Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 27
Текст из файла (страница 27)
аг ° й ггг Т ГДЕ ГЛ й — 1' — . 1О Р и+газ Ю аг — =е — Ае — лх, р й Граннчные условия на поверхностн жидкости: даг / дог дог ч а„= — д+21) — =О, ог,= Я !ч — '+ — /! =О дх ' 'ч дх дх г ( ) 1е эх 2 / 2 — г — /! + — =4гу! — 1 —. тй' /' тгйг ч/ тй' ' Это уравнение определяет завнснмость и от волнового вектора й.
Прн этом м является комплексной велнчяной; ее действительная часть определяет частоту нолебаннй, а мнимая — коэффицвеят затухання Физический смысл имеют те нз решеняй уравнення (!), мннмая часть которых отрицательна (соответственно эатуханню волны); таковымн являются только два нз корней уравневня (2). если тйг <' ч/рй й(условне (25,!)), то коэффнцяент затухания мал н (2) дает приблнжепно м = * )/дй — ! ° 2тйг — нзвестный уже нам ре.
зультат. В протнвоположном предельном случае тйг Ы/дй уравнение (1) имеет два часто мннмых корня, соответствующнх чнсто затухающему аперноднчсскому двнженню. Однн нз корней есть (Я ю 2тй ' а другой значнтельно больше (норядка тйг) и поэтому не ннтересен (соот- вегствующее ему двнженне быстро затухает). (прн х = ь). Во втором нз этих условнй можно сразу написать х = 0 вместо Е й. Первое же днфференцнруем предварнтельно по ! н пишем дог вместо ада!д(, после чего полагаем х = О. Из условия совместности получающнхся таким образом двух однородных уравненнй для А н В получаем: ГЛАВА Ш ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В 26. Устойчивость стационарного движения жндкостн Для всякой задачи о движении вязкой жидкости в заданных стационарных условиях должно, в принципе, существовать точное стационарное решение уравнений гидродннамнкн.
Этн решения формально существуют прн любых числах Рейнольдса. Но не всякое решение уравнений движения, даже если оно является точным, может реально осуществиться в природе. Осуществляющнеся в природе движения должны не только удовлетворять гндродннгмнческнм уравнениям, но должны еще быть устойчивыми: ма.дые возмущения, раз возннкнув, должны затухать со временем. Если же, напротив, неизбежно возникающие в потоке жндкоств сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти со временем, то движение неустойчиво н фактически существовать не может '). Математическое исследование устойчивости движения по отношенню к бесконечно малым возмущениям должно пронсходить по следующей схеме.
На исследуемое стационарное решеняе (распределенне скоростей, в котором пусть будет че(г)) накладывается нестацнонарное малое возмущение ч~(г, Г), которое должно быть определено таким образом, чтобы результирующее лвиженне ч = чо+ ч~ удовлетворяло уравнениям движения. Уравнение для определения чг получается подстановкой в уравнения — "+ (чту) ч = — — за + чбч, г)!ч ч = О (26, !) д! р скорости н давления в виде ч = чо+ чь р = ро+ рь (26,2) прячем известные функции ча н ро удовлетворяют уравнениям (чу) че + ч бчо б(ч чо О (26,3) ') В предыдушем издании этой книги неустойчивость по отношению к ~коль угодно малым возмущениям называлась абсолютной. Мы спускаем теперь в этом аспекте прилагательное «абсолютная», сохранив его (в соответствии с более принятой в современной литературе терминологией) в качестве антитезы к поннтню о конвектнвной неустойчивости (Гг 28]. туэвулйнтность !гл.
~п Опуская члены высших порядков по малой величине чь получим; + (пор) ч~ + (ч~Ч) ч, = — — + ч Лчо д(ч ч, = О. (26,4) дт~ чю Р Граничным условием является исчезновение ч~ на неподвижных твердых поверхностях. Таким образом, ч~ удовлетворяет системе однородных линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, являющимися функциями только от координат, но не от времени. Обшее решение таких уравнений может быть представлено в аиде суммы частных решений, в которых ч~ зависит от времени посредством множителей типа е-'"'.
Сами частоты в возмущений ие произвольны, а определяются в результате решений уравнений (26,4) с соответствующими предельным условиями. Эти частоты, вообще говоря, комплексны. Если имеются такие ы, мнимая часть которых положительна, то а-'"' будет неограниченно возрастать со временем. Другими словами, такие возмущения, раз возникнув, будут возрастать, т. е. движение будет неустойчиво по отношению к иим. Для устойчивости движения необходимо, чтобы у всех возможных частот в мнимая часть была отрицательна.
