Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Это значит, что движение жидкости в каждый данный момент такое же, каким оно было бы при равномерном движении тела со скоростью, которой оно в действительности обладает в данный момент. Если, например, речь идет о колебаниях погруженного в жидкость шара, с частотой, удовлетворяюшей неравенствам (24,10) (где ! есть теперь радиус шара), то можно поэтому утверждать, что испытываемая шаром сила сопротивления будет определяться формулой Стокса (20,14), полученной для равномерного движения шара при малых числах Рсйнольдса. Перейдем теперь к изучению противоположного случая, когда 1>> 6. Для того чтобы можно было опять пренебречь членом (»Ч)ч, необходимо в этом случае одновременное выполнение условия малости амплитуды колебаний тела по сравнению с его размерами !г„»,„д (( ! (24,11) (заметим, что число Рейнольдса при этом отнюдь не должно быть малым).
Действительно, оценим член (»Ч)ч. Оператор (»Ч) означает дифференцирование вдоль направления скорости. Но вблизи поверхности тела скорость направлена в основном по касательной. В этом направлении скорость заметно меняется лишь на протяжении размеров тела. Поэтому (»Ч)ч ж В'/! ж = а'ы'/! (сама скорость о ж ага). Производная же дч/д!— — оы ж аы'. Сравнив оба выражения, видим, что при а «1 действительно (»Ч)ч «д»/д!.
Члены же д»/д~ и»6» имеют теперь, как легко убедиться, одинаковый порядок величины. Рассмотрнм теперь характер движения жидкости вокруг колеблющегося тела в случае выполнения условий (24,11), В тонком слое вблизи поверхности тела движение является вихревым. 1Яб вязкая жидкость !гл. га В основной же массе жидкости движение потенциально').
По. этому везде, кроме пристеночного слоя, движение жидкости описывается уравнениями го1ч = О, г(!чч = О, (24,12) Отсюда следует, что и Лч = О, а потому уравнение Навье —. Стокса переходит в уравнение Эйлера. Таким образом, везде, кроме пристеночного слоя, жидкость движется как идеальная. Поскольку пристеночный слой тонкий, то при решении уран. пений (24,!2) с целью определения движения в основной массе жидкости следовало бы взять в качестве граничных условий те условия, которые должны выполняться на поверхности тела„т.
е. равенство скорости жидкости скорости тела, Однако решения уравнений движения идеальной жидкости не могут удовлетворить этим условиям. Можно потребовать лишь выполнения этого условия для нормальной к поверхности компоненты скорости жидкости. Хотя уравнения (24,12) и неприменимы в пристеночном слое жидкости, но поскольку получающееся в результате их решения распределение скоростей уже удовлетворяет необходимым граничным условиям для нормальной компоненты скорости, то истинный ход этой компоненты вблизи поверхности не обнаружит каких-либо существенных особенностей. Что же касается касательной компоненты, то, решая уравнения (24,12), мы получили бы для нее некоторое значение, отличное от соответствующей компоненты скорости тела, между тем как эти скорости тоже должны быть равными. Поэтому в тонком пристеночном слое должно происходить быстрое изменение касательной компоненты скорости.
Легко определить ход этого изменения. Рассмотрим какой-нибудь участок поверхности тела, размеры которого велики по сравнению с 6, но малы по сравнению с размерами тела. Такой участок можно рассматривать приближенно как плоский и потому можно воспользоваться для него полученными выше для плоской поверхности результатами. Пусть ось х направлена по направлению нормали к расматриваемому участку поверхноСти, а ось у — по касательной к нему, совпадающей с направлением тангенциальной составляющей скорости элемента поверхности. Обозначим посредством и„ касательную компоненту скорости движения жидкости относительно тела; на самой поверхности и„ должно обратиться в нуль.
Пусть, наконец, псе-™ есть значение и„, получающееся в результате решения уравнений (24,12). На ') При колебаниях плоской поверхности на расстоянии б затухает не только го! ч, но и сама скорость т. Это связано с тем, что плоскость при Саоих колебаниях не вытесняет жидкооги и потому жидкость вдали от нее остается вообще неподвижной.
При колебаниях же тел другой формы происходит вытеснение жидкости, в результате чего она приходит в движение, ско рость которого заметно затухает лишь на расстояниях порядка размеров тела, основании полученных в начале этого параграфа результатов мы можем утверждать, что в пристеночном слое величина оа будет падать по направлению к поверхности по закону') о„= о,е '""11 — е 1' г1лчтиг 1 (24,13) Наконец, полная диссипируемая в единицу времени энергия будет равна интегралу Е „= — — ~/+ $) со!'й)', (24,14) взятому по всей поверхности колеблющегося тела.
