Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если аио не зависит явна от времени (как в (31,1)), систейу называют автономной. ') Напомним, что для гамильтоновой механической системы эта дивергенция равна нулю согласно теорсме Лиувилля; компонентами вектора к являются при этом обобщенные координаты о н импульсы р системы. !64 турвулиитность )гл пг циклу или к незамкнутой намотке на торе (соответственно образам периодического или квазипериодического движений), но могут вести себя и совершенно по-иному — сложно и запутайно. Именно эта возможность чрезвычайно существенна для понимания математической природы н выяснения механизма возникновения турбулентности. Представить себе сложное и запутанное поведение траекторий внутри ограниченного объема, куда траектории только входят, можно, если предположить, что все траектории в нем неустойчивы. Среди них могут быть не только неустойчивые циклы, но и незамкнутые траектории бесконечно блуждающие внутри ограниченной области, не выходя из нее.
Неустойчивость означает, что две сколь угодно близкие точки пространства состояний, передвигаясь в дальнейшем по проходящим через них траекториям, далеко разойдутся; первоначально близкие точки могут относиться и к одной и той же траектории: ввиду ограниченности области незамкнутая траектория может подойти к самой себе сколь угодно близко.
Именно такое сложное, нерегулярное поведение траекторий и ассоциируется с турбулентным движением жидкости. Эта картина имеет еще и другой аспект — чувствительная зависимость течения от малого изменения начальных условий. Если движение устойчиво, то малая неточность в задании начальных условий приведет лишь к аналогичной неточности в определении конечного состояния.
Если же движение неустойчиво, то исходная неточность со временем нарастает и дальнейшее состояние системы уже невозможно предвидеть (О. С. Крылов, 1944; М. Вогп, 1952). Притягивающее множество неустойчивых траекторий в пространстве состояний диссипативной системы действительно может существовать (Е, Еогепз, 1963); его принято называть стохастическим, или странным аттрахгором '), На первый взгляд, требование о неустойчивости, всех траекторий, принадлежащих аттрактору, и требование о том, чтобы все соседние траектории при т- оп к нему стремились, кажутся несовместимыми, поскольку неустойчивость означает разбегание траекторий.
Это кажущееся противоречие устраняется если учесть, что траектории могут быть неустойчнвымн по одним направлениям в пространстве состояний и устойчивыми (т. е. притягивающими) по другим. В а-мерном пространстве состояний ') В етличне от обычных аттрактеров (устайчивые предельные циклы, предельные точки и т. п.); название аттрактера «страниый» связана се сложностью его структуры, о которой будет идти речь ниже.
В физической лите. ратуре терминам '«странный аттрактор» обозначают и более сложные притягивающие множества, содержащие помимо неустойчивых также и устойчивые траектории, ио со столь малыми областями притяжения, что нн в физическом, ии в чнслсгпом зксперюю,пах их нельзя обнаружить. А ЗП СТРАННЫЙ АТТРАКТОР траектории, принадлежащие странному аттрактору, ие могут быть неустойчивы по всем (а — 1)-направлениям (одно направление отвечает движению вдоль траектории), так как это означало бы непрерывный рост начального объема в пространстве состояний, что для диссипативной системы невозможно. Следовательно, по одним направлениям соседние траектории к траек. ториям аттрактора стремятся, а по другим — неустойчивым— от них уходят (рис.
19). Такие траектории назы- ваю вают седловыми, и именно множество таких траекторнй составляет странный аттрактор. г Странный аттрактор 1,(л) может появиться уже после нескольких бифурка- Рас. 19 ций возникновения новых периодов: даже сколь угодно малая нелинейность может разрушить квазипериодический режим (незамкнутая обмотка на торе), создав на торе странный аттрактор (О.
)тие(1е, г. Таяепз, 1971). Это, однако, не может произойти на второй (начиная с разрушения стационарного режима) бифуркации. При этой бифуркации появляется незамкнутая обмотка на двумерном торе. Учет малой нелинейности не разрушает тора, так что странный аттрактор должен был бы быть расположен на нем. Но иа двумерной поверхности невозможно существование притягивающего множества неустойчивых траекторий. Дело в том, что траектории в пространстве состояний не могут пересекаться друг с другом (или сами с собой); это противоречило бы причинности поведения классических систем: состояние системы в каждый момент времени однозначно определяет ее поведение в следующие моменты.
