Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая физика. Т. VI, Гидродинамика (1123867), страница 23
Текст из файла (страница 23)
-а)2 -ат2 (,о может быть как положительным, так и отрицательным. Если ~! ) О, то линия пересечения плоскостей является источником, т. е. жидкость вытекает из вершины угла (о таком течении говорят как о течении в диффузоре). Если Я( О, то эта линия является стоком, и мы имеем дело со сходящимся к вершине угла течением (или, как говорят, с течением в коифузоре).
Отношение )(;))/рт является безразмерным и играет роль числа Рейнольдса для рассматриваемого движения. Рассмотрим сначала конфузорное движение Я(0). Для исследования решения (23,9 — 11) сделаем оправдывающееся в дальнейшем предположение, что движение симметрично относительно плоскости р = 0 (т. е. и(~р) = и( — ор)), причем функция и(ф) везде отрицательна (скорость направлена везде к вершине угла) и монотонно меняется от значения 0 при <р = ~и/2 до значения — ио(иа ) 0) при чо = О, так что ио есть максимум !и!.
Тогда при и = — и, должно быть с[и/дор = О, откуда заключаем, что и = — ио есть корень кубического многочлеиа, стоящего под корнем в подынтегральном выражении в (23,9), )гак что можно написать: — и' — «2+ С~и'+ С2 =(и+ «о) [ — «2 — (1 — ио)и+'д), где д — новая постоянная. Таким образом, имеем: а 2ор= ~ (23, 12) (и + ио) [ — ио — (1 — ио) и + Ч! вязкая жидкость [ГЛ. 11 1!б ф)0) ввиде а ( а Ыи 2 — — ф1— 2 / 1 !/(и+ и,) 1 — и' — (! — ич) и+ ч1 и мы видим, что во всей области интегрирования подынтегральное выражение теперь мало, если только ~(и( не близко к ио. Это значит, что (и! может быть заметно отличным от и, только прп ф, близких ~а/2, т. е. в непосредственной близости от'стенок '). Другими словами, почти во всем интервале углов ф получается и ж сопз(= — и„причем, как показывают равенства (23,13), должно быть во = К/ба.
Самая скорость п равна и =(Я~/раг, что соответствует потенциальному невязкому течению со скоростью, не зависящей от угла и падающей по величине обратно Рнс. 10 Рнс. 9 пропорционально г. Таким образом, при больших числах Рейнольдса течение в конфузоре очень мало отличается от потенциального течения идеальной жидкости.
Влияние вязкости проявляется только в очень узком слое вблизи стенок, где происходит быстрое падение скорости от значения, соответствующего потенциальному потоку, до нуля (рнс. 10). Пусть теперь Я ) О, т. е. мы имеем дело с днффузорным течением. Сделаем сначала опять предположение, что движение симметрично относительно плоскости ф = 0 и что и(ф) (теперь и ) 0) монотонно меняется от нуля при ф= ~се/2 до и = = ио ) 0 при ф = О. Вместо (23,13) пишем теперь: ' и, Фи (ие — и) [и' + (! + из) и + ч) (23,14) ц ийи ч/(ио — и) (и' + (! + ис) и + ч] ') Может возннкнуть вопрос о том, какнм образом этот ннтеграл может сделаться пе малым даже прн и яи — ие. В действптельностн прн очень большнх ич однн яз корней трехчлсна ит — (! — и,) и'+ д оказывается таксе блнзкнм к — им так что все подкоренное выраженне нмеет два почтп совпадаюшнхкорня н потому весь интеграл «почта расходится» прн и = — и,.
1!7 точныг ившгния» оаненнн движения Вели рассматривать ио как заданное, то а монотонно возрастает с уменьшением д и имеет наибольшее возможное значение при д=о: и, и'и о з7» !».— и! !и+ и.+ 1! С другой стороны, как легко убедиться, при заданном д а есть монотонно убывающая функция от ио.
Отсюда следует, что ио как функция от д при заданном а есть монотонно убывающая !]оункция, так что ее наибольшее значение соответствует д = О и определяется написанным равенством. Наибольшему ио соответствует также и наибольшее !т = и „. С помощью подстановки й = ""., и=»оспа х 1+ 2»р можно представить зависимость К,„от а в параметрическом виде: а = 2 !/1 — 2йо ~ Ч/1 — йс Мп' » о (23,15) »/2 Й„„— 6, 4- — — ~ ~~ — Й' и' И.. ! — ь' 12 1 — 22' т/! — 2й~ о Таким образом, симметричное, везде расходящееся течение в диффузоре (рис. 11, а) возможно для данного угла раствора Рис 11 только при числзх Рейнольдса, не превышающих определенного предела. При а — ~я (чему соответствует й-э О) К,„„„стремится к нулю.
При а- О (чему соответствует й — 1/т/2) К„„„стремится к бесконечности по закону Я ,„ = 18,8/а. При Й ) Й ., предположение о симметричном, везде расходящемся течении в диффузоре незаконно, так как условия (23,14) не могут быть выполнены. В интервале углов и'л и Вязкая жидкОсть ыа — и/2 =~р ~се/2 функция и(~р) должна иметь несколько максимумов или минимумов. Соответствующие этим экстремумам значения и(~р) должны по-прежнему быть корнями стоящего под корнем многочлена.
Поэтому ясно, что трехчлен и'+(1+ иэ) и+ ,'+ д (с иэ > О, д ) 0) должен иметь в этой области два вещественных отрицательных корня, так что стоящее под корнем выражение может быть написано в виде (и,— и)(и+ и'„)(и+ и,"), где и,>0, и,'>О, и,",>0; пусть и,'(и,„".
