Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Нас интересует ситуация, когда при й ) й,р впервые становится неустойчивым (на фоне основного движения) уже сколь угодно малое возмущение. Ей отвечает случай и ) О; рассмотрим его. Над (А1' и (А1«в (26,7) мы не пишем знаков усреднения, так как оно производится только по промежуткам времени, малым по сравнению с 1/у«. По этой же причине при решении этого уравнения надо поступать так, как если бы черты над производной в левой его части тоже ие было.
Решение уравнения .(26,7) имеет вид: ) А ) р = а + сопя( ° е-рр «. 2т« Отсюда видно, что 1А)Р асимптотически стремится к конечному пределу ) А (',„= 2у«/а. (26,8р 7« =сонэ( (й — й„,). Подставив это в (26,8), находим следуюшую зависимость устанавливающейся амплитуды возмущения от «степени надкритичности»: (26,9) ~ А ~,„(й — й„р)'~. (26,! От Остановимся кратко иа случае, когда в уравнении (26,7) а ( О, Для определения предельной амплитуды возмущения два члена разложения (26,7) теперь недостаточны, и надо учесть отрицательный член более высокого порядка; пусть это будет член — р(А (Р с р» О.
Тогда с т«из (26,9). Эта зависимость изображена на рис. И,б (рис. !3, а отвечает случаю а > О, формула (26,10)). Прн й ) й,р стационарное движение не может существовать вовсе; (26,11) Величина у«зависит от й; вблизи й,р функция у«(й) может быть разложена по степеням й — й,р. Но у«(й,р) = О по самому определению критического числа Рейнольдса; поэтому приближенно имеем УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ 14! при К= К,р возмущение скачком возрастает до конечной амплитуды (которая, конечно, предполагается все же настолько малой, что используемое разложение по степеням )А)я применимо)'). В интервале К' < К < Ккр основное движение мега- стабильно — устойчиво по отношению к бесконечно малым, но неустойчиво по отношению к возмущениям конечной амплитуды (сплошная линия; пунктирная кривая ветвь неустойчива).
а) йкр б) р'ир "кр Рис. 13 Вернемся к нестационарному движению, возникающему при К ) К„р в результате неустойчивости по отношению к малым возмущениям. При К, близких к К„р, это движение может быть пРедставлено в виде наложениЯ стационаРного движениЯ Уо(г) н периодического движения уг(г, 1) с малой, но конечной амплитудой, растущей по мере увеличения К по закону (26,10). Распределение скоростей в этом движении имеет вид у, = 1 (г) е — г Рак+ Рд, (26,12) где $ — комплексная функция координат, а р! — некоторая начальная фаза. При больших разностях К вЂ” К,р разделение скорости на две части Уе и У1 уже не имеет смысла. Мы имеем прн этом дело просто с некоторым периодическим движением с частотой шь Если вместо времени пользоваться в качестве независимой переменной фазой гр! =-м ш11+ ()т, то можно сказать, что функция у(г, гр) является периодической функцией от !р с периодом 2п.
Эта функция, однако, не есть теперь простая тригонометрическая. В ее разлогкение в ряд Фурье у= ~ Ар(г)е 'ел р (26„13) ') В механике о таких системах говорят как о системах с жестким самовозбуждением, в отличие от систем с мягким самовозбуждением, неустойчивым по отношению к бесконечно малым возмущениям. (суммирование по всем положительным и отрицательным целым числам р) входят члены не только с основной частотой шь но н с кратными ей.
!Гл гн тпппнлснгногть Уравнением (26,7) определяется только абсолютная величина временного множителя А((), но не его фаза ср!. Последняя остается по существу неопределенной и зависит от случайных начальных условий. В зависимости от этих условий, начальная фаза ))! может иметь любое значение. Таким образом, изучаемое периодическое движение не определяется однозначно теми заданными стационарными внешними условиями, в которых оно происходит. Одна из величин — начальная фаза скорости— остается произвольной, Можно сказать, что это движение обладает одной степенью свободы, между тем как стационарное дви>кение, полностью определяющееся внешними условиями, не обладает степенями свободы вовсе. Задача Вывести уравпенце, выражающее баланс знергнн между основным теченнем н наложенным на него вспмущенвсм, не предполагая последнее слабым Решен не.
Подставив (26,2) в уравнение (26,!), но не опустив в нем член второго порядка по чь нмеем: — + (тзр) т1 + (т19) тз + (т19) т1 — Уд, + й Ьт, дт1 -! д! и! (предполагается, что все велнчнны прнаедены к безразмерному виду, как объяснено в й !9). Умножив зто уравнение на тг н преобразовав с учетом равенств бм та б!т ч~ = О, получнм: д о! дпщ, дпы дпы т — — = — оыо,а — — к ' — — + д! 2 ' дх дх дх„ д 1 доы ) + — ( — — "! гоеа+ о~а) — р!пи+" дха ( 2 дх Последннй член в правой стороне уравнення ясчезает после ннтегрвровання по всей области движения в снлу условий тз = т, = О на ограннчввающнх область стенках нлн на бескояечностн.
