Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если учитывать конечные размеры отверстия трубки, то это решение представляет собой первый член разложения по степеням отношения размеров отверстия к расстоянию г от него. С этим обстоятельством связан тот факт, что если вычислить по полученному решению полный поток жидкости, проходящей через замннутую поверхность вокруг начала координат, то он окажется равным нулю. Отличный от нуля поток получился бы при учете следующих членов разложения по указанному отношениюг), $24. Колебательное движение в вязкой жидкости Движение, возникающее в вязной жидкости при колебаниях погруженных в нее твердых тел, обладает рядом характерных особенностей.
Для изучения этих особенностей удобно начать с рассмотрения простого типичного примера (лз. О. 5(ойез, 1851). Пусть несжимаемая хсидкость соприкасается с неограниченной плоской поверхностью, совершающей (в своей плоскости) простое гармоническое колебательное движение с частотой от. Требуется определить возникающее при этом в жидкости движение. ') В действительности, однако, двилкеиие в достаточно сильной струе становится турбулентным (й 36). Отметим, что роль числа Рейнольдса длв рассмотренной струн играет безразмерный параметр (Р(рчг) ыз.
г) См. Румер Ю. Б. — Прикл. мат. и мех., 1952, т. 16, с. 255. Затопленная ламинарнаи струя с отли;ным от нули моментом враплевни вокруг оси рассмотрена. Лойцяяскин Л. Г. — Прикл. мат. и мех., 1953, т. 17, с. 3. Упомхием, что гидродинамнческие уравнения несжимаемой вязкой жидкости длн любого стационарного осесимметрнчного движении, в котором скорость убывает с расстоянием как 1/г, могут быть сведены к одному обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго порядка, ч.м. Слезкин Н. А.— Уч.
зап. МГУ, 1934, вып. П; Прнкл. мат. и мех., 1954, Ф. 18, с. 764. 122 ВязкАя жидкость [ГЛ. П Твердую поверхность выберем в качестве плоскости у, е; области жидкости соответствуют х ) О. Ось у выберем вдоль направления колебаний поверхности. Скорость и колеблющейся поверхности есть функция времени вида А соз(В[1+а). Удобно писать такую функцию в виде вещественной части от комплексного выражения: и = [се(изе-ии) (с комплексной, вообще говоря„постоянной и, = Ае — '"; надлежащим выбором начала отсчета времени эту постоянную всегда можно сделать вещественной). До тех пор, пока при вычислениях производятся только линейные операции над скоростью и, можно опускать знак взятия вещественной части и вычислять так, как если бы и было комплексным, после чего можно взять вещественную часть от окончательного результата.
Таким образом, будем писать: и„= и = иае-'"". (24,1) Скорость жидкости должна удовлетворять граничному условию ч=п,т,е. е,= о,=О, и„= и при х=О, Из соображений симметрии очевидно, что все величины будут зависеть только от координаты х (и от времени 1). Из ураинения непрерывности [1[чч = О имеем поэтому — =О до„ дх откуда и, = сопз1, причем согласно граничным условиям эта постоянная должна быть равной нулю, т. е. е, = О, Поскольку все величины не зависят от координат у, г, и благодаря равенству о„нулю имеем тождественно (чч)ч = О, Уравнение движения (1б,7) приобретает вид — = — — вагаб р+ чбч.
дч 1 д[ р (24,2) Это уравнение линейно, Его х-компонента дает др/дх = О, т. е. р = сопз1. Из симметрии очевидно также, что скорость ч направлена везде по оси у. Для пк — — е имеем уравнение дч д'е (24,3) (типа одномерного уравнения теплопроводности). Будем искать периодическое по х и 1 решение вида псе[ [АА-ев удовлетворяющее условию п = и при х = О. Подстановка в уравнение дает (ьз=чйз, Й= —, б= А[ — „, 1+[ /2ч (24,4) й тч) колквлтвльнои движении в вязкои жидкости 12З так что скорость  — Паг-хГаг1 1хга-ет1 (24,5) (выбор знака корня т/Г в (24,4) определяется требованием затухания скорости в глубь жидкости). Таким образом, в вязкой жидкости могут существовать поперечные волны: скорость о„= и перпендикулярна направлению распространения волны.
