34,20) можно с достаточной точностью пренебречь производной дВ„/д/ по сравнению с е. Умножив остающееся уравнение на г' и проинтегрировав его по г (с учетом обращения корреляционных функций в нуль при г =О), получим следующее соотношение между В„и В„;.
В„,= — — +б 4 двгг (34,21) (А. Н. Колмогоров, 194!). Это соотношение справедливо при г как ббльших, так и меньших чем )о. При г)> ),о член, содержащий вязкость, мал и мы имеем просто 4 5 ггг = Если же подставить в (34,21) при г к. )ьа выражение (34,8) для Вго то получится нуль; это связано с тем, что в этом случае должно быть Вон со г', так что члены первого порядка должны сократиться.
Одно уравнение (34,20) связывает две независимые функции В„и В„, и потому, само по себе, не дает возможности найти эти функции Появление в нем корреляционных функций сразу двух порядков связано с нелинейностью уравнения Навье— Стокса. По этой же причине вычисление производной по времени от корреляционного тензора третьего ранга привело бы к уравнению, содержащему также и корреляционную функцию четвертого порядка, и т. д. Таким образом, возникает бесконечная цепочка уравнений. Получить таким способом замкнутую ') В результате вычисления это уравнение получается умноженным с обоик сторон на оператор (1+ '/,гд/дг), Но поскольку единственное решение уравнения /+ Щд//дг = О, конечное при г = О, есть 1 = О, то этот опера. еор можно опустить. 1гл.
гп турвулентность систему конечного числа уравнений без каких-либо дополнительных предположений невозможно. Сделаем еще следующее общее замечание '). Можно было бы думать, что существует принципиальная возможность получить универсальную (применимую к любому турбулентному движению) формулу, определяющую величины Вао Вн для всех расстояний г, малых по сравнению с й В действительности, однако, такой формулы вообше не может существовать, как это явствует из следующих соображений. Мгновенное значение величины (ом — оп) (оаа — ога) можно было бы, в принципе, выразить универсальным образом через диссипацию энергии е в тот же момент времени.
Однако, при усреднении этих выражений будет существенным закон изменения е в течение периодов крупномасштабных (масштабы -() движений, различный для различных конкретных случаев движения. Поэтому и результат усреднения не может быть универсальным '). Интеграл Лойцянского — = — — (ь2тг — + г Ь дЬ„1 д Г гдЬ„ дг г' д«( д« сс т (34,23) Умножив это уравнение на г', проинтегрируем его по г от 0 до оо. Выражение в квадратных скобках равно нулю при « = О, По- лагая, что оно обращается в нуль также и при г — ьпо, найдем, что Л = ~ г'Ь„йг = сопз( о (34,24) (Л.
Г. Лойцянский, !939). Этот интеграл сходится, если функция Ь„убывает на бесконечности быстрее, чем г-з, а чтобы он дей. твительно сохранялся, функция Ь„,, дол>хна убывать быстрее, ем Функции Ь„и Ьн связаны друг с другом таким же соотношением (34,5), как и В„и Вн. Поэтому имеем (при тех же ') Оно было высказано Л. Д. Ландау (1944). т) Вопрос о том, должны ли флуктуации в отразиться даже на виде корреляционных функций в инерционной области, вряд ли может быть надежно решен до построения последовательной теории турбулентности (этот вопрос был поставлен Колмогоровым А. О. — Л. Шцм Ыесц, 1962, ч, 13, р. 77) н Обуховым А.
М. (там же, р. 82)). Супсестаующне попытки ввести связанные с этим фактором поправки в закон Колмогорова — Обухова основаны иа г». потезах о статистических свойствах диссипацни, степень правдоподобностй которых трудно оценить, Перепишем уравнение (34,20), введя в него вместо функций Вао Вао функции Ь„, Ь,„„: кОРРеляциОнные Фкнкции скОРОстеи ЕО( 4 211 условиях) О з~ Ь„г' г(г = — — — Ьгггг г(г. гг О О Поскольку Ь„+ 2Ь11=(Р1Р2), то интеграл (34,24) можно представить в виде л =- 4„ ~~ (К!К2)«1 1 (34,25) (где г($'=1(2(х1 — хг)).
Этот интеграл тесно связан с моментом импульса жидкости, находящейся в состоянии однородной и изотропной турбулентности. Можно показать (на чем мы останавливаться не будем), что квадрат полного момента импульса М жидкости, заключенной в некотором большом объеме )г (выделенном в неограниченной жидкости) есть М' = 4пргЛ)г; тот факт, что М растет пропорционально к'112, а не $', связан с тем, что М является суммой большого числа статистически независимых слагаемых (моментов импульса отдельных небольших участков жидкости) с равными нулю средними значениями.
Значение М' в заданном объеме )г может меняться за счет взаимодействия с окружающими областями жидкости. Если бы это взаимодействие достаточно быстро убывало с расстоянием, то оно представляло бы собой для рассматриваемой части жидкости поверхностный эффект. Тогда времена, в течение которых М' могло бы претерпеть значительное изменение, росли бы вместе с размерами объема )г; эти времена н размеры должны рассматриваться как сколь угодно большие, и в этом смысле М2 сохранялось бы. Указанное условие тесно связано с условиями достаточно быстрого убывания корреляционных функций, сформулированными при выводе (34,24) из (34,23).
Но в рамках теории несжимаемой жидкости существуют основания сомневаться в их соблюдении. Физическое основание для этого состоит в бесконечной скорости распространения возмущений в несжимаемой жидкости. Математически это свойство проявляется в интегральном характере зависимости распределения давления в жидкости от распределения скоростей: если рассматривать правую часть уравнения (15,11) как заданную, то решение этого уравнения; 1 д'и (г') Р (г') д)г' 411 ) дх1дхд 1г — г'! ' В результате любое локальное возмущение скорости мгновенно отражается на давлении во всем пространстве; давление же влияет на ускорение жидкости и тем самым — на дальнейшее изменение скоростей, 1гл, га ТУРБУЛЕНТНОСТЬ Естественная постановка задачи для выяснения этого вопроса состоит в следуюшем пусть в начальный момент времени (1 = 0) создано изотропное турбулентное движение, в котором функции Ьы(г, 1) и Ьнис(г,1) экспоненциальио убывают с расстоянием.
Выразив давление через скорости по написанной формуле, можно затем с помощью уравнений движения жидкости пытаться определить характер зависимости производных по времени от корреляционных функций (в момент 1=0) от расстояния при г-+-оо. Тем самым определится и характер зависимости от г самих корреляционных функций прн 1 ) О. Такое исследование приводит к следующим результатам'). Функция Ь„(г,1) при 1) 0 убывает на бесконечности не медленнее, чем г е (а возможно, что и экспоненциально).
Поэтому интеграл Лойцянского сходится. Функция же Ь„,, убывает лишь как г-'. Это значит, что Л ие сохраняется. Его производная по времени оказывается некоторой отличной от нуля отрицательной (как результат эмпирического факта отрицательности Ь„,,) функцией времени. Эта функция целиком связана с инерционными силами.
Естественно думать, что по мере затухания турбулентности роль этих сил падает, и в заключительной стадии нми можно пренебречь по сравнению с вязкими силами. Таким образом, Л убывает (момеит импульса равномерно «растекается» по бесконечному пространству), стремясь к постоянному значению, принимаемому им на заключительной стадии турбулентности. Отсюда возникает воэможность определить для этой стадии закон изменения со временем основного масштаба турбулентности 1 и ее характерной скорости о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
