Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Таким образом, а1 р',=ь 'й (29,7) Мы пишем различные плотности р! и рг, имея в виду охватить также и случай, когда речь идет о границе раздела между двумя различными несмешивающимися жидкостями. Наконец, нз условия равенства давлений р', и р', на поверх. ности разрыва получаем: Р[("Р а) = Рва ~ откуда находим искомую зависимость между ы и А: й Р1 ~ [ Ч/Р~Ри (29,8) ') Случай йо а, в приииипе возможиый, иас ие иитересует, так как Иеустойчивость может быть связаиа только с комплексными, а ие вещественными частотами а.
й зм КВАЗИПЕРИОЛИЧЕСКОЕ ДВИЖЕИИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ !58. Мы видим, что щ оказывается комплексной величиной, причем всегда имеются щ с положительной мнимой частью, Таким образом, тангенциальные разрывы неустойчивы — уже по отношению к бесконечно малым возмущениям '). В таком виде этот результат относится к сколь угодно малой вязкости. В этом случае не имеет смысла различать неустойчивость сносового типа от абсолютной неустойчивости, поскольку с увеличением й мнимая часть щ неограниченно возрастает, и потому коэффициент усиления возмущения при его сносе может быть сколь угодно велик.
При учете конечной вязкости тангенциальный разрыв теряет свою резкость; изменение скорости от одного до другого значения происходит в слое конечной толщины. Вопрос об устойчивости такого движения в математическом отношении вполне аналогичен вопросу об устойчивости в ламинарном пограничном слое с перегибом в профиле скоростей ($4!). Экспериментальные данные и численные расчеты показывают, что в данном случае неустойчивость наступает очень рано, возможно даже, что всегда з). $30. Кпазнпериодическое движение н синхронизация частота) В последующем изложении (Я 30 — 32) будет удооным пользоваться определенными геометрическими образами.
Для этого введем математическое представление о пространстве состояний жидкости, каждая точка которого отвечает определенному распределению (полю) скоростей в ней. Состояниям в близкие моменты времени соответствуют при этом близкие гочки 4). Образом стационарного движения служит точка, а образом периодического движения — замкнутая линия (траектория) в пространстве состояний; о иих говорят соответственно как. о предельной точке нлн предельном цикле.
Если эти движения устойчивы, то это значит, что соседние траектории, описываю- ') Если направление волнового вектора й (в плоскости ху) не совпадает с направлением т, а образует с ннм угол ф, то в (29,8) о заменится на о соз ф; зто ясно из того, что иевозмущениая скорость входит в исходное линеарнзованное уравнение Эйлера только в комбииапни (тр), Очевидно, что и такие возмущения будут неустойчивы. ') Численные расчеты устойчивости производились для плоскопараллель. ных течений с профилем скоростей. меняющихся между двумя значениями ~п, по некоторому закону, напрямер, о = еа(Ь(я/А) (роль числа Рейиольдсч пграет при этом П = озА(ч). Нейтральная кривая в плоскости А, й оказывается выходящей из начала координат, так что для каждого значения й имеется интервал значений А (возрастающий с увеличением к), для которых течение неустойчиво ') Я ЗΠ— 32 написаны совместно с М.
И. Рабиноничем, ') В математической литературе это бесконечномерное фуикпнональиое пространство (или конечномериые пространства, которымн оно может быть в некоторых случаях заменено — см. ниже) часто называют фазовым. Мы не пользуемся здесь этим термином во избежание смещения с более конкрет. вым смыслом, который он обычно имеет в физике. турвулентность [гл. ш щие процесс установления движения, стремятся (при Г- оо) к предельной точке или предельному циклу. Предельный цикл (или точка) имеет в пространстве состояний определенную область притяжения: начинающиеся в этой области траектории в конце концов выходят на цикл. В этой связи о предельном цикле говорят как об пттракторе').
