Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Онн представляют собой сложные функции от ку с быстро возрастающим числом экстремумов, симметрично расположенных по отношению к точке х; = 0 (которая тоже всегда остается экстремумом). Замечательно, что не только значения 6 и а, но и предельный внд самого бесконечно кратно нтернрованного отображения оказываются в определенном смысле независящими от вида начального отображения ху+у —— у'(ху; ) ): достаточно, чтобы зависящая от одного параметра функция )(х; л) была гладкой функцией с одним квадратичным максимумом (пусть это будет в точ- ') Значение Л имеет несколько условный характер, поскольку оно зависит от способа введения параметра в исходное отображение — функцию 1(х; Х) (значения же б н и от этого не зависят вовсе). ') То есть все 2" точки х У, х( , ., переходящие последовательно друг в друга (периодические) при итерациях отображеияя (8(,б) и неподвижные (н устойчивые) по отношению к 2"-кратно итерированному отображению.
Отметим, во избежание возможных вопросов, что производные г(х „/Нх во всех точках х, х, ... автоматически одинаковы (и пото- УУ! Ут) У+ У му одновременно проходят через — ! в момент следующей бифуракции); мы ие будем приводить здесь рассуждений, использующих правило дифференцирования функпнн от функции, доказывающих зто свойство (необходимость которого заранее очевидна). турнулвнтность 1гл. Рн !тв ке х = 0); она не обязана даже быть симметричной относительно этой точки вдали от нее.
Это свойство универсальности существенно увеличивает степень общности излагаемой теории. Его точная формулировка состоит в следующем. Рассмотрим отображение, задаваемое функцией /(х) (функция /(х; Х) с определенным выбором Х вЂ” см. ниже), нормированной условием ЦО) = 1. Применив его дважды, получим функцию /(/(х)). Изменим масштаб как самой этой функции, так н переменной х в ав = 1//(1) раз; таким образом получим новую функцию /, (х) = ас/ (1 (х/а,)), для которой снова будет /,(0) = 1, Повторяя эту операцию, получим последовательность функций, связанных рекуррентным соотношением ') 1„+1(х) = а„/„(1 (х/а„)) =-н Т/, а„= 1// (!).
(32,12) Если эта последовательность стремится при гп- оо к некоторой определенной предельной функции / (х) =— дг(х), эта последняя должна быть «неподвижной функцией» определенного в (32,12) оператора Т, т. е. должка удовлетворять функциональному уравнению й(х)=Тя =ад(д(х/а)), а=1/я(1), я(0)=!. (32,13) В силу предположенных свойств допустимых функций /(х), функция п(х) должна быть гладкой и иметь квадратичный экстремум в точке х= О; никакого другого следа от конкретного вида /(х) в уравнении (32,13) или в налагаемых на его решение условиях не остается.
Подчеркнем, что после произведенных прн выводе масштабных преобразований (с !а () 1) решение уравнения определяется при всех значениях фигурирующей в нем переменной х от — оо до +оо (а не только на интервале — 1 ( < х ( 1). Функция я(х) автоматически является четной по х; оиа должна быть такой, поскольку среди допустимых функций /(х) имеются четные, а четное отображение заведомо остается четным после любого числа итераций. Такое решение уравнения (32,13) действительно существует и единственно (хотя н не может быть построено в аналитическом виде); оно представляет собой функцию с бесконечным числом экстремумов, неограниченную по своей величине; постоянная а определяется вместе с самой функцией д(х). Фактически достаточно построить эту функцию на интервале [ — 1, 11, после чего она может быть продолжена за его пределы нтернрованием операции Т. Обратим внимание на то, что на каждом шаге ите') Отметим очевидную аналогию этой процедуры с испольэснвнной выше при выводе (32,В).
ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ 177 й зз1 рирования т в (32,12) значения функции ( +г(х) на интервале ( — 1,!] определяются значениями функции ! (х) на сокращен. ной в )сз (ж (а) раз части этого отрезка. Это значит, что в пределе многократных итераций для определения функции ст(х) на интервале ( — 1, Ц (а тем самым и на всей оси х) существенны все меньшие и меньшие части исходной функции вблизи ее максимума; в этом и состоит, в конечном итоге, источник универсальности '), Функция д(х) определяет структуру апериоднческого аттрактора, возникающего в результате бесконечной последовательности удвоений периода.
Но это происходит при вполне определенном для функции 1(х;)с) значении параметра Х = Л . Ясно поэтому, что функции, образованные из 1(х; Х) путем многократного итерирования преобразования (32,!2), действительно сходятся к я(х) лишь при этом изолированном значении д. Отсюда в свою очередь следует, что неподвижная функция оператора т неустойчива по отношению к ее малым изменениям, отвечающим малым отклонениям параметра д от значения Л . Исследование этой неустойчивости дает возможность определения универсальной постоянной б — снова без всякой связи с конкретным видом функции 1(х)з).
