Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Поэтому использованный метод применим лишь при достаточно малой вязкости, т. е. достаточно больших числак Рейнольдса. Исследование устойчивости движения при произвольных К должно производиться общим методом, основанным на уравнениях (26,4); для движения между вращающимися цилиндрами это было сделано впервые Тэйлором (О. 1.
Тау1ог, 1924). В данном случае невозмущенное распределение скоростей ва зависит только от цилиндрической координаты г и ие зависит ни от угла [р, ни от координаты е вдоль оси цилиндров. Полную систему независимых решений уравнений (26,4) можно поэтому искать в виде у (г, [р, г) = е![ э+а -в[[1(г) (27,4) с произвольно направленным вектором 1(г). Волновое число й, пробегающее непрерывный ряд значений, определяет периодичность возмущения вдоль оси г.
Число же н пробегает лишь целые значения О, 1, 2, ..., как это следует из условия однозначности функции по переменной !р; значению а = О отвечают осесимметричные возмущения. Допустимые значения частоты [» получаются в результате решения уравнений с надлежащими граничными условиями в плоскости г = сопз[ (скорость ч! = 0 при Э тг1 тстоичивость врдшлтвльиого движания 14б т = К и г = Йз).
Поставленная таким образом задача определяет при заданных значениях и и й, вообще говоря, дискретный ряд собственных частот ю=юф(й), где индекс ) нумерует различные ветви функции го,(й); эти частоты, вообще говоря, комплексны. Роль числа Рейнольдса в данном случае может играть величина ьв,Й',/т или 0 Й',/т — при заданных значениях отношений Яг/Йэ и йг/ьаз, определяющих «тип движения». Будем следить за изменением какой-либо из собственных частот ю = югп(й) при постепенном увеличении числа Рейнольдса. Момент возникновения неустойчивости (по отношению к данному виду возмущений) определяется тем значением Й, при котором функция Т(й) = = 1т ю впервые обращается в нуль при каком-либо значении й.
При Й ( Й„р функция у(й) везде отрицательна, а при Й ) Йер она положительна в некотором интервале значений й. Пусть й„р — то значение й, для которого (при Й = Й,р) функция у(й) обращается в нуль. Соответствующая функция (27,4) определяет характер того (накладывающегося на основное) движения, которое возникает в жидкости в момент потери устойчивости; оно периодично вдоль оси цилиндров с периодом 2п/й,р. При этом, конечно, фактическая граница устойчивости определяется тем видом возмущений (т. е. той функцией югп(й)), которая дает наименьшее значение Й,„; именно эти «наиболее опасные> возмущения интересуют нас здесь.
Как правило (см, ниже), ими являются осесимметричные возмущения. Ввиду большой сложности, достаточно полное исследование этих возмущений было произведено лишь для случая узкого зазора между цилиндрами (й — Йз — Й~ (( Й -м(Йг+ Йз)/2). Оно приводит к следующим результатам '). Оказывается, что решению, приводящему к наименьшему значению Йею отвечает чисто мнимая функция оэ(й).
Поэтому при й = й„р не только 1тп о» = О, но и вообще ю = О. Это значит, что первая потеря устойчивости стационарным вращением жидкости приводит к возникновению другого, тоже стационарного течениях). Оно представляет собой тороидальные вихри (их называют тэйлорозскилги), регулярно расположенные вдоль длины цилиндров.
Для случая вращения обоих цилиндров в одну сторону, на рис. 14 схематически изображены проекции линий тока этих вихрей на плоскость меридионального сечения цилиндров ') Подробное изложение можно найти в книгах; Кочин Н. Е., Кабель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гндромеханвка.— Мл Фвзматгяз, 1963, ч. 2; Сьалйгазвйьаг 5. Нубгойупапг)с апй Ьудгоглаяпеис з)аЫ111у. — Ох1огд, 1961; )тгахгл Р.
6., Неш Яг. Н. Нубгойупапбс МаЬ)щу.— СагпЬг)бяе, 198!. 1) В таких случаях говорят о смене устойчивостей. Экспериментальные данные, а также числовые результаты для ряда частных случаев, дают основанне считать, что это свойство имеет для рассматриваемого движения обгдва характер я не связано с малостью Ь. 1гл.
п~ туииулянтногть 146 (скорость п1 имеет в действительности также и азимутальную компоненту). На длине 2п/й,и каждого периода расположены два вихри с противоположными направлениями вращения. При К, несколько превышающем К.и, имеется уже не одно, а целый интервал значений й, для которых (гпси ) О. Не следует, однако, думать, что возникающее при этом движение будет представлять собой одновременное наложение движений с различными периодичностями. В действительности прн каждом К возникает движение с вполне определенной периодичностью, стабилизирующее все течение в целом. Определение этой периодичности, однако, уже невозможно с помощью линеаризованного уравнения (26,4). На рис. 15 изображен примерный вид кривой, разделяющей области устойчивости и неустойчивости (последняя заштрихована) прн заданном значении )с',/!сь Правая ветвь кривой, соответ- Я~ Рис.
14 Рис. 15 ствуюшая вращению цилиндров в одну сторону, имеет в качестве асимптоты прямую Я,.Я, '= Й,!г', (это свойство имеет в действительности общий характер и не связано с малостью л). Увеличению числа Рейнольдса для заданного типа движения отвечает перемещение вверх по прямой, выходящей из начала координат н отвечающей данному значению Я,/Ии. На правой части диаграммы все такие прямые, для которых 1и,ф,,'/0,)9,' > ! нигде не пересекают границы области неустойчивости.