Подчеркнем, что для движения жидкости в заданном объеме с определенными граничными условиями (и при заданном значении К) аттрактор может быть не единствен. Возможны ситуации, когда в пространстве состояний существуют различные аттракторы, каждый из которых имеет свою область притяжения. Другими словами, при Р ) Ккр может оказаться более чем один устойчивый режим движения и различные режимы осуществляются в зависимости от способа достижения данного значения К. Подчеркнем, что эти различные устойчивые режимы являются решениями нелинейной (1) системы уравнений движения').
Обратимся к изучению явлений, возникающих при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, после достижения им критического значения и установления рассматривавшегося в $ 26 периодического течения. По мере увеличения К наступает в конце концов момент, когда становится неустойчивым и это периодическое движение.
Исследование этой неустойчивости должно, в принципе, производиться аналогично изложенному в $ 26 способу определения неустойчивости исходного стационарного движения. Роль невозмущенного движения играет теперь периодическое движение чо(г, Г) (с частотой ы[), а в уравнения движения подставляется ч = чо+чм где чг — малая поправка. Для чт получается снова линейное уравнение, но его коэффициенты являются теперь функциями не только координат, но и времени, причем по времени эти коэффициенты представляют собой периодические функции с периодом Т1 — — 2п/гоь Решение такого уравнения должно разыскиваться в виде ч,=П(г, г)е '"', где П(г, [) — периодическая функция времени (с тем же периодом Тг).
Неустойчивость наступает снова при появлении частоты го = соя+ [Ты У котоРой мнимаЯ часть чя ) О, а вещественнаЯ часть о[я определяет новую появляющуюся частоту. За период Т[ возмущение (30,1) меняется в [г=и и-' г раз. Этот множитель называют мультипликатором периодического движения; он является удобной характеристикой усиления или затухания возмущений этого движения. Периодическому движе- ') От английского слова ангасцоп — притяжение.
т) Такова, например, ситуация прн потере устойчивости куаттовским течением; устанавливаюшееся новое движение фактически айвисит от истории процесса которым цилиндры приводятся во иран[ение с опредеденпыми угхв.выми скйростяыи. й рщ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ )57 ияю непрерывной среды (жидкости) соответствует бесконечное множество мультипликаторов, отвечающих бесконечному числу возможных независимых возмущений.
Потеря им устойчивости ПрОИСХОдИт Прн ЧИСЛЕ Йаая, Прн КОтОрОМ ОДИН ИЛИ бОЛЕЕ МуЛЬтнпликаторов по модулю становятся равными 1, т. е. в комплексной плоскости значения )г пересекают единичную окружность. Ввиду вещественности уравнений проходить через эту окружность мультипликаторы могут только комплексно-сопряженными парами, или поодиночке, оставаясь вещественными, т. е. в точках +1 или — 1. Потеря устойчивости периодическим движением сопровождается определенной качественной перестройкой поведения траекторий в пространстве состояний в окрестности ставшего неустойчивым предельного цикла или, как говорят„ своей локальной бифуркацией. Характер бифуркации в значительной степени определяется именно тем, в каких точках единичной окружности мультипликаторы ее пересекают'). Рассмотрим бифуркацию при пересечении единичной окружности парой комплексно-сопряженных мультипликаторов вида аз = ехр(г-2па)), где а — иррациональное число.
Это приводит к появлению вторичного течения с новой независимой частотой ых аюь т. е. в результате возникает некоторое квазипериодическое движение, характеризующееся двумя несоизмеримыми частотами. Геометрическим образом этого движения в пространстве состояний служит траектория в виде незамкнутой намотки на двумерном торе'), причем ставший неустойчивым предельный цикл служит образующей тора; частота отг соответствует вращению по образующей тора, частота юз — вращению на торе (рис.