Тогда возникаюшие возмущения будут экспоненцнально затухать со временем. Такое математическое исследование устойчивости, однако, крайне сложно. До настояшего времени не разработан теоретически вопрос об устойчивости стационарного обтекания тел конечных размеров. Нет сомнения в том, что при достаточно малых числах Рейнольдса стационарное обтекание устойчиво. Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что при увеличении й достигается в конце концов определенное его значение (которое называют критическим„ й,р), начиная с которого движение становится неустойчивым, так что при достаточно больших числах Рейнольдса (й ) К,р) стационарное обтекание твердых тел вообще невозможно.
Критическое значение числа Рейнольдса не является, разумеется, универсальным; для каждого типа движения существует свое К„м Эти значения, по-видимому,— порядка нескольких десятков (так, при поперечном обтекании цилиндра незатухаюшее нестационарное движение наблюдалось уже прн й = ий/ч ж 30, где с( — диаметр цилиндра). Обратимся к изучению характера того нестационарного движения, которое устанавливается в результате неустойчивости стационарного движения при больших числах Рейнольдсэ (Л.
Д. Ламдар, 1944). Начнем с выяснения свойств этого движения прн й, лишь немногим превышающих й,ч,. При й ( й,р у комплексных частот ы = а~+ 1у~ всех возможных малых возмущений мнимая часть отрицательна (у~ ( 0),.При Я = й„появляется одна частота, мнимая часть которой обрашается в нуль. Прн ц ) й е устойчивость стациОИ.АРИОГО лвижрния 139 у этой частоты у, ) О, причем для г(, близких к критическому, у1 ~ ю, '). Функция ти соответствующая этой частоте, имеет вид: н~ — — А(1)((х, у, г), (26,5) где ( — некоторая комплексная функция координат, а комплексная амплитудах) А(1)=сопи( стаи-гм,г (26,6) Это выражение для А(1) в дейстнительности пригодно лишь в течение короткого промежутка времени после момента срыва стационарного режима: множитель ехр(у~1) быстро растет, между тем как описанный выше метод определения ть приводящий к выражению вида (26,5 — 6), применим лишь прн достаточной малости уь В действительности, конечно, модуль (А( амплитуды нестационарного движения не растет неограниченно, а стремится к некоторому конечному пределу.
При )с, близких к ц„р, этот конечный предел все еще мал, и для его определения поступим следующим образом. Определим производную по времени от квадрата амплитуды )А(х. Для самых малых времен, когда еще применимо (26,6), имеем о)А)т — =2у,(А(з Зто выражение является, по существу, лишь первым членом разложения в ряд по степеням А и А'. При увеличении модуля )А( (но когда он все еще остается малым) надо учесть следующие члены этого разложения.
Ближайшие следующие — члены третьего порядка по А. Нас, однако, интересует не точное значение производной, а ее среднее по времени значение, причем усреднение производится по промежуткам времени, большим по сравнению с периодом 2я/го~ периодического множителя ехр( — ио~1) (напомним, что, поскольку со~ >) уь этот период мал по сравнению с временем 1/у~ заметного изменения модуля (А(). Но члены третьего порядка непременно содержат периодический множитель и при усреднении выпадаютз). Среди чле- ') Спектр всех возможных (дтя данного типа движений) частот возмущений содержит как изолированные значения (дискретный спектр), так и зиачевня, непрерывно заполняющие целые интервалы (непрерывный спектр). Можно думать, что для обтекании конечиык тел частоты с у~ ) О могут иметься только в дискретном спектре.
Дело в том, то возмущения, отвечающие частотам непрерывного спектра, вообще говоря, не исчезают ка бесконечности Между тем на бесконечности основное движение представляет собой заведомо устойчввый плоскопараллельный однородный поток 4) Как обычно, подразумевается вещественная часть выражения (2б,б), *) Строго говоря, члены третьего порядка дают при усреднекни не нуль, а величины четвертого порядка; мы предполагаем нх включенными в члены четвертого порядка в разложении. ио «гл. Нр тураулентность вов же четвертого порядка есть член, пропорциональный А'А" =1А1«, при усреднении не выпадающий. Таким образом„ с точностью до членов четвертого порядка имеем — = 2у,! А! — а(А (, ««)АР р « ««« (26,7р где а — положительная или отрицательная постоянная (постоянная Ландау).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