В задачах к этому параграфу вычислены силы сопротивления, действующие на различные тела, совершающие колебательное движение в вязкой жидкости. Сделаем здесь следующее общее замечание по поводу этих сил, Написав скорость движения тела в комплексном виде и = иое™, мы получаем в результате силу сопротивления Е, пропорциональную скорости и, тоже в комплексном виде Е = Ри, где р = ))1 +грт — комплексная постоянная; это выражение можно написать как сумму двух членов: (24,15) пропорциональных соответственно скорости и и ускорению и с вещественными коэффициентами.
Средняя (по времени) диссипация энергии определяется средним значением произведения силы сопротивления и скорости; при этом, разумеется, следует предварительно взять вещественные части написанных выше выражений, т. е. написать: и = — (и е '"' + и'е'"), 1 з( о а г = — (ифе '"' + и Р е'"'). 1 Замечая, что средние значения от е-""' равны нулю, получим: Е„„а =ри — (Д+ Р')) ио1в= — ~)ио1в (24.16) Таким образом, мы видим, что диссипация энергии связана только с вещественной частью величины Р; соответствующую (пропорциональную скорости) часть силы сопротивления (24,15) можно назвать диссипатиенои.
Вторую же часть этой силы, пропорциональную ускорению (определяющуюся мнимой частью р) ') Распределение скоростей (24,13) написано в системе отсчета, в которой твердое тело покоится (о„ = 0 при л = 0) Поэтому в качестве оо надо брать решение аадачи о потенпиальпом обтекании жидкостью неподвижного тела. й ао] колнвдтнльнон движинис в вязкоп жидкости 1а'7 (гл. и вязкля жидкость )2В н не связанную с диссипацией энергии, можно назвать инерционной.
Аналогичные соображения относятся к моменту сил, действующих на тело, совершающее вращательные колебания в вязкой жидкости. Задачи !. Определить силу трения, действующую на каждую нз двух параллельных твердых плоскостей, между которыми находится слой вязкой жидкости, причем одна из плоскостей совершает колебательное движение в своей плоскости. Решен не. Ищем решение уравнения (24,3) в вндс ') о = (А з!п Ьх + В соз Ьх) е н определяем А и В из условий о и и,е прн х = О и о = О при к = Ь (Ь вЂ” расстояние между плоскостями). В результате получаем: з!п Ь (Л вЂ” х) з!п ЬЬ Сила трения (на единицу поверхности) на движущейся плоскости равна до ~ Р „=Ч вЂ” ! = — Ьиястайй, дх !х-о и на неподвижной до ( чйн Р,н — — — з! — ~ (везде подразумеваются вещественные части соответствующих выражений). 2.
Определить силу трения, действующую иа колеблющуюся плоскость, покрытую слоем жидкости (толщины Ь), верхняя поверхность которого свободна. Решение. Граничные условии на твердой плоскости: о = и при х = О, а ма свободной поверхности п,з = ч до/дх = О при х = Ь. Скорость соз Ь (Ь вЂ” х) о и соз ЬЬ Сила трения Р =Ч вЂ” ~ -Чий (2ЬЬ. до дх х ю З. Плоский диск большого радиуса /с совершает вращательные колебания вокруг своей оси с малой амплитудой (угол поворота диска О Озсозю/, Оз ~ !); определить момент сил трения, действующих на диск Решен не. Для колебаний с малой амплитудой член (т)Г) т в уравнении движения всегда мал по сравнению с дт/д! независимо от величины частоты ы.
Если /! ~ б, то при огределенни распределения скоростей плоскость диска можно считать неограниченной. Выбираем цнлнндрнческне координаты с осью г по оси вращения и и!цем решение в виде и, = оз = О, п = о = ч гЯ(г, !). Для угловой скорости жидкости ()(г, /) получаем уравнение дй дзй — =я —. д! дг' ' ') Во всех задачах к атому параграфу Ь и б определены согласно (24,4). й ЯВ ХОЛЕВАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 129 Решение этого уравнения, обращающееси в — вйзз!ив! Ери г = 0 и в нуль при г = со, есть !1 = — вОре з!п 1чв/ — — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
