Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 21
Текст из файла (страница 21)
0 ~ 1. Формула (21,9) в этих координатах примет вид у„г ига т о„= — " ехр( — — (. 4нртг ( 4ч (21,!0) Опущенный нами член с дФ/дх (с Ф из получаемой ниже формулы (21,12)) дал бы в ох член, содержащий дополнительную малость О. Такой же иид, как (21,9) (но с другими коэффициентами)„ должны иметь и ом, оы. Выберем направление подъемной силы в качестве оси у (так что Р, = 0).
Согласно (21,2), и замечая, что на бесконечности Ф = О, имеем ) пуду да= ~ (о~у+ — )дуда= (о, дуда=в афх Г Р ау3 д 'У ри ~ о„ду дг = О. Ясно поэтому, что щ„отличается от (21,9) заменой Р, на Рх а ры = О. Таким образом, находим: "у ( 1/(у'+гг! т дФ дФ о = — — ехр~— 4ярчх 4тх 1 ду ' * дг ' (+ —, и = —. (21,11) Для определения функции Ф поступаем следующим образом.. Пишем уравнение непрерывности, пренебрегая в нем продольной производной до„/дх: б(ч ч =* —" + — * = ~ —, + — ) Ф -1- — '" = О. ду дг ~ дут дг2 ~ ду Продифференцировав это равенство по х и воспользовавшись уравнением (21,7) для о1у, получаем: Отсюда дх 0 ду Наконец, подставив выражение для щг (первый член в (21,!!)) и проинтегрировав по х, находим окончательно: ру у < г п(у'+г01 Ф вЂ” —" —; — г ~ехр~— аир0 у'+ х ( 1.
4чх „! ) — 1~ (21, 12)' ЛАМИНАРНЫЙ СЛВД 107 ч т!! (постоянная интегрирования выбрана так, чтобы Ф оставачось конечным при у = х = 0). В сферических координатах (с ази. ,мутом ф, отсчитываемым от плоскости ку): Р„созф ( Г ивз1 Ф= — —" — ~ехр( — — ) — 1 . (21 13) 2пр(1 го ( 1 4т У Из (21,11 — 13) видно, что оя и оа содержат в отличие от р, наряду с членами, экспоненциально убывающими с увеличением О (при заданном г), также и члены, значительно менее быстро убывающие при удалении от осн следа (как 1/Оз).
Если подъемная сила отсутствует, то движение в следе осесимметрично и Ф = — 0 '). Движение ене следа в виде суммы двух членов: Ф= — + — 'Р )'(О). г г (21,14) Первый член здесь сферическн симметричен и связан с силой Г„, а второй — симметричен относительно плоскости ху н связан с силой Ра. Для функции 1(0) получаем уравнение — (з1пΠ— г) — —.=О. д до (, дв У' МпВ Решение этого уравнения, конечное при О-ч-и, есть ~=Ьс(й —,. О (21,15) Коэффициент Ь можно определить из условия сшив.си с решением внутри следа. Дело в том, что формула (21,13) относится к области углов О « 1, а решение (21,14) — к области 0» »(т/Уг) нз.
Эти области перекрываются при (ч/Уг) нз « 0 « 1, .причем (21,13) сводится здесь к Га соз ф Ф= 2яр(т .О ') Таков, в частности, след зв обтекаемым шаром. Отметим в втой связи, что полученные формулы (как я формула (21,!6) ниже) находятся в согласвн с распределеннем скоростей (20,24) нря обтекания с очень малыми чве.лами Рейнольдса; в этом случае вся опнсаннаа картина отодвигается нв очень большие расстояния г л 1Я (1 — размеры тела). Вне следа течение жидкости можно считать потенциальным.
Интересуясь лишь наименее быстро убывающими на больших расстояниях членами в потенциале Ф, ищем решение уравнения Лапласа М? = — — (г — г! +, — (ьз(п Π— г) + —, — = 0 1 д гз дФч 1 д г ° дФч 1 д'Ф г' дг (, дг) г'з)пв дв ~ дв ( г'з1п'0 дфз ~ов вязкая жидко .ть ~гл и (21,16) $22. Вязкость суспензий Жидкость, в которой взвешено большое количество мелких твердых частиц (суспензия), можно рассматривать как однородную среду, если мы интересуемся явлениями, характеризующимися расстояниями, большими по сравнению с размерами частиц. Такая среда будет обладать эффективной вязкостью ть отличной от вязкости т1а основной жидкости.