Они, однако, быстро затухают по мере удаления от создающей их колеблющейся твердой поверхности. Затухание амплитуды происходит по экспоненциальному закону с глубиной проникновения 6'). Эта глубина падает с увеличением частоты волны н растет с увеличением вязкости жидкости. Действующая на твердую поверхность сила трения направлена, очевидно, по оси д. Отнесенная к единице площади, она равна дов ~ . ЯЧ~ х ~ х~~ 2 д (24,6) Предполагая ио вещественным и отделив в (24,6) вещественную часть, получим: о ха — — — УгшР т) ио соз (ш( + 4 ) . — "о г ~РЧ я — о' я=— ха 2 2 (24,7) г) На расстоянии б амплитуда волны убывает в е раз, а на протяжении одного пространственного периода волны — в есв ел 540 раз.
') При колебаниях полуплоскостн (параллельно линии своего края) возникает дополнительная сила трения, связанная с краевымн эффектами За. дача о движении вязкой ткидкости при колебаниях полуплоскостн (а также и более общая задача о колебаниях илииа с произвольным углом раствора) может быть решена с помощью класса решений уравнения А|+ аз) = О, используемого в теории дифракпии от клина.
Мы отметим здесь лишь следующий результат: возникающее от краевого эффекта увеличение силы трения на полуплоскость может быть описано как результат увеличения площади прн смещении края полуплоскостн иа расстояние б/2 с б из (24,4) (Л. Д. Ландау, 1947).
Скорость же колеблющейся поверхности есть и = па сов шб Таким образом, между скоростью и силой трения имеется сдвиг фаз я). Легко вычислить также и среднее (по времени) значение днссипации энергии при рассматриваемом движении. Это можно сделать по общей формуле ()6,3); в данном случае, однако, проще вычислить искомую диссипацию непосредственно как работу сил трения.
Именно, диссипацня энергии в единицу времени, отнесенная к единице плошади колеблющейся плоскости, равна среднему значению произведения силы охв на скорость ив=и: ВязкАя жидкость 1гл. м Она пропорциональна корню из частоты колебаний и из вязкости жидкости. Может быть решена в замкнутом виде также и общая задача о жидкости, приводимой в движении плоской поверхностью, движущейся (в своей плоскости) по произвольному закону и = = и(Г). Мы не станем производить здесь соответствующие вычисления, так как искомое решение уравнения (24,3) формально совпадает с решением аналогичной задачи теории теплопроводности, которая будет рассмотрена в $ 52 (н дается формулой (52,15)). В частности, испытываемая твердой поверхностью сила трения (отнесенная к единице площади) определяется формулой (24,8) (ср.
(52,14)). Рассмотрим теперь общий случай колеблющегося тела произвольной формы. В изученном выше случае колебаний плоской поверхности член (чт)ч в уравнении движения жидкости исчезал тождественно. Для поверхности произвольной формы это, конечно, уже не имеет места. Мы будем, однако, предполагать, что этот член мал по сравнению с другими членами, так что им все же можно пренебречь. Необходимые для возможности такого пренебрежения условия будут выяснены ниже. Таким образом„будем исходить по-прежнему из линейного уравнения (24,2). Применим к обеим сторонам этого уравнения операцию го1.
Член го1 пгадр исчезает тождественно, так что мы получаем: — го1 ч = Ачз го1 ч, д (24,9) т, е, го1ч удовлетворяет уравнению типа уравнения теплопроводности. Но мы видели выше, что такое уравнение приводит к экспоненциальному затуханию описываемой им величины. Мы можем, следовательно, утверждать, что завихренность затухает по направлению в глубь жидкости. Другими словами, вызываемое колебаниями тела движение жидкости является вихревым в некотором слое вокруг тела, а на больших расстояниях быстро переходит в потенциальное движение. Глубина проникновения вихревого движения -б.
В связи с этим возможны два важных предельных случая. Величина б может быть велика илн мала по сравнению с размерами колеблющегося в жидкости тела. Пусть 1 — порядок величины этих размеров. Рассмотрим сначала случай Ь >> 1; это значит, что должно выполняться условие Рг» к. ч. Наряду с этим условием мы будем предполагать также, что число Рейнольдса колевхтельное дВижение В ВязкОН жидкОсти мало. Если а — амплитуда колебаний тела, то его скорость— порядка величины аа. Поэтому число Рейнольдса для рассматриваемого движения есть ыа!/».
Таким образом, предполагаем ,выполнение условий !'г» ((», — «1. (24,10) Это — случай малых частот колебаний. Но малость частоты означает, что скорость медленно меняется со временем и потому в обшем уравнении движения д» 1 — + (»Ч)» = — — Чр +» /хч дг Р можно пренебречь производной д»/дй Членом же (»Ч)» можно пренебречь в силу малости числа Рейнольдса. Отсутствие члена д»/д! в уравнении движения означает стационарность движения. Таким образом, при 6 » 1 движение можно рассматривать в каждый данный момент времени как стационарное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