В результате находки вскомое соотношение: Е,=Т вЂ” И ~0 (2) где Т оа Т дпз! Г / дпы ')а Е, ~ — НУ, Т- — ) оып!а д ИУ. 0 ~ ) д ) цУ. (3) 1 1 з 2 ' з хя ха ) Функцнояал Т опнсывает обмен звергней между основным двнженвем н аазмущенпем; он может нметь оба знака. Функционал 0 — днсснпатнвная потеря знергнп, всегда 0 ~ О. Обратнм вннманне на то, что нелпвейный по т, член в (1) не дает вклада в соотношение (2). Соотношенне (2) позволяет найтп оценку снизу для числа йга (О. )!еу. по!сЬ.
1894; )У. Огг, 1907): производная г!Е~(д! заведомо отрицательна, т. е. возмущенве затухает со временем, есдн и ( Тсз, где йк ш!и (0(Т), (4) причем мнннмум функцнонала берется по отношенню н функцвям чз(г), удовлетворяющнм граннчным условиям н уравненню быт, = О. Существованне конечного мнвнмума математвческн связано с одинаковой (второй) степенью устончнвость врашатвльного днижнния 143 однороаностя функционалов у я (). Гем самым доказывается сушествованне нижней (по П) граннпы метастабнльностн, ниже которой основное двнженне устойчиво по отношению к любым возмущенням.
Даваемая зыраженнем (4) оценка (ее называют знергетнческой), однако, в большннстве случаев оказывается очень заниженной. (27,1) й 27. Устойчивость вращательного движения жидкости Для исследования устойчивости стационарного движения жидкости в пространстве между двумя вращающимися цилиндрами ($ 18) в предельном случае сколь угодно больших чисел Гейнольдса можно применить простой способ, аналогичный примененному в 5 4 при выводе условия механической устойчивости неподвижной жидкости в поле тяжести (Рау(е(йй, 1916). Идея метода состоит в том, что рассматривается какой-нибудь произвольный малый участок жидкости и предполагается, что этот участок смещается с той траектории, по которой он движется в рассматриваемом течении.
При таком смещении появляются силы, действующие на смещенный участок жидкости. Для устойчивости основного движения необходимо, чтобы эти силы стремились вернуть смещенный элемент в исходное положение. Каждый элемент жидкости в невозмущенном течении движется по окружности г = сопз( вокруг оси цилиндров. Пусть )з(г) = тгз!р есть момент импульса элемента с массой гп (!р — угловая скорость). Действующая на него центробежная сила равна )за/гл!л; эта сила уравновешивается соответствующим радиальным градиентом давления, возникающим во вращающейся жидкости. Предположим теперь, что элемент жидкости, находящийся на расстоянии го от оси, подвергается малому смещению со своей траектории, так что попадает на расстояние г ) гз от оси.
Сохраняющийся момент импульса элемента остается при этом равным своему первоначальному значению рв = )з(гз), Соответствекно в его новом положении на него будет действовать центробежная сила, равная (ззз/тгз, Для того чтобы элемент стремился возвратиться в исходное положение, эта центробежная сила должна быть меньше, чем ее равновесное значение (ззуггтгз, уравновешнвающееся имеющимся на расстоянии г градиентом давления. Таким образом, необходимое условие устойчивости гласит: (ьт — (газ > О; разлагая р(г) по степеням положительной разности г — гз, напишем это условие в виде 4~ !(г Согласно формуле (18,3) угловая скорость ф частиц движущейся жидкости равна ()Ф2 — ()!к! (()! — ()2) йРз Ф )(з йз + 'йт )(а' 2 1 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ [ГЛ.
Н! Вычисляя [[ как тг'ф и опуская все заведомо положительные множители, пишем условие (27,1) в виде (Яф~~ — Я,)7~) ф > О. (27,2) Угловая скорость ф монотонно меняется с г от значения Я! на внутреннем до значения Я, на внешнем цилиндре. Если оба цилиндра вращаются в противоположных направлениях, т. е, Я! и Яз имеют различные знаки, то функция ф меняет знак в про. странстве между цилиндрамн и ее произведение на постоянное число Я,)7,'— Я!1[а не может быть везде положительным. Таким образом, в этом случае (27,2) ие выполняется во всем объеме жидкости, и движение неустойчиво.
Пусть теперь оба цилиндра вращаются в одну сторону; выбирая этр направление вращения в качестве положительного, имеем Я! ) О, Яз ) О. Тогда ф везде положительно, и для выполнения условия (27,2) необходимо, чтобы было ЯМ) Я!Ф Если же Яз)абаз меньше, чем Я!Яз[, то движение неустойчиво. Так, если внешний цилиндр покоится (Яз — — 0), а вращается только внутренний, то движение неустойчиво. Напротив, если покоится внутренний цилиндр (Я! = 0), то движение устойчиво. Подчеркнем, что в изложенных рассуждениях совершенно не учитывалось влияние вязких сил трения при смещении элемента жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