Эта вязкость может быть вычислена для случая малых концентраций взвешенных частиц (т. е. суммарный объем всех частиц предполагается.малым по сравнению с объемом всей жидкости). Вычисления сравнительно просты для случая шарообразных частиц (А. Эйнштейн, 1906). В качестве вспомогательной задачи необходимо предварительно рассмотреть влияние, которое оказывает один погруженный в жидкость твердый шарик на течение, обладающее по- а второй член в (21,14) — к 2Ь сов ~р/гй. Сравнив оба выражения„ найдем, что надо положить Ь = Р„/4нр(/. Для определения коэффициента а в (21,14) замечаем, что полный поток жидкости через сферу 5 большого радиуса г (как и через всякую замкнутую поверхность) должен быть равен нулю.
Но через часть 5э этой сферы, являющуюся площадша сечения следа, втекает количество жидкости — ~в йуй = —. Р» Х Ц Поэтому через всю остальную площадь сферы должно вытекать столько же жидкости, т. е. должно быть чЛ= —. ри ' 3 -эе В силу малости 5э по сравнению со всей площадью 5, можне заменить это условие требованием чЛ= ~КФИР= — 4аа= — ", рУ ' откуда а = — Р,./4пр0. Таким образом, собирая все полученные выражения, находим следующую формулу для потенциала скорости: Ф= а г~ ( — Ра+ Рэ соз фс1я ~ ). (21,17) Этим и определяется движение во всей области вие следа вдали от тела. Потенциал убывает с расстоянием как 1/г. Соответственно скорость убывает как 1/гэ.
Если подъемная сила отсутствует, то движение вие следа осеснмметрично. Вязкость суспензия стоянным градиентом скорости. Пусть невозмущенное шариком течение описывается линейным распределением скоростей (22,1) где ам — постоянный симметрический тензор. Давление в жидкости прн этом постоянно: ров = сопз1; условимся в дальнейшем отсчитывать давление от этого постоянного значения.
В силу несжимаемости жидкости (б1ччзч = 0) тензор им должен иметь равный нулю след: ссп = О. (22,2) Пусть теперь в начало координат помещен шарик радиуса Р. Скорость измененного им течения обозначим посредством ч = =чоч+чн>; на бесконечности Ф'> должно обращаться в нуль, но вблизи шарика ч(н отнюдь ие мало по сравнению с ч<~>. Из симметрии течения ясно, что шарик останется неподвижным, так что граничное условие гласит: ч = 0 при г = Я. Искомое решение уравнений движения (20,1 — 3) может быть получено непосредственно из найденного в $ 20 решения (20,4) (с функцией )' из (20,6)), если заметить, что производные от последнего по координатам тоже являются решениями.
В данном случае мы ищем решение, зависящее как от параметров от компонент тензора им (а не от вектора и, как в $ 20). Таковым является чп' = го( го((пЧГ~ Р = тьам д~ а( дх, дх где (аЧ1) обозначает вектор с компонентами им д~/дхь Раскрывая эти выражения и выбирая постоянные а и Ь в функции 1= аг+Ь/г так, чтобы удовлетворить граничным условиям на поверхности шарика, получим в результате следующие формулы для скорости и давления: 5 / Я5 Я~ ~ Я5 о~о= — ( — 4 — —,1а„п,пап, — —,амп„ эз р= — бтм —,~ амп,аз (22,4) (22,3) ! да=, ~пмНУ ° Интегрирование можно производить здесь по объему У сферы большого радиуса, который затем устремляем к бесконечности. (и — единичный вектор в направлении радиус-вектора).
Переходя теперь к самому вопросу об определении эффективной вязкости суспензии, вычислим среднее (по всему объему) значение тензора плотности потока импульса Пм, совпадаю. щего в линейном по скорости приближении с тензором напряжений — а,~. ио сгл. и ВязкАя жидкость Прежде всего пишем тождественно: у до дп + р ~~оса т!а(дх + д )+Рбса~ссс". (22,5) В стоящем здесь интеграле подынтегральное выражение отлично от нуля лишь внутри твердых шариков; ввиду предполагаемой малости концентрации суспензии его можно вычислять для одного отдельного шарика, как если бы других вообще не было, после чего результат должен быть умножен на концентрацию и суспензии (чнсло шариков в единице объема).
Непосредственное вычисление такого интеграла требовало бы исследования Внутренних напряжений в шариках. Можно, однако, обойти это затруднение путем преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности бесконечно удаленной сферы, проходящей только через жидкость. Для этого замечаем, что ввиду уравнений движения до с/дхс = 0 имеет место тождество д оса — — — (ос!ха); дхс поэтому преобразование объемного интеграла в поверхностный дает Г дп дна к ом — тьа~ — + — ) + и $ (оссха 4с — т!а(ос 4а+ оа Яс)). Член с Р мы опустили, имея в виду, что среднее давление непре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