Функция и(~р) может, очевидно, изменяться в интервале и >и> — и,', причем и = иэ соответствует положительному максимуму и(ч~), а и = = — и' — отрицательному минимуму. Не останавливаясь подробнее на исследовании получиощихся таким образом решений, укажем, что при К > К,„возникает сначала решение, при котором скорость имеет один максимум и один минимум, причем движение асимметрично относительно плоскости ~р = О (рис. 11, б). При дальнейшем увеличении К возникает симметричное решение с одним максимумом н двумя минимумами скорости (рис. 11,в) и т.
д. Во всех этих решениях имеются, следовательно, наряду с областями вытекающей жидкости также и области втекающих потоков (но, конечно, так, что полный расход жидкости Я > 0). При К- ОО число чередующихся минимумов и максимумов неограниченно возрастает, так что никакого определенного предельного решения не существует. Подчеркнем, что при диффузорном течении решение не стремится„ таким образом, при К-1-ОО к решению уравнений Эйлера, как вто имеет место при кокфузорном движении.
Наконец, отметим, что при увеличении К стационарное диффузорное движение описанного типа вскоре после достижения К = К „делается неустойчивым и возникает турбулентность. Затопленная струя Требуется определить движение в струе жидкости, бьющей из конца тонкой трубки и попадающей в неограниченное пространство, заполненное той же жидкостью,— так называемая затопленная струя (Л. Ландау, 1943), Выбираем сферические координаты г, О, р с полярной осью вдоль направления скорости струи в точке ее выхода, которая выбираетсч в качестве начала координат. Движение обладает аксиальной симметрией вокруг полярной оси, так что пч = О, а ве, о, являются функциями только от г, О.
Через всякую замкнутую поверхность вокруг начала координат (в частности, через бесконечно удаленную) должен протекать одинаковый полный поток импульса («импульс струи»). Для этого скорость должна ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРХВз!ЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ где г, У вЂ” некоторые функции только от О. Уравнение непрерывности гласит: — + —.— (Езпб п)=О. 1 д!г'в„) ! д г' дг ге!па дв в— Отсюда находим, что Г(6) = — —" — УдаВ. д( де (23, 17) Компоненты П,е, Пев тензора потока импульса в струе тождественно исчезают, как это явствует уже из соображений симметрии. Сделаем предположение, что равны нулю также и компоненты Пее и Пз (оно оправдывается тем, что в результате мы получим решение, удовлетворяющее всем необходимым условиям).
С помощью выражений (15,20) для компонент тензора оы и формул (23,16 — 17) легко убедиться в том, что между компонентами Пвв, Пвв и П.в теизора потока импульса в струе имеется соотношение з(п ОПгв= 2 да (з1п 0(Пз„з — Пее)]. ! д Поэтому из равенства нулю Пзв и Пее следует, что и П,е = О. Таким образом, из всех компонент Пм отлична от нуля только Пзо зависящая от г как г-з. Легко видеть, что при этом уравнения движения дП!з/длз = О удовлетворяются автоматически. Далее, пишем: — (Пее П ) ' (Уз+ 2УУс1а0 — 2ТУг) = О, или Решение этого уравнения есть 2т з1п 0 А — соз 0 (23,18) а из (23,17) получаем теперь для г: (23,19) Распределение давления определяем из уравнения — Пвв — — — + —, (У + 2т с1а О) = О ве Р гз падать обратно пропорционально расстоянию г от начала координат, так что о.=,. г (6)1 пе= — У(6), ! 1 (23, 16) [зо ВязкАя жидкость [Гл.
н и получаем: 4рвв А сов 8 — ! Р Р Ы !А — соз 8)' (23,20) (рв — давление на бесконечности). Постоянную А можно связать с «импульсом струи»,— полным потоком импульса а ией. Он равен интегралу по сферической поверхности: Р = ф П„, созб!!1= 2п ~ гзП„соз8 з!ДОЫ8. о Величина П„равна ! 4»в ! [Л' — !)' А — П р " Ы ! [Л вЂ” со»8)' А — сова 1' и вычисление интеграла приводит к результату Р=1бптРА)[1+ 3 А' — ! о !пА — ! ). (23,2!) Формулы (23,!б — 21) решают поставленную задачу, При изменении постоянной А от 1 до оо импульс струи Р пробегает все значения от оо до О. Линии тока определяются уравнением с[г/ис = г а[8/ив, интегрирование которого дает А — соз 8 = сопз!.
(23„22) Для скорости получаем в этом случае Р в[па Р сова и — — —. и= — —. Вп~р г ' ' 4п~р (23,23) На рис. 12 изображен хараитерный вид линий тока. Течение представляет собой струю, вырывающуюся из начала координат и подсасывающую окружающую жидкость. Если условно считать границей струи поверхность с минимальным расстоянием (г з!и 8) линий тока от оси, то это будет поверхность конуса с углом раствора 28о, где соз бо 1/А.
В предельном случае слабой струи (малые Р, чему отвечают большие А) имеем из (23,21) Р = !бптвр/А. з гп колнвлтпльноп двнжнннн в вязкоп жидкости 121 В обратном случае сильной струи (большие Р, чему отвечает й-ь1)') имеем Оз 64пт Р й =1+ —, Для больших углов (О ж 1) распределение скоростей определяется формулами 2т О 2ч пз=- — с(й-, и„=- —, х 2' " г (28 24) в а для малых углов (О ж Оо) п,=8ч г г г (23 25) (О,'+О')" ' 4тй "в (Ог + Ог) г Полученное здесь решение является точным для струи, рассматриваемой как бьющая из точечного источника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