Масштабный множитель а определяет изменение — уменьшение — геометрических (в пространстве состояний) характеристик аттрактора на каждом шаге удвоений периода; этими характеристиками являются расстояния между элементами предельных циклов на оси х. Поскольку, однако, каждое удвоение сопровождается еще и увеличением числа элементов цикла, это утверждение должно быть конкретизировано и уточнено. При этом заранее ясно, что закон изменения масштаба не может быть одинаковым для расстояний между всякими двумя точками'). Действительно, если две близкие точки преобразуются через почти линейный участок функции отображения, расстояние между ними уменьшится в !а~ раз; если же преобразование про- ') Уверенность в существовании едннственного решення уравнения (32,13) основана на компьютерном моделнрованна.
Решение нщется (на интервале 1 — 1, 11) в ваде полнпома высокой степспн по хт; точность модслнрсванвя должна бь ть тем выше, чем до более широкой области значений х (вне указанного отрезка) мы хотели бы затем продолжать функцню птерврованнем 7, На интервале 1 — 1, Ц функння п(х) имеет один экстремум, вблнзн которого д(х) = 1 — 1,528хт (если считать экстремум максимумом; этот выбор условен ввиду внзарнантностн уравнения (32,13) относительно нзменекня знака д).
') См орнгннальные статьи: ретделйаит М. Л вЂ” Л 3(а!. Рйуз., 1973, ч. 19, р. 25; 1979, ч. 21, р. 669. ') Имеются в виду расстояния на нерастянутом отрезке 1 — 1, 11, условно выбранном с самого начала как ннтервал изменения х, на котором расположены все элементы циклов. Отрицательность сс означает, что прн бнфурка. пнях пронскоднт также инверсии расположения элементов относнтельно точкнх=й.
тупнулгнтность Па [Гл. '[и ~~+, (1) = х,.+, (1) — х., „, (1+ Тм), (32,14) где Т = 2 Т, = Т +,/2 — период 2 -цикла, т. е. половина периода 2"+г-цикла. Введем функцию о (1) — масштабный множитель, определяющий изменение интервалов (32,14) при переходе от одного цикла к следующему '); 5 +[(1)/$ (1)=о (О. (32,! 5) Очевидно, что и поэтому й.„((+ Т.) = — 3,„(1), а„,(!+ Тм)= — и ((). (32,! 6) (32,17) Функция и (1) имеет сложные свойства, но можно, показать, что ее предельный (при больших т) вид с хорошей точностью аппроксимируется простым образом: !/а при О < ( < Т /2, о (1)= 1/ат при Т„/2 < [ < Т,„ (при надлежашем выборе начала отсчета 1) Я). (32, 18) ') Поскольку оба цинла существуют в разных интервалах зяаченнй параметра Х (иа интервалах (Л«ь Л ) и (Л, Л +з), и на зтпх интервалах величины (32,14) существенно меняются, то их смысл в определении (32,15) нуждается в уточнении.
Будем понимать нх при тех значениях параметра Х, когда цинлы «свсрхустойчивы» (см. примечание иа с. 173); по одному такому значению имеется в области существования каждого цикла. е) Мы ие будем приводить здесь в принципе простого, ио громоздкого исследования свойств функции о (1). См. Федгенбаум М. — УФН, !983, т. 141, с. 343 (1.оз А1ап[оа зс[епсе, 1980, т. 1, р. 4). исходит через участок функции отображения вблизи ее экстремума — расстояние сократится в [ха раз. В момент бифуркации (при Х = Л ) каждый элемент (точка) 2 -цикла расшепляется на пару †д близкие точки, расстояние между которыми постепенно возрастаег, но точки остаются ближайшими друг к другу на всем протяжении изменения 7 до следующей бифуркации.
Если следить за переходами элементов цикла друг в друга с течением времени (т. е, при последовательных отображениях х,+, — — /(х,; 7 ) ), то каждая из компонент пары перейдет в другую через 2м единиц времени. Это значит, что расстояние между точками пары измеряет амплитуду колебаний вновь возникаюшего удвоенного периода, и в этом смысле представляет особый физический интерес. Расположим все элементы 2"+кцикла в том порядке, в котором они обходятся со временем, н обозначим их как х ь[(1), где время ! (измеренное в единицах основного периода Т,) пробегает целочисленные значения (/То = 1,2, ..., 2 +'. Эти элементы возникают из элементов 2 -цикла расшеплением последних на пары Интервалы между точками каждой пары даются разностями пагеход к тхоахлаитиости 1Та Эти формулы позволяют сделать некоторые заключения об изменении спектра (частотного) движения жидкости, претерпеваюшей удвоения периода.
В гидродинамическом аспекте величину х~(1) надо понимать как характеристику скорости жидкости. Для движения с периодом Т~ спектр функции х„(1) (от непрерывного времени В) содержит частоты Аоо (й = = 1,2,3, ...) — основную частоту в =2и/Т и ее гармоники. После удвоения периода течение описывается функцией н о.,(1) с периодом Т +1 =2Т~ Ее спектральное разложение содержит, наряду с теми же частотами йы, еще и субгармоники частоты оо — частбты 1оо /2, 1= 1,3,5, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
