Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Ввиду упомянутой уже эргодичиости движения на странном аттракторе, его средние характеристики могут быть установлены путем анализа движения уже вдоль одной принадлежащей аттрактору неустойчивой траектории в пространстве состоявий. ') Эта величина известна в математике как предельная емкость множества. Ее определение близко к определению так называемой хаусдорфовой (или фрактальной) размерности з) Покрывающие множество л-мерные кубики могут оказаться «почти пустымн»; именно поэтому может быть 1! ( л Для обычных множеств определение (31,3) лает очевидные результатм. Так, для множества М изолированных точек имеем М(е) = М и !! = 0; для отрезка ь линии: М(а) = б/е, ХЗ 1; для площадки Я двумерной поверхности; Ь(е) Я/ез, 0 2, и т.
д. делается следующим образом. Разобьем все и-мерное пространство на малые кубики с длиной ребра в и объемом е". Пусть У(е) — минимальное число кубиков, совокупность которых полностью покрывает аттрактор. Определим размерность 0 аттрактора как предел ') 168 1гл гн турвулентность (31,4) При сдвиге вдоль траектории элемент объема в одних направлениях сжимается, в других растягивается и сфера превращается в эллипсоид. По мере движения вдоль траектории как направления полуосей эллипсоида, так и их длины меняются; обозначим последние посредством 1,(!), где индекс з нумерует направления.
Ллпуновскими харакгерисгическил!и показателями называют предельные значения 1., = !!щ — !и — )-, 1 !а (!) ! (0Г' (31,5) где !(О) — радиус исходной сферы (в момент времени, условно выбранный как ! =О), Определенные таким образом величины — вещественные числа, число которых равно размерности и пространства. Одно из этих чисел (отвечающее направлению вдопь самой траектории) равно нулю'). Сумма ляпуновских показателей определяет среднее вдоль траектории изменение элементарного объема в пространстве состояний.
Локальное относительное изменение объема в каждой точке траектории дается дивергенцией с(!их = — б!у й =Ац(!). Можно показать, что среднее вдоль траектории з!тэчение дивергенции з): г о !Нп — ~ д!Увс!1=~~ А,. г о г ! (31,6) Для диссипативной системы эта сумма отрицательна — объемы в и-мерном пространстве состояний сжимаются. Размерность же ') Разумеется, решение уравнения (31,4) (с заданными начальными условиями при ! О) фактически описывает соседнюю траекторию лишь до тех пор, пока все расстояния 1,(!) остаются малыми. Это обстоятельство, однако, не лишает смысла определение (31,5), в котором используются сколь угодно большие времена: для всякого большого ! можно выбрать настолько 'малое !(О), что лииеаризоваиные уравнения останутся справедливыми для всего »того Времени.
т) См. Оселедец В. И. — Труды Мос. мат. Обшества, 1968, т. 19, с. 179. Другими словами„предполагаем, что индивидуальная траектория воспроизводит свойства аттрактора, если двигаться по ней бесконечно долгое время. Пусть х = хо(!) — уравнение такой траектории, одно из решений уравнений (31,1). Рассмотрим деформацию «сферического» элемента объема при его перемещении вдоль этой траектории. Она определяется уравнениями (31,1), линеаризованными по разности й = х — хо(!) — отклонению траекторий, соседних с данной. Эти уравнения, написанные'в компонентах, имеют вид ~'и=А!аж!", Ага(!)='",„, дкни к л.<г> !69 переход к ткпвнлпнтности странного аттрактора определим таким образом, чтобы в «его пространстве» объемы в среднем сохранялись.
Для этого расположим ляпуновские показатели в порядке с.! ) !'.з ) ... =» 0„ н учтем столько устойчивых направлений, сколько надо для компенсации растяжения сжатием. Определенная таким образом размерность аттрактара (обозначим ее 0с) будет лежать между т и пт+ 1, где пт — число показателей в указанной последовательности, сумма которых еще положительна, но после прибавления !'.
ч.! становится отрицательной'). Дробная часть размерности 0с = па + с! (с! ( 1) находится из равенства Е(.,+0 мс(=0 (31,7) з ! (г. а.ес!карр!ег, 1981). Поскольку при вычислении с! учитываются лишь наименее устойчивые направления (отбрасываются наибольшие по абсолютной величине отрицательные показатели 0, в конце их последовательности), то даваемая величиной 0ь оценка размерности есть, вообще говоря, оценка сверху.