Напротив, при ()ф,'/Я,й', ( ! и достаточном увеличении числа Рейнольдса мы всегда попадем в область неустойчивости — в согласии с условием (27,3). На левой части диаграммы (йи~ и (с, имеют различные знаки) всякая прямая, проведенная из начала координат, пересекает границу заштрихованной области, т. е. при до- истопчивость движгния по гггвг.
147 статочном увеличении числа Рейнольдса стационарное движение в конце концов теряет устойчивость при любом отношении 112,/Й~) — снова в согласии с полученными выше результатами. При 1)з — — 0 (вращается только внутренний цилиндр) неустойчивость наступает при числе Рейнольдса (определенном как ц = = ййЯ~/ч), равном (27,5) Отметим, что в рассматриваемом движении вязкость оказывает стабилизирующее влияние: движение, устойчивое при ъ = О, остается устойчивым и при учете вязкости; движение же, неустойчивое при ч = О, может оказаться устойчивым для вязкой жидкости.
Неосесимметричные возмущения движения между вращаюецимися цилиндрами не исследованы систематически. Результаты расчетов частных случаев дают основание считать, что на правой стороне диаграммы рис. 15 наиболее опасными всегда остаются осеснмметричные возмущения. Напротив, на левой стороне диаграммы, при достаточно больших значениях (йз/12~(, учет неосесимметричных возмущений, по-видимому, несколько изменяет форму граничной кривой. При этом вещественная часть частоты возмущения не обращается в нуль, так что возникающее движение нестационарно; это существенно меняет характер неустойчивости. Предельным (при Л-+-О) случаем движения между вращающимися цилиндрами является движение жидкости между двумя движущимися друг относительно друга параллельными плоскостями (см.
2 17). Это движение устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям при любых значениях числа К = йи/ч (и — относительная скорость плоскостей), 4 28. Устойчивость движения по трубе Совершенно особым характером потери устойчивости обладает стационарное течение жидкости по трубе (рассмотренное в $!7).
Ввиду однородности потока вдоль оси х (вдоль длины трубы) певозмушенное распределение скоростей ча не зависит от координаты х. Аналогично изложенному в предыдущем параграфе мы можем поэтому искать решения уравнений (26,4) в виде у е1~Йх — '«п1(р я) (28,1) И здесь будет существовать такое значение К = Й,~, при котором у = 1ты впервые обращается прн некотором значении й в нуль. Существенно, однако, что вещественная часть функции чв(Ф) теперь уже отнюдь не будет равна нулю, ггл.
и! туввулентность 1«6 Для значений К, лишь немного превышающих К„р, интервал значений А, в котором у(й) ) О, мал и расположен вокруг точки, в которой у(й) имеет максимум, т. е. ду/йй = О (как это ясно из рнс. 16). Пусть в некотором участке потока возникает слабое возмущение; оно представляет собой волновой пакет, получающийся путем наложения ряда компонент вида (28,!). С течением времени будут усиливаться те из этих компонент, для которых у(й)) О; остальные же компоненты зауг тухнут.
Возникающий таким образом усиливающийся волновой пакет будет в то же время «сноситься» вниз по течению со скоростью, равной групповой скорости пакета йго/йй ($ 67); поскольку речь идет теперь о волнах со значениями волновых векторов в малом интервале вокруг точки, в которой йу/Нй = О, то величина (28,2) Рис. 16 вещественна и потому действительно представляет собой истинную скорость распространения пакета. Этот снос возмущений вниз по течению весьма существен и придает всему явлению потери устойчивости совершенно иной характер по сравнению с тем, который был описан в $27. Поскольку положительность !гпот сама по себе означает теперь лишь усиление перемещающегося вниз по течению возмущения, то открываются две возможности.
В одном случае, несмотря на перемещение волнового пакета, возмущение неограниченно возрастает со временем в любой фиксированной в пространстве точке потока; такую неустойчивость по отношению к сколь угодно малым возмущениям будем называть абсолютной. В другом же случае пакет сносится гак быстро, что в каждой фиксированной точке пространства возмущение стремится при 1- оо к нулю; такую неустойчивость будем называть сносовой, илн конвекгивмой '). Для пуазейлевого течения, по-видимому, имеет место второй случай (см, ниже примечание на с.
150). Следует сказать, что различие между обоими случаями имеет относительный характер в том смысле, что зависит от выбора системы отсчета, по отношению к которой рассматривается неустойчивость: коивективная в некоторой системе неустойчивость становится абсолютной в системе, движущейся «вместе с пакетом», а абсолютная неустойчивость становится конвективной ') Общий метод, позволяющий установить характер неустойчивости, опи- сан в другом томе этого нурса (см.
Х, $62). э вя тстоичивость движения по титан в системе, достаточно быстро «уходящей» от пакета. В данном случае, однако, физический смысл этого различия устанавливается существованием выделенной системы отсчета, по отношению к которой и следует рассматривать неустойчивость — системы, в которой покоятся стенки трубы. Более того, поскольку реальные трубы имеют хотя и большую, но конечную длину, возникающее где-либо возмущение может, в принципе, оказаться вынесенным из трубы раньше, чем оно приведет к истинному срыву ламинарного течения. Поскольку возмущения возрастают с координатой х вниз по течению, а не со временем в заданной точке пространства, то при исследовании этого типа неустойчивости разумно поставить вопрос следующим образом.
Предположим, что в заданном месте пространства иа поток накладывается непрерывно действующее возмущение с определенной частотой от, и посмотрим, что будет происходить с этим возмущением при его сносе вниз по течению. Обращая функцию от(й), мы найдем, какой волновой вектор й соответствует заданной (вещественной) частоте. Если ]ш й ( О, то множитель е'"" возрастает с увеличением х, т. е. возмущение усиливается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