18). Подобно тому, как после появления первого периодического движения течение обладало одной степенью свободы, теперь две величины (фазы) яв- Рвс. 18 ляются произвольными, т. е. движение обладает двумя степенями свободы. Потеря устойчивости периодическим движением, сопровождающаяся «рождсннем» двумерного тора, типична для гидродинамики. Обсудим гипотетическую картину усложнения течения, возникшего в результате такой бифуркации, при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, Р ) Й„а. Естественно было бы предположить, что при последующем увеличении 11 будут последо- ') Отметим, что мультипликатор не может быть равным нулю: возмунгенне не может обратиться в нуль за конечное время (одвн период Т,).
') Мы пользуемся математической терминологией, согласно которой тором называюг поверхность без заключенного в ней обкома. Так, двумерный тор — двумерная поверхность грехмерного сбублвка».. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ вательно появляться все новые периоды. На языке геометрических образов это означает потерю устойчивости двумерным тором с возникновением в его окрестности трехмерного тора, затем в результате очередной бифуркации ему на смену придет четырехмерный тор и т. д.
Интервалы между числами Рейнольдса, соответствующими появлению новых частот, быстро падают, а появляющиеся движения имеют все меньшие масштабы. Таким образом, движение быстро приобретает сложный и запутанный характер; его называют турбулентньчм в отличие от ламинарного, правильного течения, при котором жидкость движется как бы слоями, обладающими различными скоростями. Полагая сейчас, что такой путь (или, как, говорят, св(енарий) Розникновення турбулентности действительно возможен' ), напишем общий вид функции у(г,1), зависимость которой от времени определяется некоторым числом 1т' различных частот юь Ее можно рассматривать как функцию М различных фаз >р, = =ю;(+рр (и от координат), причем по каждой из них она периоднчна с периодом 2п.
Такая функция может быть представлена в виде ряда О, Р)-~А„„...,„О) *р( — х р,р,~. /30,2> р-> представляющего собой обобщение (26,13) (суммирование по всем целым числам рь рю, ря). Описываемое такой формулой движение обладает Ж степенями свободы — в него входят )т' произвольных начальных фаз й, в), Состояния, фазы которых отличаются только на целое кратное 2п, физически тождественны Лругими словами, все существенно различные значения каждой из фаз лежат в интервале 0 =.
фр(2н. Рассмотрим какую-нибудь пару фаз ф, = ю>(+(31 н ррв = юв(+ рв. Пусть в некоторый момент времени фаза рр, имеет значение а. Тогда «одинаковые> с а значения фаза рр, будет иметь и во все моменты времени а — р, 1 1= — + 2пя —, О>> О» где з — любое целое число. Фаза фз в зти моменты имеет значения ф,=0в+ — " „(а — й,+2пя).
Он был выдвинут Д. Д. руаядау (1944) н затем нсзввнснмо Хопфом (Е, орй 1948). ') Если выбрать фазы фр в качестве коордннзт, опнсывзю>пнх трзскторню яв М-черном торс, то соотвстствуююие скорости будут постонннымн всличпнзпи: фр = ю,. В связи с этны о квззяпсриоднчсском движении говорят кзк о движенив ив торе с постоянной скоростью. е 301 КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДЕИЖЕНИЕ И СИНХРОНИЗАЦИЯ 159 Ио различные частоты несоизмеримы друг с другом, так что шз/ш1 — иррациональное число.
Приводя каждый раз посредством вычитания должного целого кратного от 2и значение фз к интервалу между О н 2п,мы получим поэтому, при пробегании числом з значений от О до оо, для фз значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу в этом интервале. Другими словами, в течение достаточно большого промежутка времени ~р, н ф, одновременно пройдут сколь угодно близко к любой паре наперед заданных значений. То же самое относится и ко всем фазам. Таким образом, в рассматриваемой модели турбулентности в течение достаточно долгого времени жидкость проходит через состояния, сколь угодно близкие к л1обому наперед заданному состоянию, определенному любым возможным набором одновременных значений фаз ~р,. Время возврата, однако, очень быстро растет с увеличением М и становится столь большим, что фактически никакого следа какой-либо периодичности ие остается '). Подчеркнем теперь, что рассмотренный путь возникновения турбулентности базируется, по существу, на линейных представлениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