Эта оценка открывает, в принципе, путь для определения размерности аттрактора по экспериментальным измерениям временного хода пульсаций скорости в турбулентном потоке. ф 32. Переход к турбулентности путем удвоения периодов Рассмотрим теперь потерю устойчивости периодическим движением путем прохождения мультипликатора через значение — 1 или +1.
В а-мерном пространстве состояний п — 1 мультипликаторов определяют поведение траекторий в а — ! различных направлениях в окрестности рассматриваемой периодической траектории (отличных от направления касательной в каждой точке самой этой траектории). Пусть близкий к ~1 мультипликатор отвечает некоторому 1-му направлению.
Остальные а — 2 мультипликаторов малы по модулю; поэтому по соответствующим им п — 2 направлениям все траектории будут со временем прижиматься к некоторой двумерной поверхности (назовем ее Х), которой принадлежат 1-е направление и направление указанных касательных Можно сказать, что в окрестности предельного цикла пространство состояний при 1- оо оказывается почти двумерным (строго двумерным оно не может быть — траектории могут располагаться по обе стороны Х и переходить с одной стороны поверхности на другую).
Разрежем поток траекторий вблизи Х некоторой секущей поверхностью о. Каждая траектория, повторно пересекая о, ставит в соответствие исходной точке ') Учет равного нулю лнпуновского показателя вноснт в размерность !та вклад +!, отвечаюпгнй размерности вдоль самой траекторпп. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ (гл. !г! !70 пересечения (назовем ее х() точку пересечения в момент следующего возврата х(+ь Связь х,+, =1(х;; (с) называют отображением Пуанкаре (илн отображением последования); она зависит от параметра г( (в данном случае — числа Рейнольдса ')), значение которого определяет степень близости к бифуркации — потере устойчивости периодическим движением. Поскольку все траектории тесно прижаты к поверхности Х, множество точек пересечения поверхности о траекториями оказывается почти одномерным, и его можно приближенно аппроксимировать линией; отображение Пуанкаре станет одномерным преобразованием хи.! = ((хб К), (32,1) причем х будет просто координатой на указанной линии ').
Дискретная переменная 1 играет роль времени, измеряемого в единицах периода движения. Отображение (32,1) дает альтернативный способ определения характера течения вблизи бифуркации. Самому периодическому движению отвечает неподвижная точка преобразовании (32,1) — значение х;=х„, не меняющееся при отображении, т.е. для которого х,+, = х,. Роль мультипликатора играет производная )!=с(хсе!/с(хь взятая в точке х(=х„. Точки х(=х„+е в окрестности х„в результате отображения переходят в х(+! ж ж х„ + )4.
Неподвижная точка устойчива (и является аттрактором отображения), если !)ь) ( 1: повторно применяя (игерируя) отображение и начав с какой-либо точки в окрестности точки х„, мы будем асимптотически приближаться к последней (по закону !)з!г, где г — число итераций) Напротив, при !)ь! ) 1 неподвижная точка неустойчива. Рассмотрим потерю устойчивости периодическим движением при переходе мультипликатора через — 1.
Равенство )ь = — 1 означает, что начальное возмущение через интервал времени Те меняет знак, не меняясь по абсолютной величине: еще через период Те возмущение перейдет само в себя. Таким образом, при переходе )г через значение †! в окрестности предельного цикла с периодом Та возникает новый предельный цикл с периодом 2Т, — бифуркация удвоения периода ').
На рис. 20 условно изображены две последовательные такие бифуркации; на рисунках а, б сплошными линиями показаны устойчивые циклы периодов 2Т,, 4Тэ, а штриховыми — ставшие неустойчивыми предыдущие циклы. ') Или числа Рэлея, если речь идет о тепловой конвенции (й М), э) Обозначение к в этом параграфе не имеет, разумеется, ничего общего с координатой в физическом пространстве' ') В этом параграфе основной период, т.е.
период первого периоднче. ского движении, обозначаем как Т» (а не Т,). Критические значения числа Рейиольдса, отвечающие последовательным бифуркациям удвоения периода, будем обозначать здесь посредством Кь й».. . опуская индекс «кр» (чнсло Йэ заменяет прежнее )( »э). ПЕРЕХОД К ТУРБУЛЕНТНОСТИ !7! Если принять условно неподвижную точку отображения Пуанкаре за точку х = О, то вблизи нее отображение, описывающее бифуркацию удвоения периода можно представить в виде разложения х, = — ~1+ (вс — гх,)1х + хт+ бхп (32,2) где Р ) О ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