На двумерной поверхности невозможность пересечений настолько упорядочивает поток траекторий, что его хаотизация невозможна. Но уже на третьей бифуркации возникновение странного аттрактора становится возможным (хотя и не обязательным!). Такой аттрактор, приходящий на смену трехчастотному квазипернодическому режиму, расположен на трехмерном торе (5. 7т'еюйоизе, О.
Яие((е, Е, Тайепз, 1978). Принадлежащие странному аттрактору сложные, запутанные траектории расположены в ограниченном объеме пространства состояний. Классификация возможных типов странных аттракторов, которые могут встретиться в реальных гидродинамических задачах, в настоящее время неизвестна; неясны даже критерии, на которых должна была бы основываться такая классификация. Существующие знания о структуре странных аттракторов основаны в основном лишь на изучении примеров, возникающих при 1бб ТУРБУЛЕНТНОСТЬ 1ГЛ и1 компьютерном решении модельных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, довольно далеких от реальных гидродинамических уравнений. О структуре странного аттрактора можно, однако, высказать некоторые общие суждения, следующие уже из неустойчивости (седлового типа) траекторий и диссипативности системы. Для наглядности будем говорить о трехмерном пространстве состояний и представлять себе аттрактор расположенным внутри двумерного тора.
Рассмотрим пучок траекторий на пути к аттрактору (ими описываются переходные режимы движения жидкости, ведущие к установлению «стационарной» турбулентности). В поперечном сечении пучка траектории (точнее — их следы) заполняют определенную площадь; проследим за изменением величины и формы этой площади вдоль пучка. Учтем, что элемент объема в окрестности седловой траектории в одном из (поперечных) направлений растягивается, а в другом — сжимается; ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чем растяжение — объемы должны уменьшаться. По ходу траекторий эти направления должны меняться — в противном случае траектории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком большое изменение скорости жидкости).
Все это приведет к тому, что сечение пучка уменьшится по площади и приобретет сплющенную, и в то же время изогнутую форму, Но этот процесс должен происходить не только с сечением пучка в целом, но и с каждым элементом его плошади. В результате сечение пучка разбивается на систему вложенных друг в друга полос, разделенных пустотами С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий) число полос быстро возрастает, а их ширины убывают. Возникающий в пределе à — » оо аттрактор представляет собой несчетное множество бесконечного числа не касающихся друг друга слоев — поверхностей, на которых располагаются седловые траектории (своими притягивающими направлениями обращенные «наружу» аттрактора).
Своими боковыми сторонами и своими концами эти слои сложным образом соединяются друг с другом; каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блуждает по всем слоям и по прошествии достаточно большого времени пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство эргодичности). Общий объем слоев и общая плошадь их сечений равны нулю. По математической терминологии, такие множества по одному из направлений относятся к категории канторовых.
Именно канторовость структуры следует считать наиболее характерным свойством аттрактора и в более общем случае а-мерного (а ) 3) пространства состояний. Объем странного аттрактора в своем пространстве состояний всегда равен нулю. Он может, однако, быть ненулевым в другом пространстве — меньшей размерности. Последнее опре- стРАнный АттРАктоР 1бт $ з|! 0 ! !п М !е) »-»е 1п (!/в! ( (,3) Существование этого предела означает конечность объема аттрактора в 0-мерном пространстве: при малом е имеем й)(в) ж ж ьгв-о (где у — постоянная), откуда видно, что йг'(в) можно рассматривать как число 0-мерных кубиков, покрывающих в 0-мерном пространстве объем Г Определенная согласно (31,3) размерность не может, очевидно, превышать полную размерность а пространства состояний, но может быть меньше его и, в отличие от привычной размерности, может быть дробной; именно такова она для канторовых множеств ').
Обратим внимание на следующее важное обстоятельства. Если турбулентное движение уже установилось (течение «вышло на странный аттрактор»), то такое движение диссипативной системы (вязкой жидкости) в принципе не отличается от стохастического движения бездиссипативиой системы с меньшей размерностью пространства состояний. Это связано с тем, что для установившегося движения вязкая диссипация энергии в среднем за большое время компенсируется энергией, поступающей от среднего течения (или от другого источника неравновесности) Следовательно, если следить за эволюцией во времени принадлежащего аттрактору элемента «объема» (в некотором пространстве, размерность которого определяется размерностью аттрактора), то этот объем в среднем будет сохраняться — его сжатие в одних направлениях будет в среднем компенсироваться растяжением за счет расходимости близких траекторий в других направлениях. Этим свойством можно воспользоваться, чтобы получить иным способом оценку размерности аттрактора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
